2021-2022學年北京六十六中高二（下）期中數(shù)學試卷（線上） 解析版

2021-2022學年北京六十六中高二（下）期中數(shù)學試卷（線上）參考答案與試題解析一、選擇題（每小題4分，共32分）1．（4分）數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝an+2（n∈N*），那么a8的值是（）A．﹣14 B．15 C．﹣15 D．17【分析】由題意得出an+1﹣an＝2，從而判斷數(shù)列是以等差為2，首項為1的等差數(shù)列，進而求出通項公式，從而求解．【解答】解：∵數(shù)列{an}中，a1＝1，an+1＝an+2，∴an+1﹣an＝2，∴數(shù)列是以等差為2，首項為1的等差數(shù)列∴an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1∴a8＝2×8﹣1＝15，故選：B．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式，由an+1﹣an＝2，判斷數(shù)列是以等差為2，首項為1的等差數(shù)列，是解題的關鍵．屬于基礎題．2．（4分）將一枚均勻硬幣隨機擲4次，恰好出現(xiàn)3次正面向上的概率為（）A． B． C． D．【分析】利用n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次概率計算公式能求出恰好出現(xiàn)3次正面向上的概率．【解答】解：將一枚均勻硬幣隨機擲4次，由n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次概率計算公式得：恰好出現(xiàn)3次正面向上的概率為P＝＝．故選：A．【點評】本題考查概率的求法，考查n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．3．（4分）從1，2，3，4，5中不放回地抽取2個數(shù)，則在第1次抽到奇數(shù)的條件下，第2次抽到偶數(shù)的概率是（）A． B． C． D．【分析】利用條件概率計算公式求解即可．【解答】解：設事件A為第1次抽到奇數(shù)，事件B為第2次抽到偶數(shù)，則P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴P（B|A）＝＝×＝．故選：B．【點評】本題考查條件概率計算公式，是基礎題．4．（4分）在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a4＝．若am＝2﹣11，則m＝（）A．17 B．16 C．14 D．13【分析】由等比數(shù)列的通項公式結(jié)合已知可求得公比q，從而可求得m的值．【解答】解：設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為a1＝2，a4＝，所以2q3＝，解得q＝，又am＝2﹣11，所以2×（）m﹣1＝2﹣11，可得m＝13．故選：D．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式，考查運算求解能力，屬于基礎題．5．（4分）已知函數(shù)f（x）＝ln（），則f′（x）＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)導數(shù)的公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵f（x）＝ln（），∴f′（x）＝?＝，故選：D．【點評】本題主要考查導數(shù)的基本運算，比較基礎．6．（4分）在中國農(nóng)歷中，一年有24個節(jié)氣，“立春”居首．北京2022年冬奧會開幕正逢立春，開幕式上“二十四節(jié)氣”的倒計時讓全世界領略了中華智慧．墩墩同學要從24個節(jié)氣中隨機選取2個介紹給外國的朋友，則這2個節(jié)氣中含有“立春”的概率為（）A． B． C． D．【分析】基本事件總數(shù)n＝＝276，這2個節(jié)氣中含有“立春”包含的基本事件個數(shù)m＝＝23，由此能求出這2個節(jié)氣中含有“立春”的概率．【解答】解：墩墩同學要從24個節(jié)氣中隨機選取2個介紹給外國的朋友，基本事件總數(shù)n＝＝276，這2個節(jié)氣中含有“立春”包含的基本事件個數(shù)m＝＝23，則這2個節(jié)氣中含有“立春”的概率為P＝＝＝．故選：B．【點評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．7．（4分）函數(shù)f（x）＝x+2cosx在[0，π]上的極小值點為（）A．0 B． C． D．π【分析】可利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性求極值點．【解答】解：f′（x）＝﹣2sinx＝0，解得x＝或，故y＝x+2cosx在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在是增函數(shù)．∴是函數(shù)的極小值點，故選：C．【點評】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點，考查學生的運算能力，屬于中檔題．8．（4分）已知函數(shù)f（x）＝ax3+bx2+cx+d，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)f（x）的圖象只可能是（）A． B． C． D．【分析】關鍵導函數(shù)圖象的位置以及形狀對原函數(shù)進行分析解答．【解答】解：由題意，導函數(shù)圖象為無零點的開口向上的二次函數(shù)圖象，并且最低點為（1，1），所以原函數(shù)在x＝1出的導數(shù)為1，由此排除選項A，B；再由導函數(shù)的定義域為R，而排除選項C；故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)圖象以及導函數(shù)圖象與原函數(shù)的關系；屬于中檔題．二、填空題（每小題4分，共16分）9．（4分）函數(shù)f（x）＝x3的圖象在點（﹣1，f（﹣1））處切線的方程是3x﹣y+2＝0．【分析】先求出f（x）的導數(shù)，求出x＝﹣1處的導數(shù)，利用點斜式求出切線方程．【解答】解：由已知得：f′（x）＝3x2，∴f′（﹣1）＝3，f（﹣1）＝﹣1．∴切線方程為：y+1＝3（x+1），即3x﹣y+2＝0．故答案為：3x﹣y+2＝0．【點評】本題考查導數(shù)的幾何意義，切線方程的求法．屬于基礎題．10．（4分）公比為2的等比數(shù)列{an}中，若a1+a2＝3，則a4+a5的值為24．【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可．【解答】解：因為等比數(shù)列{an}的公比q＝2，a1+a2＝3，則a4+a5＝a1q3+a2q3＝（a1+a2）q3＝3×23＝24．故答案為：24．【點評】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題．11．（4分）數(shù)列{an}滿足an+1＝，則a2＝3，a3＝7．【分析】直接利用數(shù)列的遞推關系式寫出結(jié)果即可．【解答】解：數(shù)列{an}滿足an+1＝，則a2＝3×1＝3，a3＝2×3+1＝7．故答案為：3；7．【點評】本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，數(shù)列項的求法，是基礎題．12．（4分）已知函數(shù)f（x）＝，給出下列結(jié)論：①（1，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；②函數(shù)y＝f（x）有極大值點是1；③當k∈（e，+∞）時，直線y＝k與y＝f（x）的圖象有兩個不同交點．其中正確的序號是①③．【分析】利用導數(shù)研究f（x）的圖象，再數(shù)形結(jié)合即可求解．【解答】解：∵f（x）＝，（x≠0），∴，（x≠0），∴當x∈（﹣∞，0）∪（0，1）時，f′（x）＜0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，∴f（x）在（﹣∞，0），（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴①正確；∴函數(shù)y＝f（x）有極小值點是1，無極大值點，∴②錯誤；又當x＞0時，x→0，f（x）→+∞；x→+∞，f（x）→+∞，且極小值為f（1）＝e，當x＜0時，x→0，f（x）→﹣∞；x→﹣∞，f（x）→0，∴結(jié)合f（x）的圖象得：當k∈（e，+∞）時，直線y＝k與y＝f（x）的圖象有兩個不同交點，∴③正確，故答案為：①③．【點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值，數(shù)形結(jié)合思想，屬基礎題．三、解答題（共4小題，共52分）13．（13分）已知等差數(shù)列{an}的前n項為Sn，a4﹣a1＝6，S4＝﹣20．（Ⅰ）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若Sk＝﹣18，求k的值．【分析】（Ⅰ）由等差數(shù)列的通項公式可求得公差d，由前n項和公式求得首項a1，從而可求出{an}的通項公式；（Ⅱ）由等差數(shù)列的通項公式可得關于k的方程，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a4﹣a1＝6，所以d＝＝＝2，又S4＝﹣20，所以4a1+×2＝﹣20，解得a1＝﹣8，所以an＝a1+（n﹣1）d＝﹣8+2（n﹣1）＝2n﹣10．（Ⅱ）若Sk＝﹣18，則﹣8k+×2＝﹣18，即k2﹣9k+18＝0，解得k＝3或k＝6．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，考查運算求解能力，屬于基礎題．14．（13分）已知函數(shù)f（x）＝x3+2x2﹣5x﹣1．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最值．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導數(shù)的方程，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）在閉區(qū)間的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝x2+4x﹣5＝（x﹣1）（x+5），令f′（x）＝0，得x＝﹣5或x＝1，當x變化時，f′（x），f（x）在區(qū)間R上的變化狀態(tài)如下：x（﹣∞，﹣5）﹣5（﹣5，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗極大↘極小↗所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣5），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣5，1）；（Ⅱ）因為f（﹣2）＝，f（2）＝﹣，f（1）＝，再結(jié)合f（x）的單調(diào)性可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間[﹣2，2]上的最小值為﹣．最大值為：．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．15．（13分）為培養(yǎng)學生的閱讀習慣，某校開展了為期一年的“弘揚傳統(tǒng)文化，閱讀經(jīng)典名著”活動．活動后，為了解閱讀情況，學校統(tǒng)計了甲、乙兩組各10名學生的閱讀量（單位：本），統(tǒng)計結(jié)果用莖葉圖記錄如下，乙組記錄中有一個數(shù)據(jù)模糊，無法確認，在圖中以a表示．（Ⅰ）若甲組閱讀量的平均值大于乙組閱讀量的平均值，求圖中a的所有可能取值；（Ⅱ）將甲、乙兩組中閱讀量超過15本的學生稱為“閱讀達人”．設a＝3，現(xiàn)從所有“閱讀達人”里任取3人，求其中乙組的人數(shù)X的分布列和數(shù)學期望．（Ⅲ）記甲組閱讀量的方差為s02．在甲組中增加一名學生A得到新的甲組，若A的閱讀量為10，則記新甲組閱讀量的方差為s12；若A的閱讀量為20，則記新甲組閱讀量的方差為s22，試比較s02，s12，s22的大?。ńY(jié)論不要求證明）【分析】（Ⅰ）由莖葉圖分別求出甲組10名學生閱讀量的平均值和乙組10名學生閱讀量的平均值，由此能求出圖中a的取值．（Ⅱ）由圖可知，甲組“閱讀達人”有2人，乙組“閱讀達人”有3人．隨機變量X的所有可能取值為：1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．（Ⅲ）．【解答】（本小題滿分13分）解：（Ⅰ）甲組10名學生閱讀量的平均值為，乙組10名學生閱讀量的平均值為．………………（2分）由題意，得，即a＜2．………………（3分）故圖中a的取值為0或1．………………（4分）（Ⅱ）由圖可知，甲組“閱讀達人”有2人，乙組“閱讀達人”有3人．由題意，隨機變量X的所有可能取值為：1，2，3．………………（5分）且，，．……（8分）所以隨機變量X的分布列為：X123P………………（9分）所以．………………（10分）（Ⅲ）．………………（13分）【點評】本題考查實數(shù)值的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望、方差等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．16．（13分）已知函數(shù)f（x）＝x﹣（a+1）lnx﹣，其中a∈R．（Ⅰ）求證：當a＝1時，函數(shù)y＝f（x）沒有極值點；（Ⅱ）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)減區(qū)間．【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導函數(shù)的符號，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，證明結(jié)論即可；（II）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可．【解答】（I）證明：函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞）．當a＝1時，，函數(shù)，所以函數(shù)f（x）在定義域（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當a＝1時，函數(shù)y＝f（x）沒有極值點；（II）＝，x∈（0，+∞）令f′（x）＝0，得x1＝1，x2＝a，①a?0時，由f′（x）＜0可得x＜1，所以函數(shù)f（x）的減區(qū)間是（0，1）；②當0＜a＜1時，由f′（x）＜0，可得a＜x＜1，所以函數(shù)f（x）的