第十七章 第十七章 動(dòng)能定理

第十七章第十七章動(dòng)能定理第一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五第十七章動(dòng)量定理第一節(jié)力的功第二節(jié)動(dòng)能第三節(jié)動(dòng)能定理第四節(jié)功率和功率方程下一頁(yè)上一頁(yè)第二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。一、常力的功下一頁(yè)上一頁(yè)第一節(jié)力的功FSFSW×==

cosa力的功是代數(shù)量。時(shí)，正功；時(shí)，功為零；時(shí)，負(fù)功。單位：焦耳（Ｊ）；2pa<2pa=2pa>m1N1J1×=第三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、變力的功

dzFdyFdxFzyx++=dsFt=dsFWadcos=元功：下一頁(yè)上一頁(yè)rdF×=第四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五力在曲線(xiàn)路程中作功為F21MM下一頁(yè)上一頁(yè)（自然形式表達(dá)式）ò=ò=2121cosMMMMdsFdsFWta（矢量式）ò×=21MMrdF（直角坐標(biāo)表達(dá)式）ò++=21MMzyxdzFdyFdxF第五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五下一頁(yè)上一頁(yè)三、合力的功質(zhì)點(diǎn)M受n個(gè)力作用合力為則合力的功RnFFF,,,21……?=iFRrdFFFrdRWnMMMM×+……..++=×=òò)(212121nMMnMMMMWWWrdFrdFrdF+++=×+……..,.+×+×=òòòL2121212121

在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。即

?=iWW第六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五四、常見(jiàn)力的功1.重力的功mgFFFzyx-===

,0

,0質(zhì)點(diǎn)：重力在三軸上的投影：下一頁(yè)上一頁(yè)ò-=-=21)(21zzzzmgmgdzW質(zhì)點(diǎn)系：

質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。)()(2121CCiiiizzMgzzgmWW-=-==??第七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.彈性力的功彈簧原長(zhǎng)，在彈性極限內(nèi)代數(shù)量k—彈簧的剛度系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力。N/m,N/cm。

0l)(0lrk--=022011202201,

])()[(2lrlrlrlrk-=-=---=dd令彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。下一頁(yè)上一頁(yè)200)(2)(2121lrdkdrlrkWrrrr--=--=òò第八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

3．作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功，

力偶的功設(shè)在繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上M點(diǎn)作用有力，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過(guò)一角度時(shí)力所作的功。M點(diǎn)軌跡已知。FFbnFFFF++=t下一頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)上一頁(yè)第九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。如果作用力偶M,且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸力矩與剛體轉(zhuǎn)向一致作功。下一頁(yè)上一頁(yè))(12jj-=MWjjdttdFmrdFdsFWz)(=×==ò-==\21)()(

12jjjjjjdFmWz若M=常量,則ò=21jjjMdW第十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五正壓力，摩擦力作用于瞬心P處，而瞬心的元位移NFN=常量時(shí),W=–f′N(xiāo)S,與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。RsmmW-=-=j若m=常量則②圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力的功③滾動(dòng)摩擦阻力偶m的功

4.摩擦力的功①動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功下一頁(yè)上一頁(yè)0==dtvdrpp0=×=×=dtvFdrFWppd第十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五五、質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功

只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等于零。下一頁(yè)上一頁(yè)BArdFrdFW×+×='dBArdFrdF×-×=)(BArrdF-×=×)(BAdF=第十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五六、理想約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱(chēng)為理想約束。

2.光滑鉸支座1.光滑接觸面約束下一頁(yè)上一頁(yè))(

0)(rdNrdNWN^=×=d第十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五3.光滑鉸鏈（中間鉸）4.柔索約束

拉緊時(shí)，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。下一頁(yè)上一頁(yè)?×+×=rdNrdNWN')(d0=×-×=rdNrdN第十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。與速度方向無(wú)關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位也是J。二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

下一頁(yè)上一頁(yè)第二節(jié)動(dòng)能221mvT=221iivmT?=第十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五221wPJT=（P為速度瞬心）2MdJJCP+=1111222222

2)(22wwwCCCJvMdMJ+=+=1.平動(dòng)剛體2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體3.平面運(yùn)動(dòng)剛體三、剛體的動(dòng)能下一頁(yè)上一頁(yè)22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT====??222221)(2121wwziiiiJrmvmT===??第十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：)21(

2mvdmvdv=而dsFWmvdtd==)21(2因此

動(dòng)能定理的微分形式將上式沿路徑積分，可得21MMWmvmv=-21222121動(dòng)能定理的積分形式下一頁(yè)上一頁(yè)第三節(jié)動(dòng)能定理ttFmaFam=T=

兩邊點(diǎn)乘以，有dsvdt=dsFmvdv×=t第十七頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可寫(xiě)成以下的形式2.質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理將上式沿路徑積分，可得21MMiiiWvmdd=)21(2對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn)

：iM下一頁(yè)上一頁(yè)對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有????=T=iiiiiiWvmdWvmddd)21(

)21(22即

質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式?=iWdTd?=-WTT12?=-iWTT12

為所有外力與內(nèi)力的功之和?iW第十八頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

例1

圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤(pán)A、B各重P，半徑均為R,兩盤(pán)中心線(xiàn)為水平線(xiàn),盤(pán)A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問(wèn)下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，盤(pán)B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)下一頁(yè)上一頁(yè)第十九頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象01=T222221

2121BCAOJvgQJTww++=下一頁(yè)上一頁(yè))/(

RhQhMWi=+=?jj)78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA+=×++×=ww第二十頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4

)(0)78(162++=+=-+上式求導(dǎo)得：7P8QQ)g8(M/Ra++=下一頁(yè)上一頁(yè)?=-iWTT12由)(

)(2dtdhvdtdhQRMdtdvv=+=×1678gPQ+第二十一頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例2行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),放在水平面內(nèi)。動(dòng)齒輪半徑r,重P,視為均質(zhì)圓盤(pán)；曲柄重Q,長(zhǎng)l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)；求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角的函數(shù)表示)。解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象01=T下一頁(yè)上一頁(yè)?=jMWi212222121321w2212

wgrPvgPgQlT×++=第二十二頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五wwwrlrvlv===111

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222222221292

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)(26wwwwlgPQrlgrPlgPgQlT+=++=根據(jù)動(dòng)能定理，得jwMlgPQ=-+0129222PQgMl9232+=jw下一頁(yè)上一頁(yè)212222121321w212

2

wgrPvgPgQlT×++=第二十三頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五

一、功率：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功。作用力的功率：力矩的功率：功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。下一頁(yè)上一頁(yè)第四節(jié)功率和功率方程dtWPd=vFdtdsFdtWPttd=×==30pwjdnMMdtdMdtWPzzz=×===第二十四頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五P輸入—輸入功率P有用—有用功率P無(wú)用—無(wú)用功率下一頁(yè)上一頁(yè)二、功率方程：由的兩邊同除以dt得?=WdTd??--===無(wú)用有用輸入即PPPPdtdTdtWdtdT

d第二十五頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五是評(píng)定機(jī)器質(zhì)量?jī)?yōu)劣的重要指標(biāo)之一。一般情況下＜１。工程上把機(jī)器的有用輸出功率與輸入功率之比稱(chēng)為機(jī)械功率三、機(jī)械功率下一頁(yè)上一頁(yè)第二十六頁(yè)，共二十七頁(yè)，編輯于2023年，星期五例3單級(jí)齒輪減速器，電動(dòng)機(jī)的功率P=7.5kW，轉(zhuǎn)速n=1450ra