一曲線的參數(shù)方程

第1頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的底面(不計空氣阻力)，飛行員應(yīng)如何確定投放時機(jī)呢？問題探究Av=100m/s第2頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的底面(不計空氣阻力)，飛行員應(yīng)如何確定投放時機(jī)呢？問題探究xyOAv=100m/s-500第3頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

如圖，一架救援飛機(jī)在離災(zāi)地面500m高處以100m/s的速度作水平直線飛行.為使投放的救援物資準(zhǔn)確落于災(zāi)區(qū)指定的底面(不計空氣阻力)，飛行員應(yīng)如何確定投放時機(jī)呢？問題探究MxyOAv=100m/s-500第4頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三1.參數(shù)方程的概念

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)第5頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三1.參數(shù)方程的概念

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點的坐標(biāo)x，y都是某個變數(shù)t的函數(shù)

并且對于t的每一個允許值，由方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上，那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).相對于參數(shù)方程而言，直接給出點的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程.第6頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x，y的橋梁，可以是一個與物理意義或幾何意義的變數(shù)，也可以是沒有明顯實際意義的變數(shù).練習(xí)：指出下列參數(shù)方程中的參數(shù)第7頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例1.第8頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三2、參數(shù)方程和普通方程的互化第9頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三將曲線的參數(shù)方程化為普通方程，有利于識別曲線的類型。曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式。一般地，可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程。如果知道變數(shù)x,y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系那么就是曲線的參數(shù)方程。第10頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例2、把下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它們各表示什么曲線？第11頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三（2）把平方后減去得到因為所以因此，與參數(shù)方程等價的普通方程是這是拋物線的一部分。所以代入第12頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三1.將下列參數(shù)方程化為普通方程：(1)(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2（1）（x-2）2+y2=9（2）y=1-2x2（-1≤x≤1）（3）x2-y=2（X≥2或x≤-2）步驟：（1）消參；（2）求定義域。練一練第13頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三2.求參數(shù)方程表示（）（A）雙曲線的一支，這支過點（1，）：（B）拋物線的一部分，這部分過（1，）；（C）雙曲線的一支，這支過點（–1，）；（D）拋物線的一部分，這部分過（–1，）第14頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三分析一般思路是：化參數(shù)方程為普通方程求出范圍、判斷。解∵x2==1+sin=2y，普通方程是x2=2y，為拋物線。

∵，又0<<2，0<x，故應(yīng)選（B）說明這里切不可輕易去絕對值討論，平方法是最好的方法。第15頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例3

解（1）把

帶入橢圓方程，得到

于是由參數(shù)的任意性，可取因此橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)）

第16頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三思考：為什么（2）中的兩個參數(shù)方程合起來才是橢圓的參數(shù)方程？因此橢圓的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）和（2）把代入橢圓方程，得第17頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三x,y范圍與y=x2中x,y的范圍相同，代入y=x2后滿足該方程，從而D是曲線y=x2的一種參數(shù)方程.曲線y=x2的一種參數(shù)方程是（）.

注意：在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致。否則，互化就是不等價的.在y=x2中，x∈R,y≥0，分析:發(fā)生了變化，因而與y=x2不等價；在A、B、C中，x,y的范圍都而在Ｄ中，且以練一練第18頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三普通方程參數(shù)方程引入?yún)?shù)消去參數(shù)小結(jié)第19頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

圓周運(yùn)動是生活中常見的.當(dāng)物體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動時，物體中各個點都作勻速圓周運(yùn)動.那么，怎樣刻畫運(yùn)動中點的位置呢？3.圓的參數(shù)方程概念第20頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

圓周運(yùn)動是生活中常見的.當(dāng)物體繞定軸作勻速轉(zhuǎn)動時，物體中各個點都作勻速圓周運(yùn)動.那么，怎樣刻畫運(yùn)動中點的位置呢？3.圓的參數(shù)方程概念第21頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

如果在時刻t，點M轉(zhuǎn)過的角度是，坐標(biāo)是M(x,y)，那么＝t.設(shè)|OM|＝r，那么由三角函數(shù)定義有即講授新課第22頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三

這就是圓心在原點O，半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)t有明確的物理意義(質(zhì)點作勻速圓周運(yùn)動的時刻).講授新課第23頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三講授新課

考慮到＝t，也可以取為參數(shù)，于是有

這也是圓心在原點O，半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)的幾何意義是OM0繞點O旋轉(zhuǎn)到OM的位置時，OM0轉(zhuǎn)過的角度.第24頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三圓心是(a,b),半徑是r的圓的參數(shù)方程是什么呢？第25頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例1、已知圓方程x2+y2+2x-6y+9=0，將它化為參數(shù)方程。解：x2+y2+2x-6y+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，（x+1）2+（y-3）2=1，∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù))第26頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三練習(xí).(1)(x－1)2＋y2＝4上的點可以表示為A.(－1＋cos,sin)B.(1＋sin,cos)C.(－1＋2cos,2sin)D.(1＋2cos,2sin)()第27頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三練習(xí).(1)(x－1)2＋y2＝4上的點可以表示為A.(－1＋cos,sin)B.(1＋sin,cos)C.(－1＋2cos,2sin)D.(1＋2cos,2sin)()D第28頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三練習(xí).的圓心為_________，半徑為______.第29頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三練習(xí).的圓心為_________，半徑為______.(4,0)第30頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三練習(xí).的圓心為_________，半徑為______.(4,0)2第31頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三xMPAyO解:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),∴可設(shè)點P坐標(biāo)為(4cosθ,4sinθ)∴點M的軌跡是以(6,0)為圓心、2為半徑的圓。由中點公式得:點M的軌跡方程為x=6+2cosθy=2sinθx=4cosθy=4sinθ

圓x2+y2=16的參數(shù)方程為例1.

如圖,已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點,

點A是x軸上的定點,坐標(biāo)為(12,0).當(dāng)點P在圓上運(yùn)動時,線段PA中點M的軌跡是什么?參數(shù)方程的應(yīng)用(1)參數(shù)法求軌跡方程第32頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三解:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),∴點M的軌跡是以(6,0)為圓心、2為半徑的圓。由中點坐標(biāo)公式得:點P的坐標(biāo)為(2x-12,2y)∴(2x-12)2+(2y)2=16即M的軌跡方程為(x-6)2+y2=4∵點P在圓x2+y2=16上xMPAyO例1.

如圖,已知點P是圓x2+y2=16上的一個動點,

點A是x軸上的定點,坐標(biāo)為(12,0).當(dāng)點P在圓上運(yùn)動時,線段PA中點M的軌跡是什么?第33頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三例2.已知點P（x，y）是圓x2+y2-6x-4y+12=0上動點，求（1）x2+y2

的最值，（2）x+y的最值，（3）P到直線x+y-1=0的距離d的最值。

解：圓x2+y2-6x-4y+12=0即（x-3）2+（y-2）2=1，用參數(shù)方程表示為由于點P在圓上，所以可設(shè)P（3+cosθ，2+sinθ），（1）x2+y2=(3+cosθ)2+(2+sinθ)2

=14+4sinθ+6cosθ=14+2sin(θ+ψ).∴x2+y2

的最大值為14+2，最小值為14-2。（2）.參數(shù)法求最值第34頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三(2)x+y=3+cosθ+2+sinθ=5+sin（θ+）∴x+y的最大值為5+，最小值為5-。(3)顯然當(dāng)sin（θ+）=1時，d取最大值，最小值，分別為，。第35頁，講稿共42頁，2023年5月2日，星期三1.已知點P(x，y)