2023年考研數(shù)一真題及答案解析

2023年考研數(shù)一真題及答案解析

一、選擇題

1、曲線y=(x7)(x_2)2(x_3)3(x—4)4的拐點(diǎn)是()

(A)[1,0)(B)(2,0)(C)(3,0)(D)(4,0)

【答案】C【考點(diǎn)分析】此題考查拐點(diǎn)的判斷。直接利用判斷拐點(diǎn)的必要條件和第二充分條件即可。

【解析】由y=(無-1)(%-2)2(%_3)3(尤_4)4可知1,2,3,4分別是)，=(%_1)(工_2)2(%_3)3(了_4)4=0

的一、二、三、四重根，故由導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系可知>'⑴工0,y'(2)=y'(3)=y'(4)=0

)，"⑵。0,/(3)=/(4)=0,y”(3)#0,丈(4)=0,故(3,0)是一拐點(diǎn)。

2、設(shè)數(shù)列｛/｝單調(diào)減少，lim=0,S“=￡4(〃=1,2……)無界，那么基級數(shù)1)”的收斂

W—00

>女=1n=l

域?yàn)?)(A)(-1,1](B)[-1,1)(C)[0,2)(D)(0,2]

【答案】C【考點(diǎn)分析】此題考查基級數(shù)的收斂域。主要涉及到收斂半徑的計(jì)算和常數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性的一

些結(jié)論，綜合性較強(qiáng)。

【解析】S“=￡4(〃=1,2……)無界，說明基級數(shù)￡為(X—1)”的收斂半徑HW1；

&=1n=l

00QO

｛”“｝單調(diào)減少，Uman=0,說明級數(shù)1)”收斂，可知幕級數(shù)￡a“(x—l)”的收斂半徑

n=l/i=l

因此，塞級數(shù)的收斂半徑R=l,收斂區(qū)間為(0,2)。又由于x=0時(shí)塞級數(shù)收斂，x=2時(shí)

n=l

事級數(shù)發(fā)散。可知收斂域?yàn)閇0,2)。

3、設(shè)函數(shù)/(x)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且/(x)>0,/(0)'=0,那么函數(shù)z=/(x)ln/(y)

在點(diǎn)。0)處取得極小值的一個(gè)充分條件是0

⑷/(o)>i,r(o)>o(B)/(o)>i,r(o)<o

(O/(o)<i,r(o)>o(D)/(o)<i,r(o)<o

【答案】C【考點(diǎn)分析】此題考查二元函數(shù)取極值的條件，直接套用二元函數(shù)取極值的充分條件即可。

【解析】由z=/(x)ln/(y)知z：=/'(x)ln/(y),z：=04/'(y),2/=柴/'(力

f(y)f(y)

<=r(x)ln/(y))z,一⑺一有了萬

所以z：=4^r(0)=0,zj=r(O)ln/(O),

著/(°).腎

要使得函數(shù)Z=/(x)lnf(y)在點(diǎn)(0,0)處取得極小值，僅需

A0)ln/(0)>0,r(0)In/(0)-尸(0)>0

所以有/(0)>1，/70)>0

nnIT

4、設(shè)/=plnsinArfx,/=FlncotMx,K=「IncosMr,那么/,J,K的大小關(guān)系是()

JoJoJo

(A)I<J<K⑻I<K<J(C)J<I<K(D)K<J<I

【答案】B

【考點(diǎn)分析】此題考查定積分的性質(zhì)，直接將比較定積分的大小轉(zhuǎn)化為比較對應(yīng)的被積函數(shù)的大小即可。

【解析】xc(0,工)時(shí)，0<sinx<<cosx<cotx,因此lnsinx<lncosx<lncotx

元7t7t

I4lnsinAz/x<「Ineos岫<「Incot皿，應(yīng)選(B)

JoJoJo

5.設(shè)A為3階矩陣，將4的第二列加到第一列得矩陣3,再交換6的第二行與第一行得單位矩陣.記

10011100一

4=110,4=001，那么A=(

001010

[A)PR(B)Pt-'P2(C)P2Pt(D)P；'P.

【答案】D【考點(diǎn)分析】此題考查初等矩陣與初等變換的關(guān)系。直接應(yīng)用相關(guān)定理的結(jié)論即可。

【解析】由初等矩陣與初等變換的關(guān)系知=6,P?B=E,所以4=86-1=/7立-|=舄6-1,應(yīng)選(D)

6、設(shè)/=(%,%，%，。4)是4階矩陣，4為4的伴隨矩陣，假設(shè)(1,0,1,0)，是方程組4=0的一個(gè)根底解

系，那么4"=0根底解系可為0

(A)%,a3(B)%，a2(0a2,a3(D)a2,a3,a4

【答案】D【考點(diǎn)分析】此題考查齊次線性方程組的根底解系，需要綜合應(yīng)用秩，伴隨矩陣等方面的知識,

有一定的靈活性。

【解析】由4=0的根底解系只有一個(gè)知r(A)=3,所以r(A*)=l,又由A*A=|A|E=O知，a,,a2,a3,a4

都是A*x=0的解，且A*x=0的極大線生無關(guān)組就是其根底解系，又

.、o

=(即。2，。304)]=?!+?,=0,所以線性相關(guān)，故%a2,%或%，%，%為極大無

關(guān)組，故應(yīng)選(D)

7、設(shè)耳(X),瑪(X)為兩個(gè)分布函數(shù)，其相應(yīng)的概率密度/(X)/(X)是連續(xù)函數(shù)，那么必為概率密度的是

()

(A)fM/2(x)⑻2a(x/(x)

(C)工(X)鳥(X)⑹/(X)瑪(力+人(x)K(x)

【答案】D【考點(diǎn)分析】此題考查連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度的性質(zhì)。

【解析】檢驗(yàn)概率密度的性質(zhì)：工(力用(力+力(x)6(x)N0；

J'"(x)K(x)+力(x)K(x)辦:="(x)6(x)匚=1?？芍?(x)E(x)+力(X)耳(X)為概率密度，應(yīng)

選(。)。

8、設(shè)隨機(jī)變量X與y相互獨(dú)立，且石￥與石上存在，記U=nnx{x,y},V=min{x,y},那么石(UV)=

()

(A)EUEV(B)EXEY(0EUEY(D)EXES/

【答案】B【考點(diǎn)分析】此題考查隨機(jī)變量數(shù)字特征的運(yùn)算性質(zhì)。計(jì)算時(shí)需要先對隨機(jī)變量UV進(jìn)行處理,

有一定的靈活性。

【解析】由于UV=max{X,y}min{X,y}=XT

可知E(UV)=E(max{X,Y}min{X,丫})=￡(XK)=￡(X)￡(K)

故應(yīng)選(B)

二、填空題

9、曲線y=1'tanf力(04x47)的弧長s=

【答案】1-TT2【考點(diǎn)分析】此題考查曲線弧長的計(jì)算，直接代公式即可。

4

［解析］s=『(,)-公=/tan?x<ir=『sec2x-1公=tanx-電=1-^

10、微分方程V+)=**cosx滿足條件y(0)=0的解為y=

【答案】y=sinxe-'

【考點(diǎn)分析】此題考查一階線性微分方程的求解。先按一階線性微分方程的求解步驟求出其通解，再根據(jù)

定解條件，確定通解中的任意常數(shù)。

【解析】原方程的通解為

由y(0)=0,得C=0,故所求解為y=sinxeT

11、設(shè)函數(shù)Mx,y)=『言^山，那么票r

y=2

【答案】4

【考點(diǎn)分析】此題考查偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。

2223

【解析】經(jīng)=4吟，學(xué)=2：,cosxy(l+xy)-2xysin町d2F

故=4o

2

oxl+xyox。+一打dxA-O

12、設(shè)L是柱面方程V+y2=l與平面z=x+y的交線，從z軸正向往Z軸負(fù)向看去為逆時(shí)針方向，那么

曲線積分Jxzdx+xdy+—dz-

L

【答案】K

【考點(diǎn)分析】此題考查第二類曲線積分的計(jì)算。首先將曲線寫成參數(shù)方程的形式，再代入相應(yīng)的計(jì)算公式

計(jì)算即可。

x=cost

【解析】曲線L的參數(shù)方程為,y=sinr,其中f從0到2萬。因此

z=cost+sinr

13、假設(shè)二次曲面的方程為x2+3y2+z2+2ayy+2xz+2yz=4,經(jīng)正交變換化為y：+4z：=4,那么a=

【答案】-1

【考點(diǎn)分析】此題考查二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)型的相關(guān)知識。題目中的條件相當(dāng)于告訴了二次型的特

征值，通過特征值的相關(guān)性質(zhì)可以解出4。

【解析】此題等價(jià)于將二次型/（x,y,z）=/+3y2+z2+2叼+2xz+2yz經(jīng)正交變換后化為了

/=y；+4z；。由正交變換的特點(diǎn)可知，該二次型的特征值為1,4,0。

」a1、

該二次型的矩陣為A=a31,可知|A|=—a2—2a—l=0,因此a=T。

J11,

14、設(shè)二維隨機(jī)變量（x,y）服從N（〃,〃”2Q2；O）,那么E（XX）=

【答案】〃3+心

【考點(diǎn)分析】：此題考查二維正態(tài)分布的性質(zhì)。

【解析】：由于P=0,由二維正態(tài)分布的性質(zhì)可知隨機(jī)變量x,y獨(dú)立。因此E（xy2）=￡x-Ey2。

由于（X,y）服從N（〃,〃;o■2,c^2;0）,可知￡￥=〃,￡：片=。丫+（七丫）2=〃2+/,那么

E(Xy2)=//(X/2+cr2)=x/3+x/CT2?

三、解答題

ln(l+X)\ex-}

15、（此題總分值10分）求極限lim

XTOX

I

【答案】J5

【考點(diǎn)分析】：此題考查極限的計(jì)算，屬于式形式的極限。計(jì)算時(shí)先按式未定式的計(jì)算方法將極限式變形,

再綜合利用等價(jià)無窮小替換、洛必達(dá)法那么等方法進(jìn)行計(jì)算。

I?_Iln(l+x)-X1..ln(l+.r)-A京T

尤)]Elim-Inn--------——hm-^—

ln(l+ln(l+x)-xxs

【解析】：limlim1+ex~^xe-\式用.v—2x

x->0x

16、（此題總分值9分）設(shè)z=/（^,yg（x））,其中函數(shù)/具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)gQ）可導(dǎo)，且在x=l

處取得極值g（l）=l,求

dxdyx=l,y={

【答案】兒（1,1）+幾（1,1）

【考點(diǎn)分析】：此題綜合考查偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和二元函數(shù)取極值的條件，主要考查考生的計(jì)算能力，計(jì)算量較

大。

Az,..

【解析】：彳=工(肛,yg(x))y+力(肛,yg(x))yg⑴

OX

由于g（x）在x=1處取得極值g⑴=1,可知g⑴=0。

故

17、（此題總分值10分）求方程左arctanx-x=0不同實(shí)根的個(gè)數(shù)，其中攵為參數(shù)

【答案】AW1時(shí)，方程攵arctanx-x=0只有一個(gè)實(shí)根

女＞1時(shí)，方程Zarctanx—x=0有兩個(gè)實(shí)根

【考點(diǎn)分析】：此題考查方程組根的討論，主要用到函數(shù)單調(diào)性以及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。解題時(shí)，首

先通過求導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再在每個(gè)單調(diào)區(qū)間上檢驗(yàn)是否滿足零點(diǎn)存在定理的條件。

kk—1—丫2

【解析】：令/l（?=%arctanx—x,那么，（0）=0,f\x）=——-1=----—,

1+x\+x

（1）當(dāng)％＜1時(shí)，r（x）＜0,/（X）在（—，心）單調(diào)遞減，故此時(shí)/（X）的圖像與X軸與只有一個(gè)交點(diǎn),

也即方程Zarctanx-x=0只有一個(gè)實(shí)根

（2）攵=1時(shí)，在（-8,0）和（0,+o。）上都有/（x）＜0,所以f（x）在（―8,0）和（0,+o。）是嚴(yán)格的單調(diào)遞

減，又/（0）=0,故/（x）的圖像在（-8,0）和（0,+0。）與x軸均無交點(diǎn)

（3）女＞1時(shí)，-尿二＜x（尿口時(shí),r（x）＞o,/⑶在（一vrn,vr^T）上單調(diào)增力口，又/（o）=o

知，“X）在斤）上只有一個(gè)實(shí)根，又/（幻（一00,一灰1）或“口工+8）都有/'（x）＜0,

/（x）在（一oo,-GT）或（d,+oo）都單調(diào)減，又了（—?。荩?,limf（x）=+oo,

X-＞-Q0

＞0,limf（x）=-oo,所以/（x）在（-oo,-〃-1）與。軸無交點(diǎn),在（JZ-1,+8）上與不軸有一

個(gè)交點(diǎn)

綜上所述：時(shí)，方程Zarctanx-x=0只有一個(gè)實(shí)根

女＞1時(shí)，方程Zarctanx-x=0有兩個(gè)實(shí)根

18、（此題總分值10分）證明：（1）對任意正整數(shù)〃，都有」一＜ln（l+,）

〃+1nn

（2）設(shè)a“=l+'++l-lnn（n=l,2,）,證明數(shù)列｛a,,｝收斂

2n

【考點(diǎn)分析】：此題考查不等式的證明和數(shù)列收斂性的證明，難度較大。（1）要證明該不等式，可以將其轉(zhuǎn)

化為函數(shù)不等式，再利用單調(diào)性進(jìn)行證明；12）證明收斂性時(shí)要用到單調(diào)有界收斂定理，注意應(yīng)用（1）的

結(jié)論。

1x

【解析】：(1)令一=x,那么原不等式可化為——<ln(l+x)<x,x>Oo

nx+1

先證明ln(l+x)<x,x>0：

令/(x)=x—ln(l+x)。由于f(x)=l-上>0,x>0,可知/(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增。又由于

/(0)=0,因此當(dāng)x>0時(shí)，/(幻>/(0)=0。也即ln(l+x)<x,x〉O。

X

再證明----<ln(l+x),x>0：

x+1

X11

令g(x)=ln(l+x)-----o由于g(x)=------------^->0,x>0,可知g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增。由

X+11+X(1+X)

X

于g(0)=0,因此當(dāng)x>0時(shí)，g(x)>g(0)=0。也即——<ln(l+x),x>0o

x+1

x

因此，我們證明了——<ln(l+x)<x,x>0。再令由于，即可得到所需證明的不等式。

x+1

(2)4田一%=_1——ln(l+-),由不等式」一<為(1+!)可知：數(shù)列｛4｝單調(diào)遞減。

n4-1nn+1n

又由不等式ln(l+!)<4可知：

nn

d=1H---FH---ln〃>ln(l+1)+ln(lH—)+...+ln(lH—)-In〃=ln(n+1)—In九>0。

fl2n2n

因此數(shù)列｛&｝是有界的。故由單調(diào)有界收斂定理可知：數(shù)列｛/｝收斂。

19、(此題總分值11分)函數(shù)/(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且/(l,y)=0,/(x,l)=0,y)dxdy=a,

D

其中。=｛(x,y)10VX<1,0<y<1｝,計(jì)算二重積分/=JJxyfj(x,y)dxdy

D

【答案】：a

【考點(diǎn)分析】：此題考查二重積分的計(jì)算。計(jì)算中主要利用分部積分法將需要計(jì)算的積分式化為的積分式，

出題形式較為新穎，有一定的難度。

【解析】：將二重積分，xyfj(x,y)如"轉(zhuǎn)化為累次積分可得

D

首先考慮「巧以”(x,y)公，注意這是是把變量y看做常數(shù)的，故有

Jo

由/(1,y)=/(x,D=o易知?(1,y)=￡(%,1)=0。

故]不九"(x,y)公=一1Wv'(x,yu&。

JoJo

對該積分交換積分次序可得：-「辦fyf'Ax,y)dx^-[dx「W：(x,y)dy

JoJoJoJo

再考慮積分「Wv'(x，yMv，注意這里是把變量了看做常數(shù)的，故有

Jo

因此

20、(此題總分值11分)1=(1,0,1)，%=(°，1，1)，4=(1，3,5)，不能由

4=(1,4,1)',鳳=(1,2,3)，/73=(1,3,5),線性表出。①求。；②將母&月由四，%，%線性表出。

’215)

【答案】：①a=5；②(442片)=(%?2?3)4210

、一10一2,

【考點(diǎn)分析】：此題考查向量的線性表出，需要用到秩以及線性方程組的相關(guān)概念，解題時(shí)注意把線性表出

與線性方程組的解結(jié)合起來。

【解析】：①由于不能由夕1，/2,尸3表示

113

可知伊傷聞=124=。-5=0,解得。=5

I3a

②此題等價(jià)于求三階矩陣。使得(綜22，四)=(%4，%)C

o1V7113、

可知。=（.,%，。3廠（四,住，&）=013124

1115川1

35,

'2

計(jì)算可得。=4210

、一1。一2,

（215、

因此（笈P163）=（%%4210

1-10-2,

(\n(-11、

21、(此題總分值11分)A為三階實(shí)矩陣，R(A)=2,且A00=00

、T"Il"

(1)求A的特征值與特征向量(2)求A

【答案1(1)力的特征值分別為1，-1，0,對應(yīng)的特征向量分別為

001

(2)A=000

100

【考點(diǎn)分析】:解題時(shí)注意應(yīng)用實(shí)對稱矩陣的特殊性質(zhì)。

【解析】：(1)

向量

r(A)=2,可知。也是，的特征值

而0的特征向量與百，多正交

設(shè)4=/為0的特征向量

0

%,+X,=0?

有4［一；+；0得一

力的特征值分別為1,-1，0

對應(yīng)的特征向量分別為

(2)A=PAP

22.（此題總分值11分）

X01

P3羽

Y-101

PV3本

求：⑴（x,y）的分布；

（2）z=xy的分布;

（3）PXY?

【答案】：（1）

01

-10里

0里0

10

Z-101

P1/31/31/3

⑶PXY=°

【考點(diǎn)分析】：此題考查二維離散型分布的分布律及相關(guān)數(shù)字特征的計(jì)算。其中，最主要的是第一問聯(lián)合分

布的計(jì)算。

【解析】：⑴由于析（x2=y2）=i,因此析（x2『y2）=o。

故p(x=o,y=i)=o,因此

再由x=i,y=o)=o可知

同樣，由?(*=0,丫=一1)=0可知

這樣，我們就可以寫出(x,y)的聯(lián)合分布如下:

-101

001/30

11/301/3

(2)2=乂丫可能的取值有—1,0,1

其中p(z=—i)=尸(x=i,y=-i)=i/3,p(z=i)=p(x=i,y=i)=i/3,

那么有P(Z=0)=l/3。

因此，z=xy的分布律為

Z-101

P1/31/31/3

(3)￡X=2/3,EY=0,EXY=0,cov(X,Y)=EXY-EXEY=0

_cov(x,y)

故°“痂漏?=0

23、(此題總分值11分)設(shè)為,馬，，4為來自正態(tài)總體N(〃0，/)的簡單隨機(jī)樣本，其中〃°，J〉。未

知，嚏和S2分別表示樣本均值和樣本方差,

(1)求參數(shù)b2的最大似然估計(jì)b2

AA

(2)計(jì)算￡(4)和。(〃)

【答案】：(1)；工氏—4)2￡(')=/,￡>(；)=生

j/=inn

【考點(diǎn)分析】：此題考查參數(shù)估計(jì)和隨機(jī)變量數(shù)字特征的計(jì)算，有一定的難度。在求0'2的最大似然估計(jì)時(shí),

A