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名師課堂·一點通第二章函數(shù)N0.1課堂強化求函數(shù)零點近似解的一種計算方法——二分法課前預習·巧設計創(chuàng)新演練·大沖關N0.2課下檢測讀教材·填要點小問題·大思維考點一考點二考點三2.4函數(shù)與方程[讀教材·填要點]1．變號零點與不變號零點如果函數(shù)圖象通過零點時x軸，則稱這樣的零點為變號零點．如果函數(shù)圖象通過零點時x軸，則稱這樣的零點為不變號零點．穿過沒有穿過2．二分法的定義對于在區(qū)間[a，b]上，并且在它的兩個端點處的函數(shù)值異號，即的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到的方法叫做二分法．連續(xù)不間斷f(a)·f(b)＜0一分為二零點近似值f(a0)·f(b0)＜0f(x0)＝0f(a0)·f(x0)＜0f(a0)·f(x0)＞0f(x1)＝0f(a1)f(x1)＜0f(a1)f(x2)＞0直到第n步，函數(shù)的零點總位于[an，bn]上，當an和bn按照給定的精確度所取的近似值相同時，這個相同的近似值就是函數(shù)y＝f(x)的近似零點，計算終止．[小問題·大思維]1．如果函數(shù)f(x)在(a，b)內存在零點，f(a)f(b)＜0成立嗎？提示：不一定，如f(x)＝x2，x＝0是它的零點，但找不到(a，b)使f(a)f(b)＜0.2．對于區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，且存在零點，當該零點兩側符號相同時，能使用二分法找到該零點嗎？提示：不能，二分法只能適合于變號零點的尋找，對于不變號零點不適用．3．用二分法求方程的近似解時，所選區(qū)間不同所得結果相同嗎？提示：不一定．結果可能不同，但都符合給定的精確度．[悟一法][例1]判斷下列函數(shù)是否有變號零點：(1)y＝x2－5x－14；(2)y＝x2＋x＋1；(3)y＝4x2＋4x＋1.[精解詳析]

(1)∵y＝x2－5x－14＝(x＋2)(x－7)，∴有兩個零點－2,7.由二次函數(shù)的圖象知，－2,7都是變號零點．[悟一法]

函數(shù)的零點分為變號零點和不變號零點，若函數(shù)零點左右兩側函數(shù)值符號相反，則此零點為函數(shù)的變號零點；從圖象來看，若圖象穿過x軸，則此零點為變號零點，否則為不變號零點．二分法只能求函數(shù)的變號零點．[通一類]解析：函數(shù)y＝f(x)的三個變號零點分別是－1,0,1.所以①②③正確．答案：D[悟一法][例2]一塊電路板的線路AB之間有64個串聯(lián)的焊接點，如果線路不通的原因是由于焊接點脫落所致，要想檢測出哪一處焊接點脫落，若運用二分法至多需要檢測的次數(shù)是多少？[精解詳析]根據(jù)二分法的思想，每次只需檢測線路的中點，逐步將線路縮短．具體分析如下：第1次取中點把焊接點數(shù)減半為64÷2＝32，第2次取中點把焊接點數(shù)減半為32÷2＝16，第3次取中點把焊接點數(shù)減半為16÷2＝8，第4次取中點把焊接點數(shù)減半為8÷2＝4，第5次取中點把焊接點數(shù)減半為4÷2＝2，第6次取中點把焊接點數(shù)減半為2÷2＝1，所以至多需要檢測6次．[悟一法]二分法思想的一個顯著特點就是將事物一分為二，然后分析其中一份，如果滿足條件，就繼續(xù)分析；如果不滿足條件，則分析另外一份，從而達到簡化分析問題的目的．[通一類]2．2011年3月11日日本發(fā)生了9.0級地震．地震發(fā)生后，停水斷電，交通受阻．一日，某市A地到B地的電話線路發(fā)生故障，這是一條長10km的線路，每隔50m有一根電線桿，如何迅速查出故障所在處？解：可以利用二分法的思想進行方案的設計．如圖，可首先從中點C開始檢查，用隨身攜帶的工具檢查，若發(fā)現(xiàn)AC段正常，斷定故障在BC段；再到BC段中點D檢測，若BD段正常，可見故障在CD段；再到CD段中點E檢查……如此操作，每檢查一次就可以將待查的線路長度縮短一半，經(jīng)過7次查找，即可將故障縮小到50～100m之間，于是可迅速查出故障所在處．

[例3]借助計算器，用二分法求函數(shù)f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1在區(qū)間(－1,0)內的近似零點(精確到0.1)．

[精解詳析]

f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)－1，由于f(－1)＝－1＜0，f(0)＝5＞0，可取區(qū)間(－1,0)作為計算初始區(qū)間．用二分法逐次計算，列表如下：由上表可知，區(qū)間(－0.9375，－0.875)的左右端點精確到0.1都是－0.9，因此－0.9就是所求方程在區(qū)間(－1，0)上的一個近似零點．[悟一法]

用二分法求函數(shù)零點的近似值，關鍵是找一個區(qū)間[m，n]，使f(m)·f(n)＜0.(1)需依據(jù)圖象估算初始區(qū)間(一般采用估值的方法完成)；

(2)取區(qū)間端點的平均數(shù)c，計算f(c)，確定有解區(qū)間是[m，c]還是[c，n]，逐步縮小區(qū)間的“長度”，直到區(qū)間的兩個端點的近似值相同(符合精確度要求)，終止計算，得到函數(shù)零點的近似值．[通一類]3．借助計算器，用二分法求函數(shù)f(x)＝2x2－3x－1的一個正零點(精確到0.1)．用二分法逐次計算，列表如下：由上表可知，區(qū)間[1.75,1.8125]的左右端點精確到0.1都是1.8，因此1.8就是所求函數(shù)的一