新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件111空間向量及其線性運(yùn)算

第一章空間向量與立體幾何空間向量及其運(yùn)算空間向量及其線性運(yùn)算1.空間向量的概念(1)在空間,把具有_____和_____的量叫做空間向量,空間向量的大小叫做空間向量的_____或模.空間向量也用有向線段表示,有向線段的_____表示空間向量的模,向量a的起點(diǎn)是A,終點(diǎn)是B,則向量a也可以記作,其模記為|a|或||.必備知識·素養(yǎng)奠基大小方向長度長度(2)幾類特殊的空間向量:名稱定義及表示零向量長度為0的向量叫做_______,記為0單位向量______的向量叫做單位向量相反向量與向量a長度_____而方向_____的向量,叫做a的相反向量,記為-a相等向量方向_____且模_____的向量叫做相等向量,_____且_____的有向線段表示同一向量或相等向量共線向量(平行向量)如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線_______________,那么這些向量叫做_________或平行向量零向量模為1相等相反相同相等同向等長互相平行或重合共線向量2.空間向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律【思考】空間兩個向量的加減法與平面內(nèi)兩個向量的加減法有沒有區(qū)別?提示:沒有區(qū)別.3.向量共線的充要條件對任意兩個空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是存在_______,使a=λb.4.直線的方向向量若非零向量a在直線l上,與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.實數(shù)λ5.共面向量(1)定義:平行于___________的向量,叫做共面向量.(2)充要條件:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使p=______.同一個平面xa+yb【思考】若對任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A,B,C,且則x+y+z=1是四點(diǎn)P,A,B,C共面的充要條件嗎?為什么?提示:是.因為P,A,B,C共面的充要條件是存在m,n使即令x=1-m-n,y=m,z=n.則且x+y+z=1.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”).(1)向量的長度與向量的長度相等. ()(2)空間兩向量共線是指表示它們的有向線段在同一條直線上. ()(3)空間向量的數(shù)乘中,λ只決定向量的大小,不決定向量的方向. ()提示:(1)√,對于任意向量和,都有=成立.(2)×,空間中的兩個向量共線是指表示它們的有向線段所在的直線平行或重合.(3)×,λ既決定向量的大小,又決定向量的方向.2.化簡所得的結(jié)果是 ()A. B. C.0 D.【解析】選C.3.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)表示的向量中,模與向量的模相等的向量有

個.

【解析】如圖,模與向量的模相等的向量有共7個.

答案:7關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一空間向量的概念及簡單應(yīng)用【典例】1.下列說法中正確的是 ()A.單位向量都相等B.任一向量與它的相反向量不相等C.若|a|=|b|,則a與b的長度相等,方向相同或相反D.若a與b是相反向量,則|a|=|b|2.如圖所示,以長方體ABCD-A1B1C1D1的8個頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中:

(1)試寫出與相等的所有向量;(2)試寫出的相反向量;(3)若AB=AD=2,AA1=1,求向量的模.【思維·引】1.根據(jù)空間向量的定義,逐項驗證.2.根據(jù)相等向量,相反向量定義求前兩問,再根據(jù)求向量模的方法求第三問.【解析】1.選D.單位向量的模都等于1,但方向不一定相同,可以是任意方向,故A錯誤;0的相反向量還是0,它們是相等的,故B錯誤;當(dāng)|a|=|b|時,a與b的方向是任意的,不一定相同或相反,故C錯誤;當(dāng)a與b互為相反向量時,|b|=|-a|=|a|,故D正確.2.(1)與向量相等的所有向量(除它自身之外)有共3個.(2)向量的相反向量為【類題·通】利用向量的概念解題時的注意點(diǎn)(1)熟練掌握空間向量的有關(guān)概念是解決問題的關(guān)鍵;(2)判斷有關(guān)向量的命題時,要抓住向量的兩個主要元素:大小和方向,兩者缺一不可,相互制約.【習(xí)練·破】下列命題正確的有:

.(填序號)

①兩個空間向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)也相同;②若向量③在正方體ABCD-A1B1C1D1中,必有④若空間向量m,n,p滿足m=n,n=p,則m=p.【解析】①假命題.當(dāng)兩向量起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同時兩向量相等,但兩向量相等不一定起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同.②假命題.向量只能比較相等或不相等,不能比較大小.③真命題.方向相同且模相等.④真命題.由相等向量的定義可知此命題正確.答案:③④類型二空間向量加減法運(yùn)算【典例】如圖,已知長方體ABCD-A＇B＇C＇D＇,化簡下列向量表達(dá)式,并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.

【思維·引】靈活應(yīng)用向量的加減法法則進(jìn)行計算.【解析】(1)

(2)向量如圖所示,【內(nèi)化·悟】向量的減法與加法之間有什么關(guān)系?提示:向量減法是加法的逆運(yùn)算,減去一個向量等于加上這個向量的相反向量.【類題·通】空間向量加法、減法運(yùn)算的技巧(1)巧用相反向量:向量減法的三角形法則是解決空間向量加、減法的關(guān)鍵,靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接.(2)巧用平移:利用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行向量加、減法運(yùn)算時,務(wù)必注意和向量、差向量的方向,必要時可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果.【習(xí)練·破】化簡()-()=_______.

【解析】方法一:(利用相反向量的關(guān)系轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算)方法二:(利用向量的減法運(yùn)算法則求解)

答案:0【加練·固】在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,化簡并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果的向量.【解析】在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中,四邊形AA1F1F是平行四邊形,所以同理所以如圖,類型三空間向量的數(shù)乘角度1空間向量的數(shù)乘運(yùn)算【典例】如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)=a,=b,=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,c表示以下各向量:【思維·引】將所求向量置于適當(dāng)?shù)娜切位蚨噙呅沃?利用三角形法則、平行四邊形法則或首尾相接的方法,將所求向量表示出來,然后化簡整理.【解析】(1)因為P是C1D1的中點(diǎn),所以=a+c+=a+c+b.(2)因為N是BC的中點(diǎn),所以=-a+b+=-a+b+c.(3)因為M是AA1的中點(diǎn),所以又所以角度2空間向量的共面問題【典例】如圖所示,已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直,點(diǎn)M,N分別在對角線BD,AE上,且BM=BD,AN=AE.求證:向量共面.【思維·引】把表示出來,利用向量共面的充要條件即可證明.【證明】因為M在BD上,且BM=BD,所以同理所以又不共線,根據(jù)向量共面的充要條件可知共面.【類題·通】證明空間三向量共面或四點(diǎn)共面的方法(1)向量表示:設(shè)法證明其中一個向量可以表示成另兩個不共線向量的線性組合,即若p=xa+yb,則向量p,a,b共面.(2)若存在有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使得對于空間任一點(diǎn)O,有且x+y+z=1成立,則P,A,B,C四點(diǎn)共面.【習(xí)練·破】已知非零向量e1,e2不共線,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求證:A,B,C,D四點(diǎn)共面.【證明】令則e1+e2=x(2e1+8e2)+y(3e1-3e2)=(2x+3y)e1+(8x-3y)e2.因為e1和e2不共線,所以所以所以A,B,C,D四點(diǎn)共面.【加練·固】如圖,已知四邊形ABCD為正方形,P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn),P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中點(diǎn),求下列各式中x,y的值:【解析】(1)因為所以x=y=-.(2)因為,所以又因為所以從而有所以x=2,y=-2.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.判斷下列各命題的真假:①向量a與b平行,則a與b的方向相同或相反;②零向量沒有方向;③兩個有公共終點(diǎn)的向量,一定是共線向量;④有向線段就是向量,向量就是有向線段.其中假命題的個數(shù)為 ()【解析】選C.①假命題,若a與b中有一個為零向量時,其方向是不確定的;②假命題,零向量方向任意,但不是沒有方向;③假命題,終點(diǎn)相同并不能說明這兩個向量的方向相同或相反;④假命題,向量可用有向線段來表示,但并不是有向線段.2.(2020·焦作高二檢測)在△ABC中,D是線段AB上靠近B的三等分點(diǎn),E是線段AC的中點(diǎn),BE與CD交于F點(diǎn),若=a+b,則a,b的值分別為()【解析】選A.取AD的中點(diǎn)為G,連接GE.由已知得GE∥CD,所以DF∥EG,又因為D是GB的中點(diǎn),所以F是BE的中點(diǎn),所以所以a=,b=.3.在空間四邊形ABCD中,M,G分別是BC,CD的