2021年湖南省長沙市龍?zhí)锞拍曛茖W(xué)校高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

2021年湖南省長沙市龍?zhí)锞拍曛茖W(xué)校高一數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線與軸所圍成的三角形的周長等于（

）

A、

B、12

C、24

D、60參考答案：A略2.若等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足a1＝81，a5＝16，則它的前5項(xiàng)和是（

）A.179 B.211 C.248 D.275參考答案：B【分析】根據(jù)，等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，可以求出等比數(shù)列的公式，利用等比數(shù)列前和公式求出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公式，所以有，已知，可得，由題意可知等比數(shù)列{}的各項(xiàng)都是正數(shù)，所以，因此，，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式.3.函數(shù)y=e|x|﹣x3的大致圖象是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)值得變化情況直接判斷即可．【解答】解：當(dāng)x≤0時(shí)，y＞1，故選：A4.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若,則△ABC的形狀為(

)

A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定參考答案：B5.（5分）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程恒有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（） A． （﹣∞，1） B． （0，1] C． [0，1] D． （0，1）參考答案：C考點(diǎn)： 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．專題： 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 依題意，可知函數(shù)y=的值域?yàn)镽，從而可知函數(shù)g（x）=ax2+2x+1與x軸有交點(diǎn)且g（x）∈（0，+∞）；通過對(duì)參數(shù)a分a=0與a＞0且△≥0的討論即可得到答案．解答： ∵對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，關(guān)于x的方程﹣m=0恒有解，∴函數(shù)y=的值域?yàn)镽，∴函數(shù)g（x）=ax2+2x+1與x軸有交點(diǎn)且函數(shù)y=g（x）的值域包含了所有的正數(shù)．∴當(dāng)a=0時(shí)，g（x）=2x+1與x軸有交點(diǎn)（﹣，0），滿足題意；當(dāng)a≠0時(shí)，則a＞0且△=4﹣4a≥0，∴0＜a≤1．綜上所述，0≤a≤1．故選C．點(diǎn)評(píng)： 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查理解題意與等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．6.下列命題正確的是(

)A．很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合B．集合{y|y=x2﹣1}與集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一個(gè)集合C．自然數(shù)集N中最小的數(shù)是1D．空集是任何集合的子集參考答案：D【考點(diǎn)】集合的含義；子集與真子集．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)集合的確定性可知判定選項(xiàng)A，根據(jù)點(diǎn)集與數(shù)集的區(qū)別進(jìn)行判定選項(xiàng)B，根據(jù)自然數(shù)的概念進(jìn)行判定選項(xiàng)C，根據(jù)空集是任何集合的子集進(jìn)行判定選項(xiàng)D即可．【解答】解：選項(xiàng)A，很小的實(shí)數(shù)可以構(gòu)成集合中很小不確定，故不正確選項(xiàng)B，集合{y|y=x2﹣1}是數(shù)集，集合{（x，y）|y=x2﹣1}是點(diǎn)集，不是同一個(gè)集合，故不正確選項(xiàng)C，自然數(shù)集N中最小的數(shù)是0，故不正確，選項(xiàng)D，空集是任何集合的子集，故正確，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的含義，集合的子集，以及自然數(shù)的概念和點(diǎn)集與數(shù)集的區(qū)別，屬于基礎(chǔ)題．7.已知△ABC中，cosA=，cosB=，BC=4，則△ABC的面積為（）A．6 B．12 C．5 D．10參考答案：A【考點(diǎn)】正弦定理的應(yīng)用．【分析】由已知可求A，B為銳角，sinA，sinB的值，從而可求sinC=sin（A+B）=1，角C為直角，即可求得AC的值，由三角形面積公式即可求解．【解答】解：∵cosA=＜cosB=，∴A，B為銳角，則sinA==，sinB==，∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB==1，角C為直角，∵BC=4，∴AB===5，AC=ABsinB=5×=3，∴△ABC的面積===6．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.下列有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的說法，不正確的是(

)A．若f（x）為增函數(shù)，g（x）為增函數(shù)，則f（x）+g（x）為增函數(shù)B．若f（x）為減函數(shù)，g（x）為增函數(shù)，則f（x）﹣g（x）為減函數(shù)C．若f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，則f（x）﹣g（x）為奇函數(shù)D．若f（x）為奇函數(shù)，g（x）為偶函數(shù)，則|f（x）|﹣g（x）為偶函數(shù)參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)奇偶性的判斷．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】本題考查的是函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的判斷和證明問題，在解答時(shí)應(yīng)注意進(jìn)行單調(diào)性、奇偶性的分析．【解答】解：若函數(shù)f（x），g（x）在R上是增函數(shù)，則由函數(shù)單調(diào)性的定義易知：f（x）+g（x）在R上也是增函數(shù)，即A正確；若f（x）為減函數(shù)，g（x）為增函數(shù)，則由函數(shù)單調(diào)性的定義易知：f（x）﹣g（x）為減函數(shù)，即B正確；f（﹣x）﹣g（﹣x）=﹣f（x）﹣g（x）≠﹣f（x）+g（x），∴C不正確；|f（﹣x）|﹣g（﹣x）=|f（x）|﹣g（x），∴|f（x）|﹣g（x）為偶函數(shù)，即D正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的判斷和證明問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的定義．9.如果偶函數(shù)在上是增函數(shù)且最小值是2，那么在上是A.減函數(shù)且最小值是

B..減函數(shù)且最大值是C.增函數(shù)且最小值是

D.增函數(shù)且最大值是．參考答案：A10.已知y＝f(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x(1+x)，那么當(dāng)x<0時(shí)，f(x)的解析式是（

）A、x(1+x)

B、x(1－x)

C、－x(1－x)

D、－x(1+x)參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)=3ax-2a+1在區(qū)間（-1,1）上存在一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍 參考答案：或12.用二分法求方程在[1,3]上的近似解時(shí)，取中點(diǎn)2，下一個(gè)有根區(qū)間是

．參考答案：[1,2]設(shè)函數(shù)，，故零點(diǎn)所在區(qū)間為，取中點(diǎn)2，，故零點(diǎn)所在區(qū)間為。

13.已知，則=________參考答案：-814.已知，且，則____________．參考答案：設(shè)是奇函數(shù)，∴，，故．15.已知函數(shù)，對(duì)于下列命題：①若，則；②若，則；③，則；④．其中正確的命題的序號(hào)是（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

參考答案：①②略16.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且△ABC面積為，則面積S的最大值為_____．參考答案：【分析】利用三角形面積構(gòu)造方程可求得，可知，從而得到；根據(jù)余弦定理，結(jié)合基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得最大值.【詳解】

，由余弦定理得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）

本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查解三角形問題中的三角形面積的最值問題的求解；求解最值問題的關(guān)鍵是能夠通過余弦定理構(gòu)造等量關(guān)系，進(jìn)而利用基本不等式求得邊長之積的最值，屬于?？碱}型.17.樣本中共有五個(gè)個(gè)體，其值分別為a，0，1，2，3．若該樣本的平均值為1，則樣本方差為．參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.參考答案：

19.（本小題滿分14分）設(shè)滿足不等式組求點(diǎn)表示的平面區(qū)域的面積.

參考答案：令且得作出可行域如右圖所示，得于是,因此，點(diǎn)表示的平面區(qū)域的面積是8.20.如圖，某污水處理廠要在一個(gè)矩形污水處理池ABCD的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（三條邊，H是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口H是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別落在線段BC，AD上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長度L（即的周長）表示為的函數(shù)，并求出定義域；(2)問取何值時(shí)，污水凈化效果最好？并求出此時(shí)管道的總長度.參考答案：（1），；（2）或時(shí)，L取得最大值為米．.【分析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍．（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，根據(jù)函數(shù)L=在[，]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．所以當(dāng)時(shí)，即

或

時(shí)，L取得最大值為米．【詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設(shè)，則，由于，由于在上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即或時(shí)，L取得最大值為米．【點(diǎn)睛】三角函數(shù)值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函