2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（藝考）第03講二項式定理高頻考點(diǎn)（原卷版）

第03講二項式定理（精講）

目錄

第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

第二部分：典型例題剖析

題型一：二項展開式的通項及其應(yīng)用

角度1：求二項展開式的特定項（或系數(shù)）

角度2：兩個二項式之積中特定項（或系數(shù)）問題

角度3：三項展開式中特定項（或系數(shù)）問題

題型二：二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題

題型三：項式系數(shù)的性質(zhì)

角度1：二項式系數(shù)最大問題

角度2：系數(shù)最大問題

第一部分：知識點(diǎn)精準(zhǔn)記憶

知識點(diǎn)一：二項式定理

（1）二項式定理

一般地，對于每個左（々=0,1,2門.〃），（。+與”的展開式中廢一%人共有0個，將它們合并同類項，

22rn

就可以得到二項展開式：（a+b）"=C：a"b°+C'na'-'b'+C；,a'-b+…+Cna-b'+…+（〃eN*）.

這個公式叫做二項式定理.

（2）二項展開式

公式中：（?+b）n=C°anb°+C\an-'b'+C^a"-2b2+…+￡/"+???+C：a°b",neN*等號右邊的

多項式叫做+bY的二項展開式.

（3）二項式系數(shù)與項的系數(shù)

二項展開式中各項的二項式系數(shù)為C,："=0,1,2,…〃），項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分,包含符

號等.

（4）二項展開式的通項

二項展開式中的"（攵=0,1,2,…〃）叫做二項展開式的通項，用，+1表示,即通項為展開式的第

Z+1項：Tk+t=CM"-%、通項體現(xiàn)了二項展開式的項數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律,是二項式定理的核心,它

在求展開式的某些特定項（如含指定基的項常數(shù)項、中間項、有理項、系數(shù)最大的項等）及其系數(shù)等方面有

著廣泛的應(yīng)用.

知識點(diǎn)二：二項式系數(shù)的性質(zhì)

①對稱性：二項展開式中與首尾兩端距離相等的兩個二項式系數(shù)相等：C：=C：T

/74-172+1

②增減性：當(dāng)％<——時，二項式系數(shù)遞增，當(dāng)上〉——時，二項式系數(shù)遞減；

22

③最大值：當(dāng)〃為奇數(shù)時，最中間兩項二項式系數(shù)最大；當(dāng)〃為偶數(shù)時，最中間一項的二項式系數(shù)最大.

知識點(diǎn)三：各二項式系數(shù)和

（1）（。+與”展開式的各二項式系數(shù)和：

C+C+…+C+…+Q=2"（neN*）；

（2）奇數(shù)項的二項式系數(shù)和與偶數(shù)項的二項式系數(shù)和相等：

C+C；+…=C：+C；+…=2"%eN*）

第二部分：典型例題剖析

題型一：二項展開式的通項及其應(yīng)用

角度1:求二項展開式的特定項（或系數(shù)）

典型例題

例題1.（2022?全國?模擬預(yù)測（理））已知（l+2x）”的展開式的各項系數(shù)之和為81,則〃=（

A.3B.4C.5D.6

例題2.（2022?北京師范大學(xué)第三附屬中學(xué)模擬預(yù)測）+的展開式中的常數(shù)項為

例題3.（2022云南師大附中高三階段練習(xí)）在（f+日丫的展開式中，V的系數(shù)為8,則實(shí)數(shù)Z的值為

例題4.（2022?浙江紹興?一模）-石丫的展開式中常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）

同類題型歸類練

1.（2022?四川廣安?高三階段練習(xí)（理））在（a+x）4展開式中犬的系數(shù)為24,則實(shí)數(shù)”的值為（

A.1B.±1C.2D.±2

2.（2022?上海市延安中學(xué)高三期中）（1+2）’的二項展開式中，f的系數(shù)為.

3.（2022?四川雅安?模擬預(yù)測（理））在（2x-q）6的展開式中，/的系數(shù)為_20,則。=.

4.（2022?上海奉賢?高三期中）在（6的展開式中，V的系數(shù)為.

角度2：兩個二項式之積中特定項（或系數(shù)）問題

典型例題

例題1.（2022?福建?福州三中高三階段練習(xí)）（l+2/）（l+x）4的展開式中/的系數(shù)是（

A.4B.8C.12D.16

例題2.（2022?廣東惠州?高三階段練習(xí)）（l-x）（x-2）6的展開式中，x的系數(shù)為.（用數(shù)字作

答）

例題3.（2022?吉林?長春外國語學(xué)校高二期中）（I+x）2（l+2），）'的展開式中，記/y"項的系數(shù)為/（因〃），

則/（2,1）+〃1,2）=.

同類題型歸類練

1.（2022?浙江?高二期中）（l+［）（l-x）5的展開式中所有項的系數(shù)和為.

2.（2022?河南省上蔡第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)）（1+5］（》-田6的展開式中含》4）心項的系數(shù)是

（結(jié)果用數(shù)字表示）.

3.（2022?云南普洱?高二期末）（x?+1）（」-疔的展開式的常數(shù)項為.

X

角度3：三項展開式中特定項（或系數(shù)）問題

典型例題

例題1.（2022?全國?高二單元測試）（/+x+2）4的展開式中產(chǎn)的系數(shù)為（）

A.42B.56C.62D.66

例題2.（2022?遼寧?模擬預(yù)測）記（1-工+依2）6的展開式中含d項的系數(shù)為了（〃）（其中?！瓿撸?，則函

數(shù)＞的最小值為（）

A.-45B.-15C.0D.15

例題3.（2022?全國?高二單元測試）*+2y-3z）5的展開式中所有不含），的項的系數(shù)之和為（）

A.-32B.-16C.10D.64

同類題型歸類練

1.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高二階段練習(xí)）關(guān)于12+±一2）的展開式，下列結(jié)論不正確的是（）

A.所有項的二項式系數(shù)和為64B.所有項的系數(shù)和為0

C.常數(shù)項為-20D.系數(shù)最大的項為第3項

2.（2022?安徽?高二期中）（x-y-的展開式中含項的系數(shù)為（）

A.-120B.120C.-60D.60

3.（2022?浙江邵外高二階段練習(xí)）（2/—的展開式的各項系數(shù)和為—32,則。的值是（）

A.2B.3C.6D.8

題型二：二項式系數(shù)與各項的系數(shù)和問題

典型例題

例題1.（2022?吉林?長春吉大附中實(shí)驗學(xué)校高二階段練習(xí)）在的展開式中，所有二項式系數(shù)

和為64,則〃=（）

A.6B.7C.8D.9

例題2.（2022?浙江邵外高二期中）已知卜-的展開式中第2項和第6項的二項式系數(shù)相等，貝!為

（）

A.6B.7C.8D.9

例題3.（2022?浙江?紹興一中高三期中）j的展開式中，所有項的二項式系數(shù)之和為.

例題4.（2022?山東濰坊?高三階段練習(xí)）若展開式的二項式系數(shù)之和為256,則展開式的常數(shù)

項為.

例題5.（2022?上海市楊思高級中學(xué)高三期中）已知的二項展開式中，所有二項式系數(shù)的和為

256,則展開式中的常數(shù)項為.

同類題型歸類練

1.（2022?重慶市第十一中學(xué)校高二階段練習(xí)）求（石-左）的展開式的第4項的二項式系數(shù)（）

515

A.——B.—C.15D.20

216

2.（2022?安徽師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）若（。+8）”的展開式中，第3項的二項式系數(shù)與第7項的二項

式系數(shù)相等，則〃=（）.

A.10B.9C.8D.7

3.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)模擬預(yù)測）在口+福）的展開式中，二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和比為1：64,

則展開式的項數(shù)為

4.（2022?北京八十中高二期中）二項式（次+]]的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為.

5.（2022?山東德州?模擬預(yù)測）在卜的展開式中，二項式系數(shù)之和與各項系數(shù)之和比為1:64,則展

開式的常數(shù)項為.

題型三：項式系數(shù)的性質(zhì)

角度1：二項式系數(shù)最大問題

典型例題

例題1.（2022?黑龍江?哈爾濱七十三中高三階段練習(xí)）已知［石+的展開式中，第3項的系數(shù)與倒

數(shù)第3項的系數(shù)之比為則展開式中二項式系數(shù)最大的項為第（）項.

16

A.3B.4C.5D.6

例題2.（2022?全國?高二課時練習(xí)）已知〃?為正整數(shù)，（x+y廣展開式的二項式系數(shù)的最大值為“，

（x+＞）2"展開式的二項式系數(shù)的最大值為人且13。=7。，則”?的值為（）

A.4B.5C.6D.7

例題3.（2022?湖南?郴州一中高三階段練習(xí)）已知（五-《）（〃eN"）展開式中第5項和第6項的二

項式系數(shù)最大，則其展開式中常數(shù)項是.

例題4.（2022?北京?東直門中學(xué)高二階段練習(xí)）在二項式（x+2『的展開式中.

（1）求一的系數(shù)；

（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項.

同類題型歸類練

1.（2022?河南安陽?高三階段練習(xí)（理））已知（石］的展開式中只有第5項是二項式系數(shù)最大，則該

展開式中各項系數(shù)的最小值為（）

A.-448B.-1024C.-1792D.-5376

2.（2022?湖南益陽?高二期末）在（x+l）”（〃eN"）的展開式中，若第5項為二項式系數(shù)最大的項，則〃的值

可能是（）

A.7B.8C.9D.10

3.（2022?北京?牛欄山一中高二期中）在已知（2x+g）的展開式中各項的二項式系數(shù)之和為32.

（1）求”；

（2）求展開式各項系數(shù)之和；

⑶求展開式中二項式系數(shù)取得最大值的項.

4.（2022?全國?高二專題練習(xí)）已知（1+3/）”的展開式中，各項系數(shù)和比它的二項式系數(shù)和大992.求展開

式中二項式系數(shù)最大的項.

角度2：系數(shù)最大問題

典型例題

例題1.（2022?全國?高三專題練習(xí)）（x-l）“按x降幕排列的展開式中，系數(shù)最大的項是（）

A.第4項和第5項B.第5項

C.第5項和第6項