量子力學(xué)-第四章

量子力學(xué)-第四章第一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五主要內(nèi)容1、表象理論2、Dirac符號*3、占有數(shù)表象第二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五教學(xué)要求：通過本章的學(xué)習(xí)，同學(xué)們要知道量子力學(xué)的態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式-----表象可以是多樣的，并著重掌握坐標(biāo)表象，動量表象。重點：態(tài)的表象，算符的矩陣表示，占有數(shù)表象

難點：狄喇克符號及其使用第三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五§4.1態(tài)的表象（一）動量表象（二）力學(xué)量表象（三）討論第四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五

到目前為止，體系的狀態(tài)都用坐標(biāo)(x,y,z)的函數(shù)表示，也就是說描寫狀態(tài)的波函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)。力學(xué)量則用作用于坐標(biāo)函數(shù)的算符表示。但是這種描述方式在量子力學(xué)中并不是唯一的，這正如幾何學(xué)中選用坐標(biāo)系不是唯一的一樣。坐標(biāo)系有直角坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系等，但它們對空間的描寫是完全是等價的。波函數(shù)也可以選用其它變量的函數(shù)，力學(xué)量則相應(yīng)的表示為作用于這種函數(shù)上的算符。表象：量子力學(xué)中態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式稱為表象。以前采用的是坐標(biāo)表象，下面我們要介紹其他表象。第五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五在坐標(biāo)表象中，體系的狀態(tài)用波函數(shù)Ψ(x,t)描寫，這樣一個態(tài)如何用動量為變量的波函數(shù)描寫在前面幾章中已經(jīng)有所介紹。動量本征函數(shù)：組成完備系，任一狀態(tài)Ψ可按其展開展開系數(shù)（一）動量表象第六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五命題假設(shè)Ψ(x,t)是歸一化波函數(shù)，則C(p,t)也是歸一化的。證第七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五|C(p,t)|2dp

：是在Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的動量所得結(jié)果在p→p+dp范圍內(nèi)的幾率。|Ψ(x,t)|2dx：是在Ψ(x,t)所描寫的狀態(tài)中，測量粒子的位置所得結(jié)果在x→x+dx范圍內(nèi)的幾率。Ψ(x,t)與C(p,t)一一對應(yīng)，描述同一狀態(tài)。Ψ(x,t)是該狀態(tài)在坐標(biāo)表象中的波函數(shù)；而C(p,t)就是該狀態(tài)在動量表象中的波函數(shù)。C(p,t)物理意義第八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五若Ψ(x,t)描寫的態(tài)是具有確定動量p’的自由粒子態(tài)，即：則相應(yīng)動量表象中的波函數(shù)：所以，在動量表象中，具有確定動量p’的粒子的波函數(shù)是以動量p為變量的δ-函數(shù)。換言之，動量本征函數(shù)在自身表象中是一個δ函數(shù)。x在自身表象即坐標(biāo)表象中對應(yīng)有確定值x'本征函數(shù)是δ(x'-x)。同樣這可由本征值方程看出：第九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五那么，在任一力學(xué)量Q表象中，Ψ(x,t)所描寫的態(tài)又如何表示呢？推廣上述討論：x,p都是力學(xué)量，分別對應(yīng)有坐標(biāo)表象和動量表象，因此可以對任何力學(xué)量Q都建立一種表象，稱為力學(xué)量Q表象。問題（1）具有分立本征值的情況（2）含有連續(xù)本征值情況（二）力學(xué)量表象第十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（1）具有分立本征值的情況設(shè)算符Q的本征值為：Q1,Q2,...,Qn,...，相應(yīng)本征函數(shù)為：u1(x),u2(x),...,un(x),...。將Ψ(x,t)按Q的本征函數(shù)展開：若Ψ,un都是歸一化的，則an(t)也是歸一化的。證：由此可知，|an|2表示在Ψ(x,t)所描述的狀態(tài)中測量Q得Qn的幾率。a1(t),a2(t),...,an(t),...就是Ψ(x,t)所描寫狀態(tài)在Q表象中的表示。第十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五共軛矩陣歸一化可寫為寫成矩陣形式第十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（2）含有連續(xù)本征值情況例如氫原子能量就是這樣一種力學(xué)量，即有分立也有連續(xù)本征值。設(shè)力學(xué)量Q的本征值和本征函數(shù)分別為：Q1,Q2,...,Qn,...,qu1(x),u2(x),...,un(x),...,uq(x)則歸一化則變?yōu)椋簗an(t)|2

是在Ψ(x,t)態(tài)中測量力學(xué)量Q所得結(jié)果為Qn

的幾率；|aq(t)|2dq是在Ψ(x,t)態(tài)中測量力學(xué)量Q所得結(jié)果在q→q+dq之間的幾率。在這樣的表象中，Ψ仍可以用一個列矩陣表示：歸一化仍可表為：Ψ+Ψ=1第十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五同一狀態(tài)可以在不同表象用波函數(shù)描寫，表象不同，波函數(shù)的形式也不同，但是它們描寫同一狀態(tài)。（三）討論第十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五基本矢量態(tài)矢量這類似于一個矢量可以在不同坐標(biāo)系描寫一樣。矢量A在直角坐標(biāo)系由三分量AxAyAz

描述；在球坐標(biāo)系用三分量ArAA

描述。AxAyAz和Ar,A,A

形式不同，但描寫同一矢量A。第十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五波函數(shù)是態(tài)矢量Ψ在Q表象中沿各基矢方向上的“分量”。Q表象的基矢有無限多個，所以態(tài)矢量所在的空間是一個無限維的抽象的函數(shù)空間，稱為Hilbert空間。所以我們可以把狀態(tài)Ψ看成是一個矢量——態(tài)矢量。選取一個特定力學(xué)量Q表象，相當(dāng)于選取特定的坐標(biāo)系，u1(x),u2(x),...,un(x),...是Q表象的基本矢量簡稱基矢。第十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例：分別在坐標(biāo)表象、動量表象、能量表象中寫出一維無限深勢阱中基態(tài)粒子的波函數(shù)。

第十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（一）力學(xué)量算符的矩陣表示（二）Q表象中力學(xué)量算符的性質(zhì)（三）Q有連續(xù)本征值的情況§4.2算符的矩陣表示第十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五坐標(biāo)表象：Q表象：假設(shè)只有分立本征值，將Φ,Ψ按{un(x)}展開：兩邊左乘u*n(x)并對x積分Q表象的表達方式代入（一）力學(xué)量算符的矩陣表示第十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五Q表象的表達方式第二十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五F在Q表象中是一個矩陣，F(xiàn)nm是其矩陣元Φ=FΨ寫成矩陣形式簡寫成第二十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（1）力學(xué)量算符用厄密矩陣表示所以厄密算符的矩陣表示是一厄密矩陣。（二）Q表象中力學(xué)量算符F的性質(zhì)第二十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（2）力學(xué)量算符在自身表象中的形式Q的矩陣形式結(jié)論：

算符在自身表象中是一對角矩陣，對角元素就是算符的本征值。第二十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（1）只有連續(xù)本征值如果Q只有連續(xù)本征值q，上面的討論仍然適用，只需將u,a,b的角標(biāo)從可數(shù)的n,m換成連續(xù)變化的q，求和換成積分，見下表。分立譜連續(xù)譜算符F在Q表象仍是一個矩陣，矩陣元由下式確定：只是該矩陣的行列是不是可數(shù)的，而是用連續(xù)下標(biāo)表示（三）Q有連續(xù)本征值的情況第二十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例：求動量表象中F的矩陣元要計算此積分，需要知道F的具體形式.第二十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例3:

求一維諧振子的坐標(biāo),動量及Hamilton量在能量表象中的矩陣表示。第二十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五第二十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（一）平均值公式（二）本征方程（三）Schrodinger方程的矩陣形式§4.3量子力學(xué)公式的矩陣表述第二十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五坐標(biāo)表象平均值公式在Q表象中式右寫成矩陣相乘形式簡寫成:（一）平均值公式第二十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五寫成矩陣形式表成顯式整理改寫上式是一個齊次線性方程組方程組有不完全為零解的條件是系數(shù)行列式等于零久期方程求解此久期方程得到一組λ值：λ1,λ2,...,λn,....就是F的本征值。將其分別代入原齊次線性方程組就能得到相應(yīng)于各λi的本征矢于是求解微分方程的問題就化成了求解代數(shù)方程根的問題。（二）本征方程第三十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例1：

?本征函數(shù)um(x)在自身表象中的矩陣表示。同樣將um(x)按?的本征函數(shù)展開：顯然有所以um(x)在自身表象中的矩陣表示如下：第三十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五例2：求Lx本征態(tài)在Lz表象中的矩陣表示，只討論(=1)情況。解Lx的本征方程為：欲得a1,a2,a3

不全為零的解，必須要求系數(shù)行列式等于零λ(-λ2+2)=0

解得本征值λ=0,±.第三十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五取λ=代入本征方程得：解得：由歸一化條件定a2為簡單計取實數(shù)同理得另外兩個本征值相應(yīng)本征函數(shù)則=1,Lx=的本征態(tài)可記為：第三十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五寫到Q表象按力學(xué)量算符Q的本征函數(shù)展開左乘um*(x)對x整個空間積分ΨH都是矩陣簡寫（三）Schrodinger方程的矩陣形式第三十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五§4.4Dirac符號

(一）引

(二)態(tài)矢量（三）算符（四）總結(jié)第三十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五前三章給出的都是X-表象中的形式，本章中給出了任一力學(xué)量Q-表象中的形式，它們都是取定了某一具體的力學(xué)量空間，即某一具體的力學(xué)量表象。量子描述除了使用具體表象外，也可以不取定表象，正如幾何學(xué)和經(jīng)典力學(xué)中也可用矢量形式A來表示一個矢量，而不用具體坐標(biāo)系中的分量(Ax,Ay,Az)表示一樣。量子力學(xué)可以不涉及具體表象來討論粒子的狀態(tài)和運動規(guī)律。這種抽象的描述方法是由Dirac首先引用的，所以該方法所使用的符號稱為Dirac符號。(一）引第三十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（1）右矢空間前面已經(jīng)講過，一個狀態(tài)通過一組力學(xué)量完全集的測量（完全測量）來確定，通常用所測得的力學(xué)量的量子數(shù)來確定。例如：一維線性諧振子其狀態(tài)由量子數(shù)

n

確定，記為ψn(x)；氫原子的狀態(tài)由量子數(shù) n,l,m

確定，記為ψnlm(r,,)，如此等等。在抽象表象中Dirac用右矢空間的一個矢量|>與量子狀態(tài)相對應(yīng)，該矢量稱為右矢(刃矢)。|n>ψn(x)；|n,l,m>ψnlm狀態(tài)|n>和|n,l,m>亦可分別記成|ψn>和|ψnlm>。對力學(xué)量的本征態(tài)可表示為|x>,|p>,|Qn>...

等。

因為力學(xué)量本征態(tài)構(gòu)成完備系，所以本征函數(shù)所對應(yīng)的右矢空間中的右矢也組成該空間的完備右矢（或基組），即右矢空間中的完備的基本矢量（簡稱基矢）。右矢空間的任一矢量|ψ>可按該空間的某一完備基矢展開。例如：(二)態(tài)矢量第三十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（2）左矢空間右矢空間中的每一個右矢量在左矢空間都有一個相對應(yīng)的左矢量，記為<|。例如：Dirac符號右矢空間和左矢空間稱為伴空間或?qū)ε伎臻g，<ψ|和|ψ>稱為伴矢量。<p’|,<x’|,<Qn|組成左矢空間的完備基組，任一左矢量可按其展開，即左矢空間的任一矢量可按左矢空間的完備基矢展開。

左矢空間

右矢空間

<n|

|n>

<n,l,m||n,l,m>

<x'||x'>

<A|

|A>

<l,m|

|l,m>

<p'|

|p'>

<Qn|

|Qn>

左矢，

bra

ket,右矢

第三十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（3）伴矢量|ψ>和<ψ|的關(guān)系|ψ>按Q的右基矢|Qn>展開|ψ>=a1|Q1>+a2|Q2>+...+an|Qn>+...展開系數(shù)即相當(dāng)于Q表象中的表示：<ψ|按Q的左基矢<Qn|展開：<ψ|=a*1<Q1|+a*2<Q2|+...+a*n<Qn|+...展開系數(shù)即相當(dāng)于Q表象中的表示：ψ+=(a*1,a*2,...,a*n,...)同理某一左矢量<φ|亦可按Q的左基矢展開：<φ|=b*1<Q1|+b*2<Q2|+...+b*n<Qn|+...顯然:<φ|ψ>*=<ψ|φ>這就是用Dirac表示的波函數(shù)歸一化條件。由標(biāo)積定義得:定義|ψ>和<φ|的標(biāo)積為：第三十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五本征態(tài)的正交歸一化條件可寫為：由此可以看出|ψ>和<ψ|的關(guān)系：1）在同一確定表象中，各分量互為復(fù)共軛；2）由于二者屬于不同空間所以它們不能相加，只有同一空間的矢量才能相加；3）右矢空間任一右矢可以和左矢空間中任一左矢進行標(biāo)積運算。（4）本征函數(shù)的封閉性展開式兩邊左乘<Qm|得:將an代回原式得：因為|ψ>

是任意態(tài)矢量，所以成立。本征矢|Qn>

的封閉性I分立譜第四十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五對于連續(xù)譜|q>，q取連續(xù)值，任一狀態(tài)|ψ>展開式為：II連續(xù)譜左乘<q'|代入原式因為|ψ>是任意態(tài)矢，所以有

同理，對于

|x’>

和|p'>

分別有這就是連續(xù)本征值的本征矢的封閉性。由于所以它們也稱為單位算符，在運算中可插入（乘到）公式任何地方而不改變原公式的正確性。例如：在|ψ>左側(cè)插入算符同理即得態(tài)矢按各種力學(xué)量本征矢的展開式第四十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五投影算符|Qn><Qn|或|q><q|的作用相當(dāng)一個算符，它作用在任一態(tài)矢|ψ>上，相當(dāng)于把|ψ>投影到右基矢|Qn>或|q>上，即作用的結(jié)果只是留下了該態(tài)矢在|Qn>上的分量<Qn|ψ>或<q|ψ>。故稱|Qn><Qn|和|q><q|為投影算符。因為|ψ>在X表象的表示是ψ(x,t)，所以顯然有：封閉性在X表象中的表示左乘<x|

右乘|x'>分立譜第四十二頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五連續(xù)譜封閉性與正交歸一性比較區(qū)別在形式上二者相似正交歸一性的表示式是對坐標(biāo)的積分：封閉性表示式是對本征值求和或積分：所以，我們也可以把封閉性解釋為本征函數(shù)對于本征值的求和或積分是正交歸一的。它來自于本征函數(shù)的完備性，也是本征函數(shù)完備性的表示。第四十三頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五(1)右矢空間在抽象的Dirac表象

Dirac

符號的特點是簡單靈活。如果欲把上式寫至Q表象，則只需在適當(dāng)位置插入單位算符。左乘<Qm|把公式變到Q表象算符F在Q表象中的矩陣表示的矩陣元Fmn寫成矩陣形式

ψ=FφQ表象X表象（三）算符第四十四頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五平均值公式插入單位算符

（2）共軛式（左矢空間）表明量子力學(xué)中的力學(xué)量既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。若F是厄密算符第四十五頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（1）X表象描述與Dirac符號Dirac符號

項目X表象（四）總結(jié)第四十六頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五（一）不同表象之間的變換和么正變換矩陣（二）波函數(shù)和算符的變換關(guān)系（三）么正變換的性質(zhì)§4.5么正變換矩陣第四十七頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五1、么正變換矩陣力學(xué)量A,B其本征方程分別為:由于本征函數(shù)的完備性，B基矢可按A的基矢展開：展開系數(shù)：（一）不同表象之間的變換和么正變換矩陣第四十八頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五寫成矩陣形式2、S矩陣的么正性1）S+S=I2）SS+=IS+S=SS+→S+=S-1所以第四十九頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五3、如何求么正變換矩陣方法I：由S矩陣元的定義式：計算出全部矩陣元即可得到S矩陣。方法II：由表達式可知，S矩陣元Snβ,n=1,2,3,...即是基矢|φβ>在A表象中的表示，即反之，如果我們已經(jīng)知道了某一力學(xué)量基矢在另一力學(xué)量表象中的表示，那末我們就可以直接把S變換矩陣寫出來。為清楚簡單起見，假設(shè)：A和B的本征矢各只有3個，分別為:|ψ1>,|ψ2>,|ψ3>和|φ1>,|φ2>,|φ3>。|φ1>=S11|ψ1>+S21|ψ2>+S31|ψ3>|φ2>=S12|ψ1>+S22|ψ2>+S32|ψ3>|φ3>=S13|ψ1>+S23|ψ2>+S33|ψ3>如果|φβ>,(β=1,2,3)在A表象中的表示已知：第五十頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五在A表象中，B的本征基矢可表示為：將三列矩陣元按原列次序組成一個新矩陣：就是由A表象到B表象的么正變換矩陣。

第五十一頁，共五十六頁，編輯于2023年，星期五1、波函數(shù)變換關(guān)系對任一態(tài)矢|u>作用A的單位矢量則于是|u>在A表象中的表示