第六章非線性光學(xué)基礎(chǔ)

第六章非線性光學(xué)基礎(chǔ)第一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五§6-1經(jīng)典諧振子模型

ClassicalHarmonicOscillatorModel(CHOM)自然界廣泛碰到簡(jiǎn)諧振動(dòng)，任何體系在平衡位置附近的小振動(dòng)，例如分子振動(dòng)、晶格振動(dòng)、原子核表面振動(dòng)以及輻射場(chǎng)的振動(dòng)等往往都可以分解成若干彼此獨(dú)立的一維簡(jiǎn)諧振動(dòng)。簡(jiǎn)諧振動(dòng)往往還作為復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，所以簡(jiǎn)諧振動(dòng)的研究，無論在理論上還是在應(yīng)用上都是很重要的。例如雙原子分子，兩原子間的勢(shì)V是二者相對(duì)距離x的函數(shù)，如圖所示。在x=a處，V有一極小值V0。在x=a附近勢(shì)可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：axV(x)0V0諧振子模型第二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光波與物質(zhì)相互作用的諧振子模型

CHOM

forInteractingbetweenLightandmaterial

qr光波諧振子線性光學(xué)

假設(shè)介質(zhì)是一個(gè)含有固有振動(dòng)頻率為

0的偶極振子集合，N為單位體積振子數(shù)，于是極化強(qiáng)度

qr(t)為一個(gè)振子的電偶極矩,

偶極振子在光場(chǎng)作用下作受迫振動(dòng)，其牛頓運(yùn)動(dòng)方程為,

其中為阻尼系數(shù),入射光為線偏振單色光（將因子1/2歸入振幅中），光場(chǎng)為E

(6-1)(6-2)(6-3)第三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光波與物質(zhì)相互作用的諧振子模型

CHOM

forInteractingbetweenLightandmaterial方程(6-2)的通解為

穩(wěn)態(tài)解（特解）(6-5)極化強(qiáng)度

(6-6)(6-7)第四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光波與物質(zhì)相互作用的諧振子模型

CHOM

forInteractingbetweenLightandmaterial光波對(duì)物質(zhì)的極化率記為

(6-8)極化強(qiáng)度可以寫成

(6-9)由介電常數(shù)和極化率關(guān)系，，介電常數(shù)響應(yīng)的譜線(6-10)(6-11)第五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光波與物質(zhì)相互作用的諧振子模型

CHOM

forInteractingbetweenLightandmaterial使用參數(shù)得到入下圖所示譜線當(dāng)遠(yuǎn)離共振頻率時(shí)，介質(zhì)對(duì)光的吸收近似等于零，介電常數(shù)近似為實(shí)數(shù)第六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五線性光學(xué)與諧振子模型

LinearOpticsandHarmonicOscillatorModelLOsampleinputoutput?光波頻率不改變產(chǎn)生新的光波頻率outputNLOsampleinputoutput第七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)非線性物理起源

PhysicalOriginofOpticalNonlinearityaxV(x)0V0當(dāng)光場(chǎng)很強(qiáng)，使諧振子大大偏離穩(wěn)定位置時(shí)，需要考慮勢(shì)能的高階項(xiàng)，那么前面的偶極振子在光場(chǎng)作用下的運(yùn)動(dòng)方程(6-2)要改寫為，(6-11)由于高階項(xiàng)，即非線性效應(yīng)，比線性效應(yīng)弱得多，采用微擾方法求解(6-11),先把高階項(xiàng)看成是微擾項(xiàng)，即忽略高階項(xiàng)，方程(6-11)變?yōu)?6-2)。把r看成近似解的疊加，(6-12)第八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)非線性物理起源

PhysicalOriginofOpticalNonlinearity單位體積電偶極矩：

經(jīng)過迭代計(jì)算并光場(chǎng)同次冪近似歸并，那么得到各階近似所滿足的方程分別為(6-13)(6-14)下面只考慮兩個(gè)不同頻率的光場(chǎng)：第九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)非線性物理起源

PhysicalOriginofOpticalNonlinearity下面只考慮二階項(xiàng)近似，解方程(6-13)得特解（穩(wěn)定解）

(6-15)(6-16)那么一階極化強(qiáng)度為

(6-17)(6-18)(6-19)第十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)非線性物理起源

PhysicalOriginofOpticalNonlinearity將的解代入(6-15)右邊，可以解得二級(jí)近似解，(6-20)(6-21)(6-22)(6-23)(6-24)(6-25)第十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)非線性物理起源

PhysicalOriginofOpticalNonlinearity所對(duì)應(yīng)的二階極化強(qiáng)度分別為，(6-26)(6-27)(6-28)那么和頻和差頻的極化率為(6-29)那么陪頻和零頻的極化率為(6-30)第十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)非線性物理起源

PhysicalOriginofOpticalNonlinearity從以上可以看到，當(dāng)光場(chǎng)強(qiáng)到一定程度，考慮原子體系的高階項(xiàng)時(shí)，由于物質(zhì)的不是完美簡(jiǎn)諧振子，因此產(chǎn)生其它頻率的光波。新的頻率有OKIt'sPossipleoutputNLOsampleinputoutput第十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)非線性物理起源

PhysicalOriginofOpticalNonlinearity沒有完美諧振子系統(tǒng)所有系統(tǒng)都是非線性的第十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五作業(yè)1、將式子(6-15)(6-16)代入(6-14)得到(6-21)——(6-22),并體會(huì)新的頻率是如何產(chǎn)生的。第十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五非線性光學(xué)參考書石順祥，西安電子科技大學(xué)出版社，2003RWBoyd，AcademicPress

2008季家镕，馮瑩，科學(xué)出版社，2008施奈德(Schenider，T.),科學(xué)出版社，2007第十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五非線性光學(xué)理論基礎(chǔ)

Fundamentalofnonlinearoptics非線性極化率的定義極化率的對(duì)稱性

真實(shí)對(duì)稱、置換對(duì)稱性、克蘭曼對(duì)稱性、全對(duì)稱性、空間對(duì)稱性二階非線性耦合波方程的導(dǎo)出二次諧波產(chǎn)生與相位匹配和頻與參量下轉(zhuǎn)換第十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的定義

DefinitionandSymmetryofSusceptibility

根據(jù)電磁波知識(shí)，要完整知道電磁波在物質(zhì)中的性質(zhì)，必須考慮物質(zhì)方程。如果考慮非線性效應(yīng)，物質(zhì)方程該如何？？極化強(qiáng)度物質(zhì)的響應(yīng)物質(zhì)系統(tǒng)的激勵(lì)源NLOsample激勵(lì)源響應(yīng)極化強(qiáng)度只與激勵(lì)電場(chǎng)有關(guān)第十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的定義I

DefinitionofSusceptibility由前面非線性物理起源知道，極化強(qiáng)度為一般情況下，物質(zhì)系統(tǒng)對(duì)當(dāng)場(chǎng)的響應(yīng)有“記憶效應(yīng)”，這是因?yàn)槲镔|(zhì)響應(yīng)不能瞬間響應(yīng)激勵(lì)的結(jié)果。所以物質(zhì)系統(tǒng)的響應(yīng)與電場(chǎng)的歷史有關(guān)。那么我們可以使用以下響應(yīng)函數(shù)描述物質(zhì)系統(tǒng)的響應(yīng)那么極化強(qiáng)度表示為，第十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的定義II

DefinitionofSusceptibility將

作傅立葉展開代入上式得定義則將作傅立葉展開比較以上兩式，有

第二十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的定義III

DefinitionofSusceptibility同理,對(duì)二階極化強(qiáng)度，有

以上使用

同理，可以定義二階極化強(qiáng)度為作置換

物理上

應(yīng)與光頻求和次序無關(guān)，所以有

第二十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的定義IV

DefinitionofSusceptibility將直接作傅立葉展開

通過比較，得到

推廣到多個(gè)頻率，那么二階極化強(qiáng)度為

通過離散的反傅立葉變換，一階極化強(qiáng)度有這里n=-1,-2,1,2,當(dāng)n取負(fù)數(shù)時(shí)，代表復(fù)數(shù)共軛項(xiàng)第二十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的定義V

DefinitionofSusceptibility二階極化強(qiáng)度有第二十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的定義VI

DefinitionofSusceptibility將以上式子在坐標(biāo)上表示，并且考慮物質(zhì)的各向異性，一、二階極化強(qiáng)度表示為，同理，推廣到k階極化強(qiáng)度有，習(xí)慣標(biāo)出所對(duì)應(yīng)極化強(qiáng)度的振蕩頻率，k階極化率表示為標(biāo)記該階振蕩頻率，沒有數(shù)學(xué)上的意義第二十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－真實(shí)性I

SymmetryofSusceptibility－Reality真實(shí)性條件：任意階的極化率的復(fù)共軛等于頻率取相反數(shù)的極化率第二十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－真實(shí)性II

SymmetryofSusceptibility－Reality以二階極化率為例證明以上等式，由極化強(qiáng)度為實(shí)數(shù)，極化強(qiáng)度表示為，由光場(chǎng)為實(shí)數(shù)，得綜合以上極化強(qiáng)度和光場(chǎng)為實(shí)數(shù)的要求，可得取復(fù)共軛得，又因?yàn)?，所以得，同理可得高階的真實(shí)性對(duì)稱性，真實(shí)對(duì)稱性是物理量（極化強(qiáng)度和光場(chǎng)）為實(shí)數(shù)所要求的，是物理的要求。第二十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五由于為任意大小的實(shí)數(shù)，即由它組成的k*l階矢量是線性不相關(guān)，那么得極化率的對(duì)稱性－置換對(duì)稱性I

SymmetryofSusceptibility－PermutationSymmetry以二階極化為例，二階極化強(qiáng)度，從上式得，或頻率和下標(biāo)同時(shí)置換，極化率不變無條件成立第二十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－全對(duì)稱性I

SymmetryofSusceptibility－FullSymmetry置換對(duì)稱性：猜想?什么條件下全對(duì)稱性成立?全對(duì)稱性第二十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五全對(duì)稱性成立條件I

ConditionofFullSymmetry考慮非諧振子模型，得到的極化率為：其中，當(dāng)遠(yuǎn)離共振，<<0或>>0，那么F()中的可以忽略，因?yàn)橐话愎忸l～1015Hz，而材料一般能級(jí)壽命ps量級(jí)，即～1012Hz，所以F()為實(shí)數(shù)，變?yōu)?。第二十九頁，共一百三十一頁，編輯?023年，星期五全對(duì)稱性成立條件II

ConditionofFullSymmetry先考慮

將與-對(duì)調(diào)，那么有考慮

將1與-對(duì)調(diào)，那么也有將上式寫為分量形式，那么有全對(duì)稱性第三十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五全對(duì)稱性成立條件III

ConditionofFullSymmetry1、所考慮的所有光頻遠(yuǎn)離共振頻率。2、材料吸收可以忽略

全對(duì)稱性成立條件：第三十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－克蘭曼對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－Kleinman’sSymmetry克蘭曼對(duì)稱性：各階極化率的下標(biāo)置換后不變，與頻率無關(guān)。成立條件：1、材料吸收很小，可以忽略2、光頻遠(yuǎn)小于材料的共振頻率3、極化率可以表示為電場(chǎng)的函數(shù)P＝P(E)4、材料非鐵電材料，即外場(chǎng)E＝0，P＝05、材料的色散可以忽略，即極化率與頻率無關(guān)第三十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry一般光學(xué)中使用多數(shù)材料為晶體，而晶體在空間上具有對(duì)稱性，某些晶體在對(duì)其做旋轉(zhuǎn)、鏡面對(duì)稱、坐標(biāo)反演等操作后，無法區(qū)分操作后去操作前的晶體體，那么成這些晶體具有某種操作對(duì)稱性，而這些對(duì)稱性是由晶體的空間結(jié)構(gòu)所決定。目前晶體主要分為如下七類：立方晶系四方晶系正交晶系第三十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry六角晶系三角晶系單斜晶系三斜晶系第三十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry在某一坐標(biāo)系中，習(xí)慣使用三階矩陣表示空間的旋轉(zhuǎn)、空間反演、鏡面等對(duì)稱操作，記表示這些對(duì)稱操作的矩陣為T，那么矩陣滿足對(duì)空間某一矢量A做操作變?yōu)锳’可以表示為，使用愛因斯坦求和約定表示為，第三十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry

一階極化強(qiáng)度，經(jīng)對(duì)稱操作變換T經(jīng)過操作變換后的極化率為，同理經(jīng)過變換的二階極化率為，第三十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry如果晶體具有某一對(duì)稱操作T，那么經(jīng)這一操作后晶體的極化率不變，即利用空間對(duì)稱性簡(jiǎn)化極化率分量，先看具有中心反演對(duì)稱材料的偶數(shù)階的極化率，中心反演對(duì)稱操作，

那么，

同理可證

第三十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry以下使用以上的對(duì)稱性對(duì)KDP晶體的一、二階極化率進(jìn)行化簡(jiǎn)，首先應(yīng)該明確下面所使用的是KDP晶體的主軸做為坐標(biāo)系。KDP晶體屬于點(diǎn)群對(duì)稱類。那么具有以下幾個(gè)對(duì)稱操作。

XYZ（1）的對(duì)稱操作第三十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五（2）相關(guān)的對(duì)稱操作極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetryXYZ（3）相關(guān)的對(duì)稱操作[m1]——以過x軸和y軸夾角平分線和過z軸的平面作鏡面的反射

[m2]——以過-x軸和y軸夾角平分成和z軸的平面作鏡面的反射

第三十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry根據(jù)對(duì)稱性原理，一、二階極化率作以上變換后不變。先看一階極化率（1）當(dāng)對(duì)稱操作為第四十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry（2）當(dāng)對(duì)稱操作為第四十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五KDP晶體是一種單軸晶體，也就是說屬于點(diǎn)群對(duì)稱的物質(zhì)都為單軸晶體

極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry（3）最后考慮對(duì)稱操作為第四十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五當(dāng)時(shí)極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry二階極化率的對(duì)稱變換可以表示為先考慮對(duì)稱變換中的任意一個(gè)（同標(biāo)不求和）

當(dāng)考慮有兩個(gè)下標(biāo)相同的情況，例如j＝k，那么因?yàn)樵赱2]的對(duì)稱變換矩陣中一定能找到所以兩下標(biāo)相同的二階極化率為零，即第四十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五再利用對(duì)稱操作得到下標(biāo)x,y對(duì)換不變，即極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry進(jìn)一步考慮三個(gè)下標(biāo)都相同的情況，利用同上的分析得綜合上述，KDP晶體中任意兩個(gè)下標(biāo)相同的二階極化率為零，因此只需考慮，三個(gè)下標(biāo)不為零的情況第四十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五極化率的對(duì)稱性－空間對(duì)稱性

SymmetryofSusceptibility－SpatialSymmetry最后，我們可以得到KDP晶體二階非線性極化率的分量為KDP晶體二階非線性極化率的分量中，只有三個(gè)不為零的分量第四十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階極化率和d系數(shù)

SecondSusceptibilityanddcoefficients文獻(xiàn)在考慮二階非線性效應(yīng)，常使用d系數(shù)，它與極化率的關(guān)系如下,并且在下標(biāo)使用下面的習(xí)慣標(biāo)記第四十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五常用晶體的二階效應(yīng)d系數(shù)I

SecondOrderdcoefficientsforOrdinaryCrystals

第四十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五常用晶體的二階效應(yīng)d系數(shù)II

SecondOrderdcoefficientsforOrdinaryCrystals第四十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation由于一般光學(xué)晶體都是絕緣材料，因此材料中一般情況下不會(huì)出現(xiàn)自由電荷，在忽略自由電荷密度時(shí)，Maxwell方程為考慮非線性物質(zhì)方程：第四十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation把物質(zhì)方程代入Maxwell方程組中，利用等式得到電場(chǎng)波動(dòng)方程為，忽略晶體中的離散角（即能流方向和相速度方向的夾角），并且考慮光波為平面波的情況。光場(chǎng)波動(dòng)方程為：(*)第五十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation假設(shè)只有三個(gè)單色光場(chǎng)存在（通過相位匹配方法可滿足），三個(gè)波都沿z軸方向傳播（z不一定是坐標(biāo)軸或光軸），總光場(chǎng)可以表示為

一、二階極化強(qiáng)度為,將以上方程代入波動(dòng)方程(*)得第五十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation按相同頻率的歸并同類項(xiàng)，而由于每個(gè)頻率因子線性不相關(guān)，因此要使上式為零，只有每個(gè)頻率因子的系數(shù)為零。那么得到以下三個(gè)方程這里利用微擾法，先求解以上方程的一階近似解，然后再用一階近似解求解二階近似，所以一階近似方程為第五十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation將以上方程分解為平行和垂直于kr兩個(gè)方向，考慮垂直方向的方程，因?yàn)?與Z無關(guān))

所以有記的虛部為的實(shí)部為則上式為再記

由右圖得上式變?yōu)榈谖迨?，共一百三十一頁，編輯?023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation用點(diǎn)乘上式兩邊得，：

記

方程變?yōu)樽魈鎿Q

得

作弱線性吸收近似，即

可以解得第五十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation兩邊乘以得

以上已經(jīng)完成一階近似方程解，現(xiàn)在考慮二階近似方程

同樣考慮垂直與kr方向的分量方程，有第五十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation利用等式和慢變振幅近似

二階近似方程變?yōu)?/p>

對(duì)應(yīng)三個(gè)不同頻率的二階的極化強(qiáng)度分別表示為，第五十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation現(xiàn)在先考慮第一個(gè)二階近似方程，即r＝1的方程，將極化強(qiáng)度代入二階近似方程得第五十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五,(即前面的)二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation兩邊除以

并記得其中兩邊點(diǎn)乘再除以

并利用以上方程得

這里忽略了離散角，即

和其中第五十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation同理可以得到其它r＝2，3的兩個(gè)方程，那么三個(gè)方程為這里第五十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation整理以上方程得這里第六十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation設(shè)光頻遠(yuǎn)離材料共振吸收頻率

且全對(duì)稱性成立

為實(shí)量

在遠(yuǎn)離材料共振吸收頻率條件下，方程可以簡(jiǎn)化為

這里第六十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五二階非線性的耦合波方程

Secondorder

NonlinearCoupledEquation作以下變換，以上方程可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為，以上就是我們所需要的三波耦合方程，以后討論二階非線性光學(xué)效應(yīng)都可以從這導(dǎo)出第六十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)二次諧波的產(chǎn)生

GenerationofSecondHarmonicWave石英晶體石英晶體694nm倍頻實(shí)驗(yàn)裝置示意圖紅寶石激光器347nm

分光棱鏡P.A.Franken，etc.,”GenerationofopticalHarmonic”,Phy.Rev.Lett.,1961第六十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)二次諧波的產(chǎn)生

GenerationofSecondHarmonicWave(1)低倍頻效率的情況這情況基頻光和倍頻光滿足，（a)吸收可忽略

（b)基頻光保持線偏振狀態(tài)，并且只有一個(gè)偏振基頻光即A1=A

（c）由于倍頻效率低，所以基頻光可以當(dāng)作無損耗，即

A1=常數(shù),

結(jié)合以上的情況，對(duì)三波耦合方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，只剩下最后一個(gè)方程。第六十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)二次諧波的產(chǎn)生

GenerationofSecondHarmonicWave利用邊界條件可得可得光強(qiáng)為利用第六十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)二次諧波的產(chǎn)生

GenerationofSecondHarmonicWave得到倍頻光強(qiáng)倍頻的功率定義倍頻效率

從以上效率可以看到：（1）（2）（3）第六十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)二次諧波的產(chǎn)生

GenerationofSecondHarmonicWave(2)高倍頻效率的情況省略吸收系數(shù)，利用化簡(jiǎn)三波耦合方程得從第一種情況我們知道只有k=0時(shí)，倍頻效率才能最高，因此以上方程化簡(jiǎn)為取共軛第六十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)二次諧波的產(chǎn)生

GenerationofSecondHarmonicWave對(duì)以上四個(gè)方程分別乘以

后相加得

由于所以利用光強(qiáng)公式上式即得滿足能量守恒第六十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)二次諧波的產(chǎn)生

GenerationofSecondHarmonicWave下面討論倍頻光和基頻光隨z的變化規(guī)律，不失普遍性，假定基頻光在入射面處的初始位相為零，即為實(shí)數(shù)，作變換解方程得基頻、倍頻的光強(qiáng)為倍頻效率為第六十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)二次諧波的產(chǎn)生

GenerationofSecondHarmonicWaveoutputNLOsampleinputoutput第七十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)二次諧波的產(chǎn)生

GenerationofSecondHarmonicWave有效倍頻長(zhǎng)度

第七十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)二次諧波的產(chǎn)生

GenerationofSecondHarmonicWave虛擬能級(jí)低能級(jí)量子理論的描述：注意：所有的非線性過程處于低能級(jí)的電子并沒有發(fā)生躍遷，或者說躍遷的幾率非常小，因此我們使用虛擬能級(jí)表示光子的輻射過程第七十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五腔內(nèi)倍頻

Intra-CavityDoubleFequencyNd:YAG倍頻晶體532nm高反1064n高反532nm高透1064n高反從前面的知識(shí)，我們知道基頻光光強(qiáng)越大，倍頻效率越高，所以，為了提高倍頻效率，應(yīng)設(shè)法增大基頻光強(qiáng)。

輸出倍頻光強(qiáng)與腔損耗的關(guān)系第七十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五相位匹配

PhaseMatch從二次諧波的第一種情況分析，k＝0時(shí)倍頻效率最高，推廣到任意頻率的二階非線性效應(yīng)，即相位匹配可以理解為相互光波轉(zhuǎn)化時(shí)為動(dòng)量守恒的要求為什么需要相位匹配？光子觀點(diǎn)能量守恒

動(dòng)量守恒

第七十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五相位匹配

PhaseMatching從產(chǎn)生3的電磁波方程分析相位匹配第七十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五相位匹配

PhaseMatching以二次諧波為例極化波等相面極化波等相面第七十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五相位匹配技術(shù)

PhaseMatchingTechnique1、角度匹配（臨界匹配）（一）I類匹配（二）II類匹配2、準(zhǔn)相位匹配（Quasi－Phase－Matching）（一）周期性極化（PeriodicPoled）3、波導(dǎo)耦合技術(shù)（二）周期性介質(zhì)（PeriodicDielectric）第七十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五單軸晶體的折射率橢球

RefractiveIndexEllipsoidforUniaxialCrystals折射率單軸晶體nx＝nynz第七十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五角度匹配

Angeltuning（一）倍頻相位匹配1.I類匹配

a.正晶，正常色散

第七十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五考慮正晶晶體，由以上式子得角度匹配

Angeltuning如果一種晶體

我們就能找到一個(gè)角利用折射率方程第八十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五角度匹配

Angeltuningb.負(fù)晶、正常色散如果

同理可以找到一個(gè)角

利用

解得

第八十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五角度匹配

Angeltuning2.II類匹配

正晶，正常色散第八十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五角度匹配

Angeltuning如果晶體滿足

那么總可以找到一個(gè)角，使下式成立

這是由于那么由折射率公式，上面就等式可以變?yōu)榈诎耸?，共一百三十一頁，編輯?023年，星期五角度匹配

Angeltuningb.負(fù)晶，正常色散如果晶體滿足

則可找到一個(gè)角，使

利用折射率公式，可得第八十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五準(zhǔn)相位匹配－周期性極化

Quasi-Phase-Matching－PeriodicPoledCrystals具有二階非線性效應(yīng)的晶體，一般使用鐵電材料如鈮酸鋰（LiNbO3），它們具有極性，即它們二階極化率可以反轉(zhuǎn)，為原來相反數(shù)。但是這些晶體的光學(xué)閾值很低，在強(qiáng)光下容易損傷。鐵電材料二階非線性系數(shù)的極化疇第八十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五準(zhǔn)相位匹配－周期性極化

Quasi-Phase-Matching－PeriodicPoledCrystals周期極化后的晶體在空間上出現(xiàn)周期的正反交替，用數(shù)學(xué)表示為對(duì)上式做傅立葉展開，得下面求解三波耦合方程的耦合系數(shù)k其中一個(gè)耦合方程耦合系數(shù)以上k和非線性系數(shù)d的關(guān)系，我們得到周期極化的耦合系數(shù)其中第八十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五準(zhǔn)相位匹配－周期性極化

Quasi-Phase-Matching－PeriodicPoledCrystals利用周期極化耦合系數(shù)，前面得到的三波耦合方程可以變?yōu)橥ǔＧ闆r下，只考慮m=1的情況，因?yàn)閙=1時(shí)，G1=2/，為最大系數(shù)，從而光波間的耦合作用也最大，有利提高耦合效率第八十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五準(zhǔn)相位匹配－周期性極化

Quasi-Phase-Matching－PeriodicPoledCrystals那么m＝1時(shí)，耦合波方程變?yōu)橥ㄟ^設(shè)計(jì)極化的周期，我們可以使kQ＝0，即準(zhǔn)相位匹配，那么以極化長(zhǎng)度L為例如利用周期極化的鈮酸鋰對(duì)波長(zhǎng)為1.06um的光波進(jìn)行倍頻，根據(jù)上式計(jì)算得的極化長(zhǎng)度為3.4um第八十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五準(zhǔn)相位匹配－周期性極化

Quasi-Phase-Matching－PeriodicPoledCrystals倍頻光場(chǎng)在晶體中的產(chǎn)生第八十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五準(zhǔn)相位匹配－周期性介質(zhì)

Quasi-Phase-Matching－PeriodicDieletric周期性極化的關(guān)鍵：d1d2d1d2d1d2d1d2d1d2d1d2周期性介質(zhì)二階系數(shù)為，其中，第九十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五準(zhǔn)相位匹配－周期性介質(zhì)

Quasi-Phase-Matching－PeriodicDieletric將上式代入到三波耦合方程中，得注意雖然使用周期性介質(zhì)也可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)相位匹配，但是一般情況兩種介質(zhì)的二階非線性系數(shù)之差非場(chǎng)小，因此大大降低了耦合系數(shù)，也降低了轉(zhuǎn)換效率。第九十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五準(zhǔn)相位匹配－波導(dǎo)耦合

Quasi-Phase-Matching－WaveguideCoupling第九十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)和頻（光學(xué)上轉(zhuǎn)換）

OpticalSumFrequency（OpticalUpConversion）＋Filter假設(shè)：和頻（1）遠(yuǎn)離共振吸收區(qū).全對(duì)稱性成立。

（2）泵浦光w2低損耗（低轉(zhuǎn)換效率）

（3）共線和頻，且相位匹配

（4）忽略吸收那么從三波耦合方程可得，第九十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五利用初始條件，解以上方程得光學(xué)和頻（光學(xué)上轉(zhuǎn)換）

OpticalSumFrequency（OpticalUpConversion）因?yàn)槭浅?shù)，故可令其初相位為零。于是它為實(shí)量。引入?yún)?shù)

第九十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)和頻（光學(xué)上轉(zhuǎn)換）

OpticalSumFrequency（OpticalUpConversion）利用光強(qiáng)得轉(zhuǎn)換效率為兩功率之比所以，當(dāng)很小時(shí)，即結(jié)論第九十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)和頻（光學(xué)上轉(zhuǎn)換）

OpticalSumFrequency（OpticalUpConversion）虛擬能級(jí)低能級(jí)量子理論的描述：第九十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五利用解得：光學(xué)差頻及

OpticalDifferenceFrequencyandParametricAmplification使用與和頻過程相同的假設(shè)，我們可以得到差頻的方程

差頻效率－FilterPumplight第九十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)參量放大

OpticalParametricAmplification－FilterPumplight使用和頻相同假設(shè)和泵浦光低損耗，可以得到以下方程

解以上方程得待放大閑置光放大倍數(shù)

第九十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)差頻和參量放大

OpticaldifferentFrequencyandOpticalParameterAmplification或第九十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)參量振蕩

OpticalParameterOscillators

由參量放大的方程通解為光場(chǎng)空間的函數(shù)第一百頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)參量振蕩的

OpticalParameterOscillators振幅反射率Z=0ll1l2（1）正向傳播，單程放大

（2）反向傳播，參量放大相位失配，單程不放大

（3）表面反射影響

第一百零一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)參量振蕩

OpticalParameterOscillators設(shè)A1被放大的部分剛好抵消來回一周的損耗，那么循環(huán)一周后光場(chǎng)相等，即即要使以上方程有非零解，那么要求行列式為零，即

由上式得另外，在諧振腔產(chǎn)生振蕩，滿足縱模條件第一百零二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)參量振蕩

OpticalParameterOscillators當(dāng)信號(hào)光(待放大光)和閑置光都同時(shí)共振時(shí)，式子變?yōu)楫?dāng)gl<<1時(shí)，

從以上式子，求得記第一百零三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)參量振蕩

OpticalParameterOscillators利用式子可以得到泵浦光的閾值功率為參量振蕩存在的問題（1）腔體固定時(shí)，縱模產(chǎn)生跳動(dòng)

第一百零四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)參量振蕩

OpticalParameterOscillators只有滿足參量振蕩才能發(fā)生，所以要求縱模間隔為

由上式可得使振蕩器在其它頻率發(fā)生振蕩，如上圖所示即是說，當(dāng)腔體很穩(wěn)定時(shí)，會(huì)產(chǎn)生劇烈的（縱模）跳模，頻率不連續(xù)第一百零五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五三階非線性耦合波方程

CoupledWaveEquationforThirdNonlinearOptics先回憶三波耦合方程的一個(gè)方程

[n=2,]2d1公共因子而三階極化強(qiáng)度為r為頻率簡(jiǎn)并度，即頻率相同數(shù)目第一百零六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五三階非線性耦合波方程

CoupledWaveEquationforThirdNonlinearOptics前兩個(gè)頻率的極化強(qiáng)度為第一百零七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五三階非線性耦合波方程

CoupledWaveEquationforThirdNonlinearOptics依照二階的記號(hào)方法，引入記號(hào)

那么各個(gè)三階極化率就可以表示處理公共因子將這里3/2歸并于公共因子的系數(shù)第一百零八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五三階非線性耦合波方程

CoupledWaveEquationforThirdNonlinearOptics最后得到四波混頻的耦合波方程XPMSPM混頻第一百零九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)三次諧波

OpticalThirdHarmonic現(xiàn)在知道了只有一個(gè)頻率，發(fā)生和頻的情況耦合波方程只剩下兩個(gè)

第一百一十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)三次諧波

OpticalThirdHarmonic在實(shí)驗(yàn)中，三次諧波的轉(zhuǎn)換效率很低，可近似將輸入光強(qiáng)看作不變，那么只需考慮一個(gè)方程即可設(shè)產(chǎn)生諧波的有效長(zhǎng)度為L(zhǎng)，那么以上方程積分得

利用得到輸出三倍頻的光強(qiáng)為第一百一十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五光學(xué)三次諧波

OpticalThirdHarmonic當(dāng)k＝0時(shí)，有最大的三次諧波效率

虛擬能級(jí)低能級(jí)第一百一十二頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五忽略第一項(xiàng)和二階效應(yīng)并且代入三階極化強(qiáng)度，波動(dòng)方程變?yōu)楣鈱W(xué)自聚焦效應(yīng)

OpticalSelf-focusingEffect1.06nm

自聚焦效應(yīng)引起的空氣擊穿自聚焦效應(yīng)來自與自相位調(diào)制（SPM）三階非線性項(xiàng)，波動(dòng)方程以上方程可以具有以下形式r為垂直于波矢k的坐標(biāo)，注意這里的形式是在忽略了光場(chǎng)散度時(shí)才成立的。第一百一十三頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五雙光子吸收

Two-PhotonAbsorption1.06mm若丹明6GKDP晶體雙光子熒光倍頻0.53mmEu:CaF2(具有中心反演對(duì)稱性)694nm694nm347nm注意：這時(shí)雙光子吸收，上能級(jí)已經(jīng)不是虛擬能級(jí)，而是物質(zhì)存在的能級(jí)第一百一十四頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五雙光子吸收

Two-PhotonAbsorption忽略線性吸收項(xiàng)，從以上的四波耦合方程可得，分別用以上第一和第二式，分別可得

兩方程分別取共軛，并且利用1,4,21,24遠(yuǎn)離共振，得

第一百一十五頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五分別是的虛部，這時(shí)不能忽略為什么？雙光子吸收

Two-PhotonAbsorption以上共軛前和共軛后的兩式相加，變得得對(duì)雙光子吸收過程，必有

第一百一十六頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五雙光子吸收

Two-PhotonAbsorption根據(jù)以上的方程，在吸收很小的情況下，我們可以近似得到N4(z)N1(z)N4(0)-N1(0)N4(0)N1(0)線性吸收公式

作業(yè)：雙光子吸收與線性吸收的區(qū)別？第一百一十七頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五拉曼散射與受激拉曼散射

SpontaneousandStimulatedRamanScattering1923年拉曼的學(xué)生拉瑪納桑觀察到此現(xiàn)象但認(rèn)為那是雜質(zhì)熒光。拉曼于1928年確認(rèn)那是一種新現(xiàn)象。拉曼散射給量子力學(xué)提供了證據(jù)，而且為化學(xué)家提供了觀察分子內(nèi)在結(jié)構(gòu)的工具。他因此而獲得1930年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。C.V.Raman第一百一十八頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五拉曼散射與受激拉曼散射

SpontaneousandStimulatedRamanScattering量子力學(xué)模型振動(dòng)頻率虛能級(jí)斯托克斯(Stokes)效應(yīng)反斯托克斯(Anti-Stokes)效應(yīng)第一百一十九頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五拉曼散射與受激拉曼散射

SpontaneousandStimulatedRamanScattering拉曼散射的經(jīng)典模型用q表示分子振動(dòng)的簡(jiǎn)正坐標(biāo)，在光場(chǎng)的驅(qū)動(dòng)下做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，那么q可以寫為

線性極化率為q的函數(shù)

那么將極化率展開，在光場(chǎng)作用下，極化強(qiáng)度為

新的頻率產(chǎn)生第一百二十頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五拉曼散射與受激拉曼散射

SpontaneousandStimulatedRamanScattering產(chǎn)生頻率更低的紅光第一百二十一頁，共一百三十一頁，編輯于2023年，星期五拉曼散射與受激拉曼散射

SpontaneousandStimulatedRamanScatterin