廣東省珠海市光明中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析

廣東省珠海市光明中學(xué)高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合A={0，1，2，3，4}，集合B={x|x=2n，n∈A}，則A∩B=(

)A．{0} B．{0，4} C．{2，4} D．{0，2，4}參考答案：D【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】由集合B中的元素的屬性用列舉法寫出集合B，直接取交集即可．【解答】解：因?yàn)榧螦={0，1，2，3，4}，所以集合B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8}，所以A∩B={0，1，2，3，4}∩{0，2，4，6，8}={0，2，4}．故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集及其運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題，是會(huì)考常見題型．2.定義運(yùn)算，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．參考答案：D略3.將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),再向左平移個(gè)單位,所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(

)A.(0,0)

B.

C.

D.(π,0)參考答案：A4.已知y＝f(2x)的定義域?yàn)閇－1，1]，則y＝f(log2x)的定義域?yàn)?)A．[－1，1]

B．[，2]

C．[1，2]

D．[，4]參考答案：D5.若，，且，，則的值是（A）

（B）

（C）或

（D）或參考答案：A6.設(shè)，是兩個(gè)非零向量．則下列命題為真命題的是（） A．若|+|=||﹣||，則⊥ B．若⊥，則|+|=||﹣|| C．若|+|=||﹣||，則存在實(shí)數(shù)λ，使得=λ D．若存在實(shí)數(shù)λ，使得=λ，則|+|=||﹣||參考答案：C7.拋物線M:y2=4x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)F為焦點(diǎn)，若拋物線M上一點(diǎn)P滿足PA⊥PF，則以F為圓心且過點(diǎn)P的圓被y軸所截得的弦長(zhǎng)約為（參考數(shù)據(jù)：≈2.24）A.

B.

C.

D.參考答案：D8.宋元時(shí)期數(shù)學(xué)名著《算學(xué)啟蒙》中有關(guān)于“松竹并生”的問題：松長(zhǎng)五尺，竹長(zhǎng)兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長(zhǎng)等．下圖是源于其思想的一個(gè)程序框圖，若輸入的a，b分別為5，2，則輸出的n=A．2 B．3 C．4 D．5參考答案：C解：當(dāng)n=1時(shí)，a=，b=4，滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=2時(shí)，a=，b=8滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=3時(shí)，a=，b=16滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，當(dāng)n=4時(shí)，a=，b=32不滿足進(jìn)行循環(huán)的條件，故輸出的n值為4，故選C．

9.給出下列四個(gè)命題：①若集合、滿足，則；

②給定命題，若“”為真，則“”為真；③設(shè)，若，則；④若直線與直線垂直，則．

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（

）A、1

B、2

C、3

D、4參考答案：B略10.已知將的圖象向右平移個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，若將的圖象向左平移個(gè)單位，得到的函數(shù)圖象也關(guān)于x軸對(duì)稱，則的解析式可以為

A．=sinx

B．=sin2x C．=

D．=2sinx參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知關(guān)于x的不等式對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_________．參考答案：【分析】先將不等式對(duì)于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立，設(shè)，求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對(duì)于任意恒成立，即，又因?yàn)?，，?duì)任意恒成立，設(shè)，其中，由不等式，可得：，則，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又因?yàn)樵趦?nèi)有解，，則，即：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.12.過橢圓的焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OM的斜率為，則橢圓的方程為________．參考答案：【分析】根據(jù)條件可得直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，表示出的坐標(biāo)，進(jìn)而可得，解出，的值，即可求解．【詳解】由題意，過點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為，即，聯(lián)立方程組，可得，不妨設(shè)，，則，，所以，可得，又因?yàn)榍?，解得，，故橢圓的方程為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的斜率公式，直線的點(diǎn)斜式方程，以及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力．13.數(shù)列的前項(xiàng)和為，若（），則

.參考答案：1006略14.已知數(shù)列的各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來順序構(gòu)成等差數(shù)列，各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，則__________.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列；等比數(shù)列；數(shù)列通項(xiàng)公式的求法.

D2

D3

解析：設(shè)=k，則，同理，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來順序構(gòu)成等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，把代入得公比q=3(負(fù)值舍去)，所以.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)=k，利用指數(shù)與對(duì)數(shù)互化及對(duì)數(shù)換底公式得，，再由的各項(xiàng)取倒數(shù)后按原來順序構(gòu)成等差數(shù)列，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)得，所以數(shù)列是等比數(shù)列，又因?yàn)楦黜?xiàng)都是正數(shù)且得公比q,從而求得.

15.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知曲線C的極坐標(biāo)方程為，則曲線C上的點(diǎn)到直線為參數(shù)）的距離的最大值為

.

參考答案：16.已知三棱錐O﹣ABC，∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，其中AB=，AC=，O，A，B，C四點(diǎn)均在球S的表面上，則球S的表面積為．參考答案：14π【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)∠BOC=90°且OA⊥平面BOC，得到三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，由圓的對(duì)稱性知長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)球上，長(zhǎng)方體的體積就是圓的直徑，求出直徑，得到圓的面積．【解答】解：∵∠BOC=90°，OA⊥平面BOC，∴三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，∴可以以三條側(cè)棱為棱長(zhǎng)得到一個(gè)長(zhǎng)方體，由圓的對(duì)稱性知長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)球上，∴球的直徑是，∴球的半徑是∴球的表面積是=14π，故答案為：14π【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的體積與表面積，考查球與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，考查三棱錐與長(zhǎng)方體之間的關(guān)系，本題考查幾何中常用的一種叫補(bǔ)全圖形的方法來完成，本題非常值得一做．17.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，，，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，則直線D1E與A1D所成角的大小是__________，若，則AE=__________．參考答案：90°

1長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，又，，點(diǎn)在棱上移動(dòng)則D（0，0，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），A1（1，0，1），C（0，2，0），設(shè)E（1，m，0），0≤m≤2，則=（1，m，﹣1），=（﹣1，0，﹣1），∴?=﹣1+0+1=0，∴直線D1E與A1D所成角的大小是90°．∵=（1，m，﹣1），=（﹣1，2﹣m，0），D1E⊥EC，∴=﹣1+m（2﹣m）+0=0，解得m=1，∴AE=1．故答案為900，1．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為2．（1）求的值；（2）設(shè)是拋物線上異于的兩個(gè)不同點(diǎn)，過作軸的垂線，與直線交于點(diǎn)，過作軸的垂線，與直線交于點(diǎn)，過作軸的垂線，與直線分別交于點(diǎn)．求證：①直線的斜率為定值；②是線段的中點(diǎn)．參考答案：（1）由拋物線定義知，所以，將點(diǎn)代入拋物線得，（2）設(shè)①則直線的方程為：令得，，所以同理所以直線的斜率為（定值）②設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為由①知，直線的方程為：令得，又直線的方程為：令得，所以所以是線段的中點(diǎn).19.在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2，AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中點(diǎn)．（1）求該多面體的體積；（2）求證：BD⊥EG；（3）在BD上是否存在一點(diǎn)M，使EM∥面DFC，若存在，求出BM的長(zhǎng)，若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面垂直的性質(zhì)；點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算．【專題】計(jì)算題；證明題；轉(zhuǎn)化思想；等體積法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（1）把多面體的體積看作是三棱錐D﹣ABE與四棱錐D﹣BCFE的體積和，然后結(jié)合已知條件求解；（2）過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE，DH⊥EG，再證BH⊥EG，從而可證EG⊥平面BHD，故BD⊥EG；（3）過E作EN∥FC，交BC于N，作ER∥DF交DA的延長(zhǎng)線于R，連接NR交BD于M，連接EM，由面面垂直的判定可得面ENR∥面DFC，從而得到EM∥∥面DFC．然后求解三角形求得BM的長(zhǎng)．【解答】（1）解：由EF⊥平面AEB，且EF?平面BCFE，得平面ABE⊥平面BCFE，又AE⊥EB，∴AE⊥平面BCFE，再由EF⊥平面AEB，AD∥EF，可得AD⊥平面AEB，∴=；VD﹣BCFE==．∴多面體的體積為=6；（2）證明：∵EF⊥平面AEB，AE?平面AEB，∴EF⊥AE，又AE⊥EB，EB∩EF=E，EB，EF?平面BCFE，∴AE⊥平面BCFE．過D作DH∥AE交EF于H，則DH⊥平面BCFE．∵EG?平面BCFE，∴DH⊥EG．∵AD∥EF，DH∥AE，∴四邊形AEHD平行四邊形，∴EH=AD=2，即EH=BG=2，又EH∥BG，EH⊥BE，∴四邊形BGHE為正方形，∴BH⊥EG．又BH∩DH=H，BH?平面BHD，DH?平面BHD，∴EG⊥平面BHD．∵BD?平面BHD，∴BD⊥EG．（3）解：過E作EN∥FC，交BC于N，作ER∥DF交DA的延長(zhǎng)線于R，連接NR交BD于M，連接EM，∵EN∥CF，∴EN∥面DFC，∵ER∥DF，∴ER∥面DFC，∴面ENR∥面DFC，又EM?面ENR，∴EM∥∥面DFC．∵，∴BM=．在Rt△ABD中，AD=2，AB=，∴BD=2，則BM=．故在BD上是否存在一點(diǎn)M，使EM∥面DFC，此時(shí)BM=．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間線面關(guān)系、幾何體的體積等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力，是中檔題．20.（本題12分）如圖，在四棱錐E—ABCD中，底面ABCD為邊長(zhǎng)為5的正方形，AE平面CDE，AE=3.（Ⅰ）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．參考答案：證明：(1)連結(jié)交于，連為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，，平面，平面，平面．………………（6分）（2）過作于，連結(jié)，………(7分)平面，平面，，，平面，平面，平面，，平面，平面，為在平面內(nèi)的射影，為與平面的所成角的平面角，又平面，為直角三角形，，且，．…（12分）21.已知是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)的定義域?yàn)?（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；（2）試判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性；（3）設(shè)，試證明：.參考答案：當(dāng)時(shí)，方程的兩實(shí)根為，當(dāng)時(shí)，，在為單調(diào)遞增函數(shù)，的最小值為，的最大值為；（2）由題知：時(shí)，所以，在區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)；

（3）由（2）知，又由題得：，∴∴∴22.為緩解某地區(qū)的用電問題，計(jì)劃在該地區(qū)水庫建一座至多安裝4臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站.為此搜集并整理了過去50年的水文數(shù)據(jù)，得如下表：年入流量年數(shù)103082將年入流量（年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位:億立方米）在以上四段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年得年入流量相互獨(dú)立.（1）求在未來3年中，至多1年的年入流量不低于120的概率；（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可