代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史及線性代數(shù)簡(jiǎn)史

關(guān)于代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史及線性代數(shù)簡(jiǎn)史第1頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三代數(shù)學(xué)(algebra)是數(shù)學(xué)中最重要的分支之一。代數(shù)學(xué)的歷史悠久，它隨著人類生活的提高，生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，科學(xué)和數(shù)學(xué)本身的需要而產(chǎn)生和發(fā)展。在這個(gè)過(guò)程中，代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象和研究方法發(fā)生了重大的變化。代數(shù)學(xué)可分為初等代數(shù)學(xué)和抽象代數(shù)學(xué)兩部分。初等代數(shù)學(xué)是更古老的算術(shù)的推廣和發(fā)展，而抽象代數(shù)學(xué)則是在初等代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。第2頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三代數(shù)學(xué)的西文名稱algebra來(lái)源于9世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米的重要著作的名稱。該著作名為”ilmal-jabrwa’Imuqabalah”，原意是“還原與對(duì)消的科學(xué)”。這本書(shū)傳到歐洲后，簡(jiǎn)譯為algebra。清初曾傳入中國(guó)兩卷無(wú)作者的代數(shù)書(shū)，被譯為《阿爾熱巴拉新法》后改譯為《代數(shù)學(xué)》(李善蘭譯，1853)。第3頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三初等代數(shù)學(xué)是指19世紀(jì)上半葉以前的方程理論，主要研究某一方程（組）是否可解，怎樣求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各種性質(zhì)等。

代數(shù)與算術(shù)的區(qū)別是什么？第4頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三四大文明古國(guó)中，除古代希臘外，都曾對(duì)算術(shù)和代數(shù)的發(fā)展做出非常杰出的貢獻(xiàn)。從中世紀(jì)的歐洲一直到19世紀(jì)上半期，代數(shù)學(xué)在歐洲得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。19世紀(jì)，代數(shù)學(xué)發(fā)生了革命性的變革。第5頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三一系列新的代數(shù)領(lǐng)域被建立起來(lái)，大大地?cái)U(kuò)充了代數(shù)學(xué)的研究范圍，形成了所謂的近世代數(shù)學(xué)。包括抽象代數(shù)和線性代數(shù)。抽象代數(shù)學(xué)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的代數(shù)運(yùn)算的規(guī)律和由這些運(yùn)算適合的公理而定義的各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為其中心問(wèn)題的。第6頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三由于代數(shù)結(jié)構(gòu)及其中元素的一般性，近世代數(shù)學(xué)的研究在數(shù)學(xué)中是最具有基本性的，它的方法和結(jié)果滲透到那些與它相接近的各個(gè)不同的數(shù)學(xué)分支中，成為一些有著新面貌和新內(nèi)容的數(shù)學(xué)領(lǐng)域――代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、拓?fù)浯鷶?shù)、李氏代數(shù)、代數(shù)拓?fù)?、泛函分析等，這樣，近世代數(shù)學(xué)就對(duì)于全部現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展有著顯著的影響，并且對(duì)于其它一些科學(xué)領(lǐng)域如理論物理、計(jì)算機(jī)原理等也有較直接的應(yīng)用。第7頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

代數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史--------線性代數(shù)第8頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

線性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚?、與矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門(mén)學(xué)科。主要研究對(duì)象有行列式、線性方程組、矩陣、線性空間等。

主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見(jiàn)于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》）。1、學(xué)科概述第9頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三《九章算術(shù)》的“方程術(shù)”

《九章算術(shù)》中的“方程章”，是世界上最早的系統(tǒng)研究代數(shù)方程的專門(mén)論著。它在世界數(shù)學(xué)歷史上，最早創(chuàng)立了多元一次方程組的籌式表示方法，以及它的多種求解方法。

《九章算術(shù)》把這些線性方程組的解法稱為“方程術(shù)”，其實(shí)質(zhì)相當(dāng)于現(xiàn)今的矩陣變形方法。方程術(shù)是通過(guò)對(duì)方程的系數(shù)矩陣實(shí)施遍乘、直除的變換（即連續(xù)相減）實(shí)現(xiàn)減元、獲取方程解的過(guò)程。

1、學(xué)科概述第10頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

在“方程章”問(wèn)題的解法中還可以發(fā)現(xiàn)下述方程變形的性質(zhì)：

如果方程的兩邊都加上（或減去）同一數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方程兩邊同乘以（或除以）一個(gè)不等于零的數(shù)，那么所得的方程和原方程是同解方程。

劉徽：“程，課程也。群物總雜，各列有數(shù)，總言其實(shí)。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數(shù)程之，并列為行，故謂之方程?！薄?/p>

其中“課”為比較的意思，而“程”則為表達(dá)的意思。可見(jiàn)，按照“方程”的原義可以把它理解為“方形表達(dá)式”，與現(xiàn)在的“增廣矩陣”類似。1、學(xué)科概述第11頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占據(jù)首要地位；在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無(wú)不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分；隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)，線性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具。1、學(xué)科概述第12頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

歷史上線性代數(shù)的第一個(gè)問(wèn)題是關(guān)于解線性方程組的問(wèn)題，而線性方程組理論的發(fā)展又促成了作為工具的矩陣論和行列式理論的創(chuàng)立與發(fā)展，這些內(nèi)容已成為我們線性代數(shù)教材的主要部分。最初的線性方程組問(wèn)題大都是來(lái)源于生活實(shí)踐，正是實(shí)際問(wèn)題刺激了線性代數(shù)這一學(xué)科的誕生與發(fā)展。另外，近現(xiàn)代數(shù)學(xué)分析與幾何學(xué)等數(shù)學(xué)分支的要求也促使了線性代數(shù)的進(jìn)一步發(fā)展。1、學(xué)科概述第13頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解，它最早是一種速記的表達(dá)式，現(xiàn)在已經(jīng)是數(shù)學(xué)中一種非常有用的工具。行列式是由萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。1693年

4月，萊布尼茨在寫(xiě)給洛必達(dá)的一封信中使用并給出了行列式，并給出方程組的系數(shù)行列式為零的條件。同時(shí)代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題元法》中也提出了行列式的概念與算法。2、矩陣和行列式第14頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆

(G.Cramer,1704-1752)在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中，對(duì)行列式的定義和展開(kāi)法則給出了比較完整、明確的闡述，并給出了現(xiàn)在我們所稱的解線性方程組的克萊姆法則。稍后，數(shù)學(xué)家貝祖

(E.Bezout,1730-1783)將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化，利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線性方程組有非零解。2、矩陣和行列式第15頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三在行列式的發(fā)展史上，第一個(gè)對(duì)行列式理論做出連貫的邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人，是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙

(A-T.Vandermonde,1735-1796)。范德蒙自幼在父親的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)音樂(lè)，但對(duì)數(shù)學(xué)有濃厚的興趣，后來(lái)終于成為法蘭西科學(xué)院院士。特別地，他給出了用二階子式和它們的余子式來(lái)展開(kāi)行列式的法則。就對(duì)行列式本身這一點(diǎn)來(lái)說(shuō)，他是這門(mén)理論的奠基人。

1772年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，推廣了他的展開(kāi)行列式的方法。2、矩陣和行列式第16頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

繼范德蒙之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西在行列式理論方面做出了突出貢獻(xiàn)。

1815年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理。其中主要結(jié)果之一是行列式的乘法定理。另外，他第一個(gè)把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法；引進(jìn)了行列式特征方程的術(shù)語(yǔ)；給出了相似行列式概念；改進(jìn)了拉普拉斯的行列式展開(kāi)定理并給出了一個(gè)證明。2、矩陣和行列式第17頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

19世紀(jì)的半個(gè)多世紀(jì)中，詹姆士.西爾維斯特

(J.Sylvester,1814-1897)對(duì)行列式理論研究始終不渝。他的重要成就之一是改進(jìn)了從一個(gè)m次和一個(gè)n次的多項(xiàng)式中消去

x的方法，他稱之為配析法，并給出形成的行列式為零時(shí)這兩個(gè)多項(xiàng)式方程有公共根充分必要條件這一結(jié)果，但沒(méi)有給出證明。2、矩陣和行列式第18頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

西爾維斯特（JamesJosephSylvester，公元1814年9月3日─公元1897年3月15日）是英國(guó)數(shù)學(xué)家。生于倫敦，卒于牛津。西爾維斯特的貢獻(xiàn)主要在代數(shù)學(xué)方面。他同凱萊一起，發(fā)展了行列式理論，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量的理論基礎(chǔ)，他在數(shù)論方面也做出了突出的工作，特別是在整數(shù)分拆和丟番圖分析方面。他創(chuàng)造了許多數(shù)學(xué)名詞，當(dāng)代數(shù)學(xué)中常用到的術(shù)語(yǔ)，如不變式、判別式、雅可比行列式等都是他引入的。他一生發(fā)表了幾百篇論文，著有《橢圓函數(shù)專論》一書(shū)。西爾維斯特是《美國(guó)數(shù)學(xué)雜志》的創(chuàng)始人，為發(fā)展美國(guó)數(shù)學(xué)研究做出了貢獻(xiàn)。曾獲得英國(guó)皇家勛章、科普利獎(jiǎng)?wù)?，以及都柏林、?ài)丁堡、牛津、劍橋等大學(xué)授予的名譽(yù)學(xué)位。

2、矩陣和行列式第19頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

繼柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比

(J.Jacobi,1804-1851)，他引進(jìn)了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式”，指出函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。

雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。由于行列式在數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)、線性方程組理論、二次型理論等多方面的應(yīng)用，促使行列式理論自身在

19世紀(jì)也得到了很大發(fā)展。整個(gè)

19世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果。除了一般行列式的大量定理之外，還有許多有關(guān)特殊行列式的其他定理都相繼得到。2、矩陣和行列式第20頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三矩陣是代數(shù)學(xué)的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具?！熬仃嚒边@個(gè)詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的矩形陣列區(qū)別于行列式而發(fā)明了這個(gè)術(shù)語(yǔ)。而實(shí)際上，矩陣這個(gè)課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來(lái)，為了很多目的，不管行列式的值是否與問(wèn)題有關(guān)，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質(zhì)也是在行列式的發(fā)展中建立起來(lái)的。在邏輯上，矩陣的概念應(yīng)先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。2、矩陣和行列式第21頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

英國(guó)數(shù)學(xué)家凱萊

(A.Cayley,1821-1895)一般被公認(rèn)為是矩陣論的創(chuàng)立者，因?yàn)樗紫劝丫仃囎鳛橐粋€(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念提出來(lái)，并首先發(fā)表了關(guān)于這個(gè)題目的一系列文章。

凱萊同研究線性變換下的不變量相結(jié)合，首先引進(jìn)矩陣以簡(jiǎn)化記號(hào)。

1858年，他發(fā)表了關(guān)于這一課題的第一篇論文《矩陣論的研究報(bào)告》，系統(tǒng)地闡述了關(guān)于矩陣的理論。文中他定義了矩陣的相等、矩陣的運(yùn)算法則、矩陣的轉(zhuǎn)置以及矩陣的逆等一系列基本概念，指出了矩陣加法的可交換性與可結(jié)合性。另外，凱萊還給出了方陣的特征方程和特征根（特征值）以及有關(guān)矩陣的一些基本結(jié)果。2、矩陣和行列式第22頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三英國(guó)數(shù)學(xué)家。英國(guó)純粹數(shù)學(xué)的近代學(xué)派帶頭人。凱萊最主要的貢獻(xiàn)是與J.J.西爾維斯特一起，創(chuàng)立了代數(shù)型的理論，共同奠定了關(guān)于代數(shù)不變量理論的基礎(chǔ)。他是矩陣論的創(chuàng)立者。他對(duì)幾何學(xué)的統(tǒng)一研究也作了重要的貢獻(xiàn)。凱萊在勸說(shuō)劍橋大學(xué)接受女學(xué)生中起了很大的作用。他曾任劍橋哲學(xué)會(huì)、倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)、皇家天文學(xué)會(huì)的會(huì)長(zhǎng)。

2、矩陣和行列式凱萊（1821～1895）

Cayley，Arthur第23頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三1855年，埃米特

(C.Hermite,1822-1901)證明了別的數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一些矩陣類的特征根的特殊性質(zhì)，如現(xiàn)在稱為埃米特矩陣的特征根性質(zhì)等。后來(lái)，克萊伯施

(A.Clebsch,1831-1872)、布克海姆

(A.Buchheim)等證明了對(duì)稱矩陣的特征根性質(zhì)。泰伯

(H.Taber)引入矩陣的跡的概念并給出了一些有關(guān)的結(jié)論。2、矩陣和行列式第24頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三在矩陣論的發(fā)展史上，弗羅伯紐斯

(G.Frobenius,1849-1917)的貢獻(xiàn)是不可磨滅的。

他討論了最小多項(xiàng)式問(wèn)題，引進(jìn)了矩陣的秩、不變因子和初等因子、正交矩陣、矩陣的相似變換、合同矩陣等概念，以合乎邏輯的形式整理了不變因子和初等因子的理論，并討論了正交矩陣與合同矩陣的一些重要性質(zhì)。

1854年，約當(dāng)研究了矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)型的問(wèn)題。

1892年，梅茨勒

(H.Metzler)引進(jìn)了矩陣的超越函數(shù)概念并將其寫(xiě)成矩陣的冪級(jí)數(shù)的形式。傅立葉、西爾和龐加萊的著作中還討論了無(wú)限階矩陣問(wèn)題，這主要是適用方程發(fā)展的需要而開(kāi)始的。2、矩陣和行列式第25頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三矩陣本身所具有的性質(zhì)依賴于元素的性質(zhì)，矩陣由最初作為一種工具經(jīng)過(guò)兩個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，現(xiàn)在已成為獨(dú)立的一門(mén)數(shù)學(xué)分支——矩陣論。而矩陣論又可分為矩陣方程論、矩陣分解論和廣義逆矩陣論等矩陣的現(xiàn)代理論。矩陣及其理論現(xiàn)已廣泛地應(yīng)用于現(xiàn)代科技的各個(gè)領(lǐng)域。2、矩陣和行列式第26頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三線性方程組的解法，早在中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)

》方程章中已作了比較完整的論述。其中所述方法實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于現(xiàn)代的對(duì)方程組的增廣矩陣施行初等行變換從而消去未知量的方法，即高斯消元法。在西方，線性方程組的研究是在

17世紀(jì)后期由萊布尼茨開(kāi)創(chuàng)的。他曾研究含兩個(gè)未知量的三個(gè)線性方程組組成的方程組。麥克勞林在

18世紀(jì)上半葉研究了具有二、三、四個(gè)未知量的線性方程組，得到了現(xiàn)在稱為克萊姆法則的結(jié)果?？巳R姆不久也發(fā)表了這個(gè)法則。

18世紀(jì)下半葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家貝祖對(duì)線性方程組理論進(jìn)行了一系列研究，證明了n元齊次線性方程組有非零解的條件是系數(shù)行列式等于零。3、線性方程組第27頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

19世紀(jì)，英國(guó)數(shù)學(xué)家史密斯

(H.Smith)和道奇森

(C-L.Dodgson)繼續(xù)研究線性方程組理論，前者引進(jìn)了方程組的增廣矩陣和非增廣矩陣的概念，后者證明了個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的方程組相容的充要條件是系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相同。這正是現(xiàn)代方程組理論中的重要結(jié)果之一。

大量的科學(xué)技術(shù)問(wèn)題，最終往往歸結(jié)為解線性方程組。因此在線性方程組的數(shù)值解法得到發(fā)展的同時(shí)，線性方程組解的結(jié)構(gòu)等理論性工作也取得了令人滿意的進(jìn)展?，F(xiàn)在，線性方程組的數(shù)值解法在計(jì)算數(shù)學(xué)中占有重要地位。

3、線性方程組第28頁(yè)，講稿共31頁(yè)，2023年5月2日，星期三

二次型也稱為“二次形式”，數(shù)域