二次曲線動弦中點(diǎn)軌跡問題

關(guān)于二次曲線動弦中點(diǎn)軌跡問題第1頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三實(shí)系數(shù)方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根x1,x2(x1≠x2)則有△=b2-4ac>0曲線的參數(shù)方程

{x=f(k)y=g(k)消參F(x,y)=0abx1+x2=-cax1x2=第2頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三解法一:(點(diǎn)差法)

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)AB中點(diǎn)P(x,y)則有x12+y12=4x22+y22=4兩式相減得：

例1：直線y=x+b與圓x2+y2=4相交于不同兩點(diǎn)A、B,求弦ＡＢ中點(diǎn)

P的軌跡方程。（普通方程）x1-x2y1-y2k==y1+y2x1+x2-=xy-又k=1所以y=-x,又由直線與圓相交得22-<x<所以y=-x()為所求軌跡方程22-<x<第3頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三解法二：(參數(shù)法)

把直線y=x+b代入x2+y2=4得2x2+2bx+b2-4=0

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)AB中點(diǎn)P(x,y)由韋達(dá)定理有x1+x2=-by1+y2=x1+x2+2b=b△=32-4b2>022-2<b<2

2x1+x22b又x==-

2y1+y22by==消去b得：y=-x()22-<x<所以y=-x()22-<x<為所求軌跡方程。第4頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三解法三：

設(shè)弦中點(diǎn)為P(x,y),由題可得OP⊥AB，當(dāng)x≠0時

有KOP·KAB=-1,所以·1=-1即y=-x又x=0也適合,所以y=-x(-<x<)為所求軌跡方程。22yx解法四：(向量法)

設(shè)弦中點(diǎn)P(x,y),直線AB的方向向量為=(1,1)

又⊥即·=0所以x+y=0

即y=-x(-<x<)為所求軌跡方程。nopABopn22第5頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三●●●2yxy=x+b●●●y=-x第6頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三例2:過點(diǎn)M(-1,-1)作直線與圓x2+y2=4相交于不同兩點(diǎn)A、B,

求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程。x2+y2+x

+y=0??????????M（-1，-1）????yx2

第7頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三問題1:所求的兩個方程各表示什么軌跡？

3.y=2x2-3,拋物線型4.x2+2y2+x+2y=0,橢圓型問題3:比較上面四題結(jié)論的異同，請猜測哪些條件對結(jié)論起了決定性的作用？1.構(gòu)成動弦的直線形式2.二次曲線的形狀問題4:你能否從上面的問題中探索出規(guī)律性結(jié)論嗎？平行直線系所構(gòu)成的動弦中點(diǎn)軌跡為直線型，過定點(diǎn)的直線系所構(gòu)成的動弦中點(diǎn)軌跡與原二次曲線同型。

問題2:將例1、例2中的圓換為拋物線：

y=x2-2x+2或者橢圓x2+2y2=1,所求軌跡又如何？例1為直線的一部份，例2為圓。1.x=,直線型322.y=,直線型x2-第8頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三問題5：直線y=kx+m(k為常數(shù)）與曲線ax2+by2=1(ab≠0)相交于不同兩點(diǎn)A、B則弦AB中點(diǎn)軌跡是什么類型？問題6:過點(diǎn)M(a、b)(a、b為常數(shù))的直線與雙曲線x2-4y2=1相交于不同兩點(diǎn)A、B，求弦AB中點(diǎn)的軌跡方程？軌跡方程為x2-4y2-ax+4by=0軌跡方程為y=-,軌跡為直線型bkax第9頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三問題7：判斷問題6中所求的軌跡是什么曲線？問題8：根據(jù)問題6、問題7修正問題4中所探索的規(guī)律性結(jié)論，并給予證明(課外完成)。(x-)2-4(y-)2=

-b2a2b2a241)-b2=0即b=±時為兩直線a2a242)-b2≠0即b≠±時為雙曲線型a2a24第10頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三小結(jié)：二次曲線動弦中點(diǎn)軌跡的求法一個結(jié)論(特殊到一般，簡單到復(fù)雜，先猜后證)第11頁，講稿共13頁，2023年5月2日，星期三作業(yè)：已知橢圓x2+2y2=2,

(1)求被點(diǎn)P（,）平分的弦所在直線方程；

(2)求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡。

(3)過A(2,1)引橢圓的割線，求截得弦的中點(diǎn)軌跡。1212拋物線y=x2-2x+2與直線y=mx交于P1、P