北京市西城區(qū)北師大版2022學年高二數(shù)學下學期期末考試試題文科含答案

北京市西城區(qū)(北區(qū))2022—2022學年下學期高二期末考試

數(shù)學試卷(文科)

試卷滿分：150分考試時間：120分鐘

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.已知全集。={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={3,4},那么集合

(W*)等于

A.{2}B,{2,5}C.{3}D.{1,3,4}

2.i是虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足z(2—i)=7—i,則z等于

A.1+3zB.1—3zC.3—iD.34-z

3.函數(shù)/(x)=，的圖象在點(2,/(2))處的切線方程是

X

A.x-4y=0B.x-4y-2=0

C.x-2y-\=0D.x+4y-4=0

4.設a,b,CGR,則“ac2Vbe2”是“a<b”的

A.充分但不必要條件B.必要但不充分條件

C.充要條件D.既不是充分條件也不是必要條件

5.設函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+2的導函數(shù)為:(x),如果/'(x)為偶函數(shù)，則一定有

A.aw0,c=0B.a=0,cw0

C.b=0D.b=O,c=O

6.對于xeR,函數(shù)/(x)滿足/(l—x)=/(l+x),/(x+2)=/(x),若當xe(O,1］時,

/(x)=x+l,則等于

A-IB-1CID-1

7.如果數(shù)列｛??X?neR)對任意m,〃eN*滿足am+n=4,q,且4=8,那么a10等

于

A.1024B.512C.510D.256

8.已知函數(shù)若同時滿足條件：

①％w(0,+oo),尤。為f(x)的一個極大值點;

②Vxe(8,+00),/(%)>0,

則實數(shù)。的取值范圍是

A.(4,8]B.[8,+oo)

C.(-00,o)u[8,+oo)D.(-00,o)u(4,8]

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。

9.已知命題p:Vx￡[l,+oo）,lnx>0,那么命題一jp為.

n,〃為奇數(shù)

10.數(shù)列此｝滿足a,1+1則a=

2??+1,〃為偶數(shù)2

11.設a=302,b=0.32,c=log,0.3,則實數(shù)a,b,c的大小關系是。

12.設數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且對于任意〃eN*,都有S”=2"+〃-1成立，則

Q

n--------------------------------------------0

13.已知函數(shù),=一^的圖象在％=0和x=g處的切線互相平行，則實數(shù)

x+a

ci=o

14.設函數(shù)力（x）=x"+x—1,其中〃eN*,且〃22,給出下列三個結論：

①函數(shù)4）在區(qū)間弓，1）內(nèi)不存在零點；

②函數(shù)人（犬）在區(qū)間（g，1）內(nèi)存在唯一零點；

③V〃eN*,且〃24,函數(shù)￡,（x）在區(qū)間（g,1］內(nèi)存在零點。

其中所有正確結論的序號為o

三、解答題：本大題共6小題，共80分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題滿分13分）

設a>0,集合A=｛x||x區(qū)a｝,8=卜|/一2x-3<（）｝,

（I）當a=2時，求集合AD3；

（II）若求實數(shù)a的取值范圍。

16.（本小題滿分13分）

設等差數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，且%=2,$4=10,數(shù)列仇｝滿足%=log2）“，

其中nwN*。

（I）求數(shù)列｛%｝的通項公式；

（II）求數(shù)列儲也｝的前〃項和T?。

17.（本小題滿分13分）

已知函數(shù)/（x）=ax+J,其中aeE。

X-

（I）求證：函數(shù)/（X）為奇函數(shù)；

（II）若a=3,求函數(shù)/（X）的極值。

18.（本小題滿分13分）

某漁業(yè)公司今年初用100萬元購進一艘漁船用于捕撈，已知第一年需各種費用4萬元,

從第二年開始包括維修費在內(nèi)，每年所需費用均比上一年增加2萬元。

（1）寫出該漁船前四年每年所需的費用（不含購買費用）；

（II）假設該漁船在其年平均花費額（含購買費用）最低的時候報廢，試求此漁船的使

用年限？

19.（本小題滿分14分）

2丫1

設函數(shù)/（%）=*-,且4=上，/用=/（%），其中〃=1,2,3,…。

x+12

（I）計算。2，a3的值;

(in設a=匕2，求證：數(shù)列h｝為等比數(shù)列；

(III)求證：—<a<1o

2n'

20.(本小題滿分14分)

己知函數(shù)=-/(2)x,g(x)=Inx—gx?。

(I)求函數(shù)/(x)的解析式；

(II)若對于任意無￡(0,+00),都有/(x)+g(x)<a成立，求實數(shù)a的取值范圍;

(III)設玉，x2,%,a2>0,且q+/=1，求證：

n

qIn$+a21x2K爪。/]+?2x2)。

【試題答案】

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。

1.B2.D3.D4.A5.C6.B7.A

8.A

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分

9.3xG[1,+oo）,lnx<010.1,311.a>b>c

12.2,,_|+113.-114.②③

注：第10題第一個空2分，第二個空3分；第14題少選得2分，多選和錯選均不得分。

三、解答題：本大題共6小題，共80分。（如有其他方法，仿此給分）

15.（本小題滿分13分）

（I）解：因為集合A={x||x|42}={x[—2<x<2},（2分）

集合3=1x|x2-2x-3<（）}={x|-1<x<3）,（4分）

所以Au3={x|-2<xv3}。（7分）

（II）解：集合A={x||尤區(qū)a}二{x[a}（a>0）,（9分）

因為

所以4（u分）

a<3

解得〃<1。

所以（13分）

16.（本小題滿分13分）

（I）解：設等差數(shù)列{/}的公差為d,

由%=2,得％+4=2,①（2分）

4x3

由§4=10,得4囚+—-xj=io,②（4分）

2

根據(jù)①，②解方程，得勾=Ld=l,（5分）

所以a“=q=〃。（6分）

（H）解：由（I）,得a“=〃=log2d，

所以2=2"。（8分）

所以'="向+a,A+,,,+ci?bn=2+2x2-+3x2，+…+〃x2",①

則27；=22+2x23+3x2,+???+（〃-I）x2"+"x2"i,②

由①一②，得一，=2+22+23+-+2"—〃X2"+I,（11分）

所以7；=（〃-1）X2"M+2,

所以數(shù)列儲也｝的前“項和7；=（〃一1卜2向+2。（13分）

17.（本小題滿分13分）

⑴解：函數(shù)/（句=。無+二的定義域為｛x|xeR且xwO｝。（1分）

X

因為/（-X）=-ax--y=-/（x）,

X

所以函數(shù)/（x）=ax+4為奇函數(shù)，（5分）

X

（II）解：因為/（X）=3X+4，

X

所以r（尤）=3—3=加0。（8分）

XX

令尸（x）=O,解得x=±L（9分）

當x變化時，/（x）與/'（X）的變化情況如下表:

X(一8,—1)-1(-1,0)(0,1)1(1,+8)

;⑴+0——0+

/(x)/極大值極小值/

（11分）

所以當尤=—1時，/（X）有極大值/（-1）=-4,當％=1時，=（x）有極小值/（1）=4。

（13分）

18.（本小題滿分13分）

（I）解：設第〃年所需費用為%（單位萬元）,

則q=4,a2=6,a3—8,<24=10,（2分）

（II）解：設該漁船使用了〃（〃eN*）年，其總花費為y萬元,

則。=100+〃>4+,（7%2=/2+3〃+100,（5分）

所以該漁船的年平均花費額為W=2=〃+U2+3,（8分）

nn

inn

因為w=〃+一+3>2+3=23

n

所以當〃=即n=10時，年平均花費額W取得最小值23。（12分）

n

答：此漁船的使用年限為10年。（13分）

19.（本小題滿分14分）

2〃

（I）解：由題意，得a〃+]=...—,（1分）

4,+1

因為4]=—,

12

24

所以。2=]，%=一,（3分）

35

2a

（II）證明：因為a“+ili

%+1

1%+i1___]%+1_]

所以組L=%+i=—=-3^1——=1。

b“"a’,1-a”1-42

anana?

所以數(shù)列｛〃,｝是首項A=匕"=1，公比為L的等比數(shù)列，（7分）

2

（III）由（II）,得勾—~=，（8分）

2n~'

所以凡。（9分）

2'-'+1

2，i12x2"T—2"T—12"~'

因為a“,,'

22”T+122（2'+-2"+2

且當〃eN*時，2,,_|-1>0,2"+2>0,

所以凡一，20,即（12分）

"22

所以<1O

綜上，對于任意〃eN*,都有(14分)

2

20.(本小題滿分14分)

(I)解：因為/(x)=gx2—r⑵龍，

所以r(x)=x—/⑵。(2分)

令x=2,得r⑵=1,

所以/(x)=gx?-X。(4分)

(II)解：設F"(x)=/(x)+g(x)=lnx-x,

則尸(x)=L—1,(5分)

X

令F'(x)=O,解得x=l。(6分)

當x變化時，F(xiàn)(x)與尸'(x)的變化情況如下表：

x(0,1)1(1,+oo)

/'(X)+0-

/(x)/極大值\

所以當x=l時，F(xiàn)(x)max=F(l)=-E(9分)

因為對于任意xe(0,+oo),都有/(x)+g(x)<a成立，

所以a?-l