2021-2022學年山西省晉中市介休定陽高級中學高三數(shù)學理測試題含解析

2021-2022學年山西省晉中市介休定陽高級中學高三數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}，則A∩B=（）A．{1，2} B．{1，2，4} C．{2，4} D．{2，3，4}參考答案：B【考點】1E：交集及其運算．【分析】先化簡集合B，再根據(jù)交集的定義即可求出．【解答】解：合A={1，2，3，4}，B={y|y=2x﹣1，x∈A}={1，2，4，8}，則A∩B={1，2，4}，故選：B．2.已知全集，集合，集合，那么（

）A．

B．(0,1]

C．(0,1)

D．(1,+∞)參考答案：A3.兩個非零向量滿足，則向量與夾角為（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】先由得到；再由得到，設向量與夾角為，根據(jù)向量夾角公式即可求出結果.【詳解】因為，所以，即，所以；又，所以，故，即，所以，設向量與夾角為，則，所以向量與夾角為.故選B【點睛】本題主要考查求向量的夾角，熟記向量數(shù)量積的運算法則以及模的計算公式即可，屬于常考題型.4.已知函數(shù)f(x)=a－，若f(x)為奇函數(shù)，則f(3)的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：答案：D

5.)的圖象的一部分圖形如圖所示，則函數(shù)的解析式為(

)

A．y=sin(x+)B．y=sin(x-)

C．y=sin(2x+)

D．y=sin(2x-)參考答案：C略6.已知二次曲線，則當時，該曲線的離心率的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：答案：Ｃ7.某幾何體正視圖與側視圖相同，其正視圖與俯視圖如圖所示，且圖中的四邊形都是邊長為2的正方形，正視圖中兩條虛線互相垂直，則該幾何體的體積是A． B．6 C．4 D．參考答案：A8.設a、b、c為非零實數(shù)，且，則（

）A. B.C. D.參考答案：C【分析】取，計算知錯誤，根據(jù)不等式性質知正確，得到答案.【詳解】，故，，故正確；取，計算知錯誤；故選：.【點睛】本題考查了不等式性質，意在考查學生對于不等式性質的靈活運用.9.已知函數(shù)有兩個零點，則(

)A. B. C. D.參考答案：A10.若實數(shù)x，y滿足|x﹣3|≤y≤1，則z=的最小值為（）A． B．2 C． D．參考答案：A【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義即可得到結論．【解答】解：依題意，得實數(shù)x，y滿足，畫出可行域如圖所示，其中A（3，0），C（2，1），z===1+，設k=，則k的幾何意義為區(qū)域內(nèi)的點與原點的斜率，則OC的斜率最大為k=，OA的斜率最小為k=0，則0≤k≤，則1≤k+1≤，≤≤1，故≤1+≤2，故z=的最小值為，故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為原點，橢圓上一點到左焦點的距離為4，是的中點．則=

.參考答案：312.已知雙曲線的左、右焦點為F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），若直線y=2x與雙曲線的一個交點的橫坐標為c，則雙曲線的離心率為．參考答案：【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】求出直線與雙曲線的交點坐標，代入雙曲線方程，轉化求解雙曲線的離心率即可．【解答】解：直線y=2x與雙曲線的一個交點的橫坐標為c，可得交點坐標為：（c，2c），代入雙曲線方程可得：，可得e2﹣1=，e＞1，可得e2﹣1=2e，解得e=．故答案為：；13.已知集合，，則_____________.參考答案：{1,3,5}14.一只昆蟲在邊長分別為5,12,13的三角形區(qū)域內(nèi)爬行，則其到三角形頂點距離小于2的地方的概率為

參考答案：

15.

直角坐標平面上，滿足不等式組的整點個數(shù)是

．

參考答案：2551解：如圖，即△OAB內(nèi)部及邊界上的整點．由兩軸及x+y=100圍成區(qū)域(包括邊界)內(nèi)的整點數(shù)=1+2+3+…+101=5151個．由x軸、y=x，x+y=100圍成區(qū)域(不包括y=x上)內(nèi)的整點數(shù)(x=1，2，3時各有1個整點，x=4，5，6時各有2個整點，…，x=73，74，75時有25個整點，x=76，77，…，100時依次有25，24，…，1個整點．共有3×1+3×2+…+3×25+25+24+…+1=4(1+2+…+25)=1300．由對稱性，由y軸、y=3x、x+y=100圍成的區(qū)域內(nèi)也有1300個整點．∴所求區(qū)域內(nèi)共有5151－2600=2551個整點．16.在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0，若直線y=kx﹣2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，則k的最大值是．參考答案：【考點】圓與圓的位置關系及其判定；直線與圓的位置關系．【分析】由于圓C的方程為（x﹣4）2+y2=1，由題意可知，只需（x﹣4）2+y2=1與直線y=kx﹣2有公共點即可．【解答】解：∵圓C的方程為x2+y2﹣8x+15=0，整理得：（x﹣4）2+y2=1，即圓C是以（4，0）為圓心，1為半徑的圓；又直線y=kx﹣2上至少存在一點，使得以該點為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點，∴只需圓C′：（x﹣4）2+y2=4與直線y=kx﹣2有公共點即可．設圓心C（4，0）到直線y=kx﹣2的距離為d，則d=≤2，即3k2﹣4k≤0，∴0≤k≤．∴k的最大值是．故答案為：．17.設p：f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上是遞增的，q：m≥﹣4，則p是q的條件．參考答案：充要【考點】2L：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】結合函數(shù)單調(diào)性的性質，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【解答】解：要使f（x）=lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，即f′（x）=恒成立，∴m在（0，+∞）恒成立，∵當x＞0時，，∴，即m≥﹣4，∴p：m≥﹣4，∵q：m≥﹣4，∴p是q的充分必要條件．故答案為：充要條件三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）若，對，不等式恒成立，求a的取值范圍．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）分類討論，，，即可得出結果；（2）先由題意，將問題轉化為即可，再求出，的最小值，解不等式即可得出結果.【詳解】（1）由得，若，則，顯然不成立；若，則，，即；若，則，即，顯然成立，綜上所述，的取值范圍是．（2）由題意知，要使得不等式恒成立，只需，當時，，所以；因為，所以，解得，結合，所以的取值范圍是．【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法，以及由不等式恒成立求參數(shù)的問題，熟記分類討論的思想、以及絕對值不等式的性質即可，屬于?？碱}型.19.（本小題滿分14分）設數(shù)列的前項和為.已知,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù),有.參考答案：(Ⅰ)解:因為,.

所以當時,

又,得.…………2分(Ⅱ)解:因為,.

所以

①

所以當時,

②

由①—②,得…………5分

因為

所以

所以

所以數(shù)列是以首項為,公差為1的等差數(shù)列.

所以，即

當時,上式顯然成立.

所以，.…………8分

(Ⅲ)證明:由(Ⅱ)知,，

①當時,,所以原不等式成立.

②當時,,所以原不等式亦成立.…………10分

③當時,由得

即當時,原不等式亦成立.…………14分

綜上,對一切正整數(shù),有.

20.平行四邊形ABCD所在的平面與直角梯形ABEF所在的平面垂直，，，且，，，P為DF的中點.（1）求證：平面ABCD；（2）求證：；（3）若直線EF上存在點H，使得CF，BH所成角的余弦值為，求BH與平面ADF所成角的大小.參考答案：（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】(1)取的中點或取中點,利用證平行四邊形的方法再證明平面即可.(2)根據(jù)勾股定理與余弦定理證明,再根據(jù)面面垂直的性質得出平面即可證明.(3)以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系.設,再利用空間向量求解關于線面角的問題即可.【詳解】（1）解法1：取的中點,連結,,,在直角梯形中,,,所以四邊形為平行四邊形,所以,在中,,所以,又因為,所以平面平面,又平面,所以平面.解法2：取中點,連結,,在中,,,所以,且,又,,所以,,所以四邊形為平行四邊形,所以,因為平面,平面,所以平面.（2）在中,,,所以,所以,所以,又平面平面,平面平面,平面,所以平面,因為平面,所以.（3）由（1）（2）以為原點,以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系.所以,,,,,所以,所以,,,設,所以,所以,所以,所以,所以,設平面的法向量為,所以,所以令,則,如與平面成的角為,所以.所以,即與面成的角為.【點睛】本題主要考查了線面平行與線線垂直的一般方法,同時也考查了建立空間直角坐標系求解線面角的問題,需要設線段的比例關系,求解關于比例參數(shù)的解析式根據(jù)線面角大小化簡求解.屬于難題.21.(13分)已知鈍角三角形中,為鈍角,若向量.且.

(1)求的大小;

(2)設函數(shù),若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.參考答案：(1)由

由A為鈍角∴

∴

(2)∵

∴

∵

∴時

∴

22.已知a∈R，函數(shù)f（x）=．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若a＞1，函數(shù)y=f（x）在[0，a+1]上最大值是f（a+1），求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】綜合題；分類討論；綜合法；導數(shù)的綜合應用．【分析】（1）由求導公式和法則求出f′（x），求出導函數(shù)的零點，然后分a=1，a＞1和a＜1三種情況，分別由二次函數(shù)的性質判斷出導數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號，由導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關系判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）和條件判斷出f（x）在[0，a+1]上的單調(diào)性，確定f（x）在[0，a+1]上的最大值，由條件列出不等式，求出實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：（1）由題意得，f′（x）=x2﹣（a+1）x+a=（x﹣1）（x﹣a），令f′（x）=0，得x1=1，x2=a，①當a=1時，f′（x）=（x﹣1）2≥0，所以f（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增；②當a＜1時，當x＜a或x＞1時，f′（x）＞0，當a＜x＜1時，f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，1）內(nèi)單調(diào)遞減；③當a＞1時，當x＜1或x＞a時，f′（x）＞0，當1＜x＜a時f′（x）＜0，所以f（x）在（﹣∞，1），（a，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，a）內(nèi)單調(diào)遞減．綜上，當a＜1時，f（x）在（﹣∞，a），（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（a，1）內(nèi)單調(diào)遞減；當a=1時，f（x）在（﹣∞，+∞）單調(diào)遞增；當a＞1時，f（x）在（﹣∞，1