廣東省汕尾市東涌中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

廣東省汕尾市東涌中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.任意畫一個(gè)正方形，再將這個(gè)正方體各邊的中點(diǎn)相連得到第二個(gè)正方形，依此類推，這樣一共畫了4個(gè)正方形，如圖X16－1所示．若向圖形中隨機(jī)投一點(diǎn)，則所投點(diǎn)落在第四個(gè)正方形的概率是()A.

B.

C.

D.參考答案：C2.． ．

． ．參考答案：C3.已知命題：，且，命題：，.下列命題是真命題的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知集合M={1,2,5}，，故M∩N等于(

)A．{1} B．{5} C．{1,2} D．{2,5}參考答案：C集合，，則．5.若等差數(shù)列{an}滿足遞推關(guān)系an+1=﹣an+n，則a5等于（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】8H：數(shù)列遞推式．【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，令n=4或n=5，建立方程組進(jìn)行求解即可．【解答】解：令n=4，則a5+a4=4，令n=5，則a6+a5=5，兩式相加2a5+a4+a6=9，∴a5=．故選：B．6.參考答案：C略7.下列命題中：①若p，q為兩個(gè)命題，則“p且q為真”是“p或q為真”的必要不充分條件.②若p為：，則為：.③命題“”的否命題是“”.④命題“若則q”的逆否命題是“若，則”.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(

)A．1

B.2

C.3

D.4參考答案：B8.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略9.已知數(shù)列的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A【知識(shí)點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．A2

解析：若an，an+1，an+2（n∈N+）成等比數(shù)列，則an+12=anan+2成立，

當(dāng)an=an+1=an+2=0時(shí)，滿足an+12=anan+2成立，但an，an+1，an+2（n∈N+）成等比數(shù)列不成立，‘

故an，an+1，an+2（n∈N+）成等比數(shù)列是“an+12=anan+2”的充分不必要條件，故選：A【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．10.已知，則下列不等式正確的是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的圖象在處的切線方程為

參考答案：12.已知P是拋物線y2=4x上的動(dòng)點(diǎn)，過P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M、N是圓（x﹣2）2+（y﹣5）2=1上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|+|PN|的最小值是

．參考答案：﹣1考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小，為圓心到焦點(diǎn)F的距離減去圓的半徑．解答： 解：拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），圓（x﹣2）2+（y﹣5）2=1的圓心為Q（2，5），根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離，進(jìn)而推斷出當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)P到點(diǎn)N的距離與點(diǎn)P到拋物線的焦點(diǎn)距離之和的最小為：﹣1=﹣1．故答案為：﹣1．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．13.不等式的解集是

．參考答案：{x|0＜x＜1}考點(diǎn)：其他不等式的解法．專題：計(jì)算題．分析：將不等式＞1移項(xiàng)后通分，即可求得不等式的解集．解答： 解：∵＞1，∴﹣1=＞0，∴＞0，∴0＜x＜1．∴不等式的解集為{x|0＜x＜1}．故答案為：{x|0＜x＜1}．點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的解法，移項(xiàng)后通分是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．14.已知函數(shù)，，若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____．參考答案：.【詳解】注意到，.則.易知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在處取得最小值.故，且在區(qū)間上單調(diào)遞增.,,.當(dāng)、在區(qū)間上只有一個(gè)交點(diǎn)，即的圖像與的圖像相切時(shí)，取最大值.不妨設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，斜率為

①又點(diǎn)在上，于是，

②聯(lián)立式①、②解得，.從而，.15.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為

．參考答案：連接，已知，，又，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，有最小值，故答案為.

16.（5分）設(shè)棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別為CD，CC1中點(diǎn)，則直線A1M和DN所成的角為

．參考答案：考點(diǎn)： 異面直線及其所成的角．專題： 空間角．分析： 建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量數(shù)量積垂直即可得出異面直線所成的夾角．解答： 解：建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，A1（1，0，1），，．∴=，=．∴==0，∴．∴直線A1M和DN所成的角為．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用向量數(shù)量積垂直得出異面直線所成的夾角的方法，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．17.若函數(shù)，則

.參考答案：150略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在四棱錐中底面是正方形，為的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：∥平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）若在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：解：（I）連接.

由是正方形可知,點(diǎn)為中點(diǎn).

又為的中點(diǎn)，

所以∥….2分

又

所以∥平面………….4分(II)證明：由

所以由是正方形可知,

又

所以………………..8分

又所以…………..9分略19.（本小題滿分15分）已知函數(shù).（1）若在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）在（1）的條件下，設(shè)，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)、，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？請(qǐng)說明理由。參考答案：（1）由，得，令，得或．列表如下：0

00極小值極大值

∵，，，ks5u即最大值為，．………………4分（2）由，得．，且等號(hào)不能同時(shí)取，，恒成立，即．令，求導(dǎo)得，，當(dāng)時(shí)，，從而，在上為增函數(shù)，，．………………8分（3）由條件，，假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)滿足題意，則只能在軸兩側(cè)，不妨設(shè)，則，且．是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，，，……10分是否存在等價(jià)于方程在且時(shí)是否有解．①若時(shí)，方程為，化簡(jiǎn)得，此方程無(wú)解；

………………………12分②若時(shí)，方程為，即，設(shè)，則，顯然，當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，的值域?yàn)?，即，?dāng)時(shí)，方程總有解．對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上總存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．………………15分20.已知函數(shù)()=，g()=+。（1）求函數(shù)h()=()-g()的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列{}（）滿足，，證明：存在常熟M,使得對(duì)于任意的，都有≤

.參考答案：解析：（I）由知，，而，且，則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)有零點(diǎn)，因此至少有兩個(gè)零點(diǎn)解法1：，記，則。當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。又因?yàn)椋瑒t在內(nèi)有零點(diǎn)，所以在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)。記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，則在內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)；從而在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。解法2：，記，則。當(dāng)時(shí)，，因此在上單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)。因此在內(nèi)也至多只有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)。（II）記的正零點(diǎn)為，即。（1）當(dāng)時(shí)，由，即.而，因此，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。故對(duì)任意的，成立。（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在上單調(diào)遞增。則，即。從而，即，由此猜測(cè)：。下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)時(shí)，顯然成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，則當(dāng)時(shí)，由知，，因此，當(dāng)時(shí)，成立。故對(duì)任意的，成立。綜上所述，存在常數(shù)，使得對(duì)于任意的，都有.略21.已知橢圓方程為，斜率為的直線過橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)．（Ⅰ）求的取值范圍；（Ⅱ）求△面積的最大值．參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)直線的方程為，由可得．設(shè)，則，．可得．……3分設(shè)線段中點(diǎn)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意有，可得．可得，又，所以．………………6分

（Ⅱ）設(shè)橢圓上焦點(diǎn)為，則……………9分所以△的面積為（）．設(shè)，則．可知在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．所以，當(dāng)時(shí)，有最大值．所以，當(dāng)時(shí)，△的面積有最大值．………………12分略22.（12分）（2013秋?天津期中）已知f（x）=x3+ax2+bx+4，g（x）=mx3﹣6mx2+2（m≠0），f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=﹣3x+．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a，b的值；（Ⅱ）討論方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的個(gè)數(shù)；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)m，使得對(duì)任意的x1∈，總存在x2∈，使得g（x1）=f（x2）成立？若存在，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：考點(diǎn)： 利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．專題： 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析： （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f（x）在（1，f（1））處的切線方程得到f′（1）和f（1）的值，聯(lián)立方程組求得a，b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到函數(shù)f（x）d的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的值域，然后對(duì)k﹣2分類討論分析方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的個(gè)數(shù)；（Ⅲ）利用導(dǎo)數(shù)分析出g（x）的單調(diào)性，求出g（x）的極值與在區(qū)間上的端點(diǎn)值，由題意得到g（x）?f（x），然后對(duì)m分類列不等式求解m的范圍．解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=x3+ax2+bx+4，得f′（x）=x2+2ax+b，∵f′（1）=﹣3，f（1）=，∴，解得：；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=x2﹣4，f（x）=，∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，原函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)x∈（2，3）時(shí)，原函數(shù)為增函數(shù)，又f（0）=4，f（2）=，f（3）=1．∴當(dāng)x∈時(shí)，．①當(dāng)k﹣2＜﹣或k﹣2＞4，即k或k＞6時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k﹣2無(wú)交點(diǎn)，方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的個(gè)數(shù)是0．②當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k﹣2有2個(gè)交點(diǎn)，方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的個(gè)數(shù)是2．③當(dāng)1＜k﹣2≤4，即3＜k≤6時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k﹣2有1個(gè)交點(diǎn)，或k=時(shí)，函數(shù)y=f（x）與y=k﹣2有1個(gè)交點(diǎn)，方程f（x）=k﹣2（x∈）的根的個(gè)數(shù)是1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知．又g（x）=mx3﹣6mx2+2（m≠0），∴g′（x）=3mx2﹣