角平分線的性質(zhì)定理

角平分線的性質(zhì)定理第一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五

不利用工具，請你將一張用紙片做的角分成兩個相等的角。你有什么辦法？AOBC活動1

再打開紙片，看看折痕與這個角有何關(guān)系？

（對折）情境問題第二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五1、如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?活動2情境問題ADBCE

如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？第三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五2、證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應邊相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）ADBCE第四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五

根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）OABCE探究新知活動3NOMCENM第五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五

２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于ＭＮ的長為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于Ｃ．如何用尺規(guī)作角的平分線？AＢＯＭＮＣ作法：

１．以Ｏ為圓心，適當長為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．３．作射線OC．則射線ＯＣ即為所求．

第六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五OABNMC證明:連結(jié)MC,NC由作法知:在△OMC和△ONC中

OM=ON

MC=NC

OC=OC∵△OMC≌△ONC(SSS)∴∠AOC=∠BOC即:OC是∠ＡＯＢ的角平分線.第七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五1〉平分平角∠AOB2〉通過上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？

ABOCD第八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五探究角平分線的性質(zhì)

(1)實驗：將∠AOB對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？活動5

(2)猜想:角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.第九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五證明：在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO∠1=∠2OP=OP

∴

△PDO≌△PEO(AAS)∴PD=PEPAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于點D，PE⊥OB于點E求證:PD=PE探究角平分線的性質(zhì)∵OC平分∠AOB∴∠1=∠2∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO=∠PEO第十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．∵點P是∠AOB平分線上的一點又PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE（角平分線上的點到角的兩邊的距離相等）AOBEDP證明線段相等有角的平分線，有垂直距離應用定理的前提條件是：定理的作用：第十一頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點,問PE=PD?為什么?OABEDCPPD,PE沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點這個角兩邊的距離,所以不一定相等直第十二頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五思考：要在Ｓ區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路第十三頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF實踐應用(2)

分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

現(xiàn)已有一個條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件DC=DE(因為角的平分線的性質(zhì))再用HL證明.第十四頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上BD=DF，求證：CF=EB。證明：∵AD平分∠CAB

DE⊥AB，∠C＝90°（已知）∴CD＝DE(角平分線的性質(zhì))在Ｒt△CDF和Rt△EDB中,

CD=DE（已證）

DF=DB（已知）∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)∴CF=EB（全等三角形對應邊相等）第十五頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五已知:如圖,在△ABC中,AD是它的角平分線,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分別是E,F.求證:EB=FC.

ABEDCF證明：∵AD平分∠CAB

DE⊥AB，DF⊥AC∴

DE＝DF(角平分線的性質(zhì))在Ｒt△BDE和Rt△CDF中,

DE=DF（已證）

BD=CD（已知）∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)∴EB=CF（全等三角形對應邊相等）第十六頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五小結(jié):1：畫一個已知角的角平分線；(注意作圖痕跡和幾何語言的表達)及畫一條已知直線的垂線；2：角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

3：角平分線的性質(zhì)的應用第十七頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五BOAC·DPE1.如圖，OC是∠AOB的平分線，∵∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB思考：由PD=PE能不能得到PD⊥OA，PE⊥OB？第十八頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五1、如圖，連接角平分儀的邊BD、AC，那么AC與BD有什么關(guān)系？為什么?提高與拓展第十九頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期五2.如圖,在△ABC中，AC⊥BC，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的長。EDCBA第二十頁，共二十一頁，編輯于2023年，星期