山東省煙臺市金山中學2021-2022學年高三數(shù)學理期末試題含解析

山東省煙臺市金山中學2021-2022學年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.等差數(shù)列的公差，若與的等比中項，則A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：B2.曲線與直線圍成一個三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等式組是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A3.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（

）.A.

B.

C.

D.參考答案：D4.已知函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大值是(

)A.0

B.1

C.2

D.3參考答案：D函數(shù)的導數(shù)，要使函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)，則有橫成立，即，又，所以，即a的最大值是3，選D.5.已知向量，，對任意，恒有，則A．

B．

C．

D．參考答案：C6.已知函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x－m在[0,]上有兩個不同的零點，則m的取值范圍為（

）A.[－,2)

B.[－,)

C.[,2)

D.[0,2)參考答案：C，由圖知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在上有兩個零點，故．7.若tanθ+=4，則sin2θ=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】二倍角的正弦；同角三角函數(shù)間的基本關系．【分析】先利用正弦的二倍角公式變形，然后除以1，將1用同角三角函數(shù)關系代換，利用齊次式的方法化簡，可求出所求．【解答】解：sin2θ=2sinθcosθ=====故選D．8.已知函數(shù)若的兩個零點分別在區(qū)間(－1,0)和內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由題意可得在上是連續(xù)不斷的函數(shù)，因為在和內(nèi)有零點。所以,得出的范圍。【詳解】因為在和有零點，因為在和均為增函數(shù)，所以，所以的取值范圍為.故選D.【點睛】本題考查了零點存在定理（如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，9.《九章算術》是我國古代數(shù)學經(jīng)典名著，它在集合學中的研究比西方早1千年，在《九章算術》中，將四個面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑，已知某“鱉臑”的三視圖如圖所示，則該鱉臑的外接球的表面積為（）A．200π B．50π C．100π D．π參考答案：B【考點】球內(nèi)接多面體；簡單空間圖形的三視圖．【分析】幾何體復原為底面是直角三角形，一條側棱垂直底面直角頂點的三棱錐，擴展為長方體，長方體的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求其的表面積．【解答】解：由三視圖復原幾何體，幾何體是底面是直角三角形，一條側棱垂直底面直角頂點的三棱錐；擴展為長方體，也外接與球，它的對角線的長為球的直徑：=5該三棱錐的外接球的表面積為：=50π，故選B．10.已知f（x）為奇函數(shù)，函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x+1對稱，若g（1）=4，則f（﹣3）=（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．4參考答案：B【考點】抽象函數(shù)及其應用．【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x+1對稱，可得f（3）=2，結合f（x）為奇函數(shù)，可得答案．【解答】解：∵函數(shù)f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x+1對稱，（1，4）點與（3，2）點關于直線y=x+1對稱，若g（1）=4，則f（3）=2，∵f（x）為奇函數(shù)，∴f（﹣3）=﹣2，故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若logxy=﹣2，則x2+y的值域為

．參考答案：（2，+∞）考點：基本不等式在最值問題中的應用．專題：函數(shù)的性質及應用；不等式的解法及應用．分析：利用指數(shù)與對數(shù)的互化，化簡所求表達式，利用基本不等式求解最值即可．解答： 解：logxy=﹣2，可得y=x﹣2，x＞0且x≠1，x2+y=x2+x﹣2=x2+＞2=2．所以x2+y的值域為：（2，+∞）；故答案為：（2，+∞）．點評：本題考查函數(shù)的值域，基本不等式的應用，對數(shù)與指數(shù)的互化，考查計算能力．12.已知點是雙曲線(,)的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．參考答案：略13.已知，則=

.參考答案：【知識點】兩角和的正切公式解析：，又，則＝【思路點撥】先由解出,最后可得結果。

14.若是兩個單位向量，且=，若，則向量=．參考答案：﹣【考點】平面向量數(shù)量積的運算．【專題】對應思想；向量法；平面向量及應用．【分析】運用向量數(shù)量積的性質：向量的平方即為模的平方，計算即可得到所求值．【解答】解：若，則=（2+）?（﹣3+2）=﹣62+22+?=﹣6+2+=﹣，故答案為：﹣．【點評】本題考查向量數(shù)量積的坐標運算，考查向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎題．15.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．參考答案：略16.的展開式中的常數(shù)項是,則=

.參考答案：15

略17.設離散型隨機變量ξ可能取的值為1，2，3，4.P(ξ＝k)＝ak+b(k=1，2，3，4),又ξ的數(shù)學期望Eξ＝3，則ａ＋ｂ＝______________。參考答案：答案：解析：設離散性隨機變量可能取的值為，所以，即，又的數(shù)學期望，則，即，,∴.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

已知函數(shù)，數(shù)列是公差為d的等差數(shù)列，若

(1)求數(shù)列的通項公式；

(2)為的前n項和，求證：.參考答案：略19.(14分)(1)若任意直線過點,且與函數(shù)的圖象交于兩個不同的點A,B，分別過點A,B作C的切線，兩切線交于點M，證明：點M的縱坐標是一個定值，并求出這個定值；(2)若不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)求證：，（其中為無理數(shù)，約為）.參考答案：證明：(1)設，由題意知的斜率必存在

設，代入得

,，化簡得：

同理：,

解得：

(2)令：

，

令

得：

所以當

，時

在上單調(diào)遞減；所以當

，時

在上單調(diào)遞增；

在時取得最小值，

要恒成立，只要即

，解得(3)由(2)得，取有

化簡得：

變形得：

即

20.已知拋物線的焦點為F，點P是拋物線上的一點，且其縱坐標為4，。（1）求拋物線的方程；（2）設點，（）是拋物線上的兩點，∠APB的角平分線與x軸垂直，求△PAB的面積最大時直線AB的方程。參考答案：（1）拋物線的方程為。（2）。解析：：（1）設，因為，由拋物線的定義得，又，3分因此，解得，從而拋物線的方程為。

6分（2）由（1）知點P的坐標為P（2,4），因為∠APB的角平分線與x軸垂直，所以可知PA，PB的傾斜角互補，即PA，PB的斜率互為相反數(shù)設直線PA的斜率為k，則，由題意，

7分把代入拋物線方程得，該方程的解為4、，由韋達定理得，即，同理。所以，

8分設，把代入拋物線方程得，由題意，且，從而又，所以，點P到AB的距離，因此，設,

10分則，由知，所以在上為增函數(shù)，因此，即△PAB面積的最大值為?！鱌AB的面積取最大值時b=0，所以直線AB的方程為。

12分考點：1.拋物線的定義及其幾何性質；2.直線與拋物線的位置關系；3.直線方程；4.應用導數(shù)研究函數(shù)的最值。21.以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標方程；（2）當時，與相交于兩點，求的最小值.參考答案：（1）∵，∴.∴.∴，∴曲線的直角坐標方程為.（2）由（1）可知圓心坐標為，半徑為2，直線過點，∴，∴時，的最小值為.22.如圖，已知四邊形ABEF于ABCD分別為正方形和直角梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC=AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，點M是棱ED的中點．（1）求證：CM∥平面ABEF；（2）求三棱錐D﹣ACF的體積．參考答案：【考點】LF：棱柱、棱錐、棱臺的體積；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（1）幾何法：連結AE，BF，交于點O，連結OM，推導出四邊形BCMO是平行四邊形，由此能證明CM∥平面ABEF．向量法：以A為原點，AF為x軸，AC為y軸，AB為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明CM∥平面ABEF．（2）三棱錐D﹣ACF的體積VD﹣ACF=VF﹣ACD，由此能求出結果．【解答】證明：（1）幾何法：連結AE，BF，交于點O，連結OM，∵ABEF是正方形，∴O是AE中點，∵M是DE中點，∴OMAC，∵ABCD是直角梯形，AB=BC=AD=1，∴BCAC，∴BCOM，∴四邊形BCMO是平行四邊形，∴BO∥CM，∵BO?平面ABEF，CM?平面ABEF，∴CM∥平面ABEF．（1）向量法：∵四邊形ABEF于ABCD分別為正方形和直角梯形，平面ABEF⊥平面ABCD，AB=BC=AD=1，AB⊥AD，BC∥AD，點M是棱ED的中點．∴以A為原點，AF為x軸，AC為y軸，AB為z軸，建立空間直角坐標系，D（0，2，0），E（1，0，1