高等代數(shù)因式分解定理

高等代數(shù)課件因式分解定理第一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六復習因式分解與多項式系數(shù)所在數(shù)域有關x44=(x22)(x2+2)

QRC第二頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六一、不可約多項式定義：設p(x)P[x]，且(p(x))>0，若p(x)不能表示成數(shù)域P上兩個次數(shù)比p(x)低的多項式的乘積，則稱p(x)為數(shù)域P上的不可約多項式．第三頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六注意:①一個多項式是否不可約依賴于系數(shù)域．②一元多項式總是不可約多項式③p(x)不可約p(x)的因式只有零次多項式與它自身的非零常數(shù)倍.④若p(x)不可約，對f(x)P[x],有(p(x),

f(x))=1或p(x)|f(x).第四頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六⑤定理5：設p(x)是不可約多項式，f(x),g(x)P[x]，若p(x)|f(x)g(x)，則p(x)|f(x)或p(x)|g(x)．推廣：設p(x)是不可約多項式,fi(x)P[x],i=1,2,…,s，若p(x)|f1(x)f2(x)…fs(x),則必存在某個fi(x),使得p(x)|fi(x)。⑥設p(x)是不可約多項式，cP,則cp(x)也是不可約多項式。第五頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六二、因式分解及唯一性定理1.定理

f(x)P[x],若(f(x))1,則f(x)可唯一地分解成數(shù)域P上一些不可約多項式的乘積.所謂唯一性是說,若有兩個分解式

f(x)=p1(x)p2(x)…ps(x)=q1(x)q2(x)…qt(x)則s=t,且適當排列因式的次序后,有pi(x)=ciqi(x),其中ci,i=1,2,…,s是一些非零常數(shù)．

第六頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六1)理解證明過程.注:

2)整個證明過程中沒有具體的分解多項式的方法.3)定理的作用主要是理論上的.第七頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六2．標準分解式設f(x)P[x],(f(x))1,則f(x)總可表成其中c為f(x)的首項系數(shù)，pi(x)為互不相同的首項系數(shù)為1的不可約多項式，riZ+，稱之為f(x)的標準分解式．

第八頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六性質1設f(x),h(x)P[x],(f(x))1,(h(x))0,

且f(x)的標準分解式為，則h(x)|f(x)的充分必要條件是h(x)具有這樣的形式其中0liri,i=1,2,…,s.第九頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六性質2設f(x),g(x)P[x],f(x)0,

g(x)0,

且ri,li0,i=1,2,…,s,其中p1(x),p2(x),…,ps(x)是互不相同的首項系數(shù)為1的不可約多項式,則其中mi=min{ri,li},i=1,2,…,s,第十頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六設fi(x)P[x],i=1,2,…,n,

且其中rij0,

1in,1js,

p1(x),p2(x),…,ps(x)是互不相同的首1的不可約多項式,則其中mi=min{r1i,r2i,…,rni},i=1,2,…,s.性質3第十一頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六注意：雖然上面給出了利用因式分解定理求最大公因式的公式，但由于對于多項式的因式分解沒有一般的方法，因而這種方法不能取代輾轉相除法求最大公因式。第十二頁，共十三頁，編輯于2023年，星期六例1求f(x)=x4+x22的標準分解式。例2設p1(x),p2(x)是數(shù)域P上兩個不同的首項系數(shù)為1的不可約多項式,