曲阜師范大學數(shù)學-《實變函數(shù)》復習資料

《實變函數(shù)》復習資料1一單選題1.設是[a,b]上絕對連續(xù)函數(shù)，則下面不成立的是（）A.在[a,b]上的一致連續(xù)函數(shù)B.在[a,b]上處處可導C.在[a,b]上L可積D.是有界變差函數(shù)2.設是E上的a.e.有限的可測函數(shù)列,則下面不成立的是（）A.若,則B.是可測函數(shù)C.是可測函數(shù)D.若,則可測．3.若是可測函數(shù)，則下列斷言（）是正確的（）A.B.C.D.4.下列斷言中()是錯誤的（）A.零測集是可測集B.可數(shù)個零測集的并是零測集C.任意個零測集的并是零測集D.零測集的任意子集是可測集5.設是[a,b]上有界變差函數(shù)，則下面不成立的是（）A.在[a,b]上有界B.在[a,b]上幾乎處處存在導數(shù)；C.在[a,b]上L可積；D.二填空題6.設，則________________________（）7.設若________________________,則稱是E的聚點.（）8.設P為Cantor集，則mP=_________________（）9.設是E上幾乎處處有限的可測函數(shù)列,是E上幾乎處處有限的可測函數(shù),若,有________________________,則稱在E上依測度收斂于.（）10.設E使閉區(qū)間[a,b]中的全體無理數(shù)集,則________________________（）三、名詞解釋1.Jordan分解定理2.伯恩斯坦定理3.Levi定理4.Fatou引理四、計算題1.2.答案一、單選題1-5BAACD5-10二、填空題123045b-a三、名詞解釋1.Jordan分解定理:在上的任一有界變差函數(shù)都可表示為兩個增函數(shù)之差.2.伯恩斯坦定理：設A，B是兩個非空集合.如果A對等于B的一個子集，又B對等于A的一個子集，那么A對等于B.3.Levi定理：設是可測集E上的一列非負可測函數(shù)，且對任意,,令則4.Fatou引理：設是可測集E上一列非負可測函數(shù),則四、計算題1.2.《實變函數(shù)》復習資料2一、計算題1、設，其中為Cantor集，計算．2、求極限．二、證明題1、設是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)是閉集．2、設在上,而成立,,則有．3、設是上有限的函數(shù)，若對任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測函數(shù)．(魯津定理的逆定理)4、在有限閉區(qū)間上的單調(diào)有限函數(shù)是有界變差函數(shù)．

答案一、計算題1、設，其中為Cantor集，計算。解.設，因，則在上，2、求極限解：設，則易知當時，又因，()，所以當時，從而使得但是不等式右邊的函數(shù)，在上是可積的，故有二、證明題1、設是上的實值連續(xù)函數(shù)，則對于任意常數(shù)是閉集。證明：..2、設在上,而成立,,則有證明:記,由題意知由知對任意,由于，從而有:又因為在上,故所以于是:故在上有3、設是上有限的函數(shù)，若對任意，存在閉子集，使在上連續(xù)，且，證明：是上的可測函數(shù)。(魯津定理的逆定理)證明：存在閉集在連續(xù)令，則在連續(xù)又對任意,.故在連續(xù).又所以是上的可測函數(shù)，從而是上的可測函數(shù).4、在有限閉區(qū)間上的單調(diào)有限函數(shù)是有界變差函數(shù)．證明.在上任取一組分點，從而對任何，有所以故有界變差.

《實變函數(shù)》復習資料3一、填空題設,,則.,因為存在兩個集合之間的一一映射為.設是中函數(shù)的圖形上的點所組成的集合，則，.若集合滿足,則為集.若是直線上開集的一個構成區(qū)間,則滿足:,.設使閉區(qū)間中的全體無理數(shù)集,則.若,則說在上.設,,若,則稱是的聚點.設是上幾乎處處有限的可測函數(shù)列,是上幾乎處處有限的可測函數(shù),若,有,則稱在上依測度收斂于.設,,則的子列,使得.二、證明題1.證明：。2.設是空間中以有理點(即坐標都是有理數(shù))為中心,有理數(shù)為半徑的球的全體,證明為可數(shù)集.3.設,且為可測集,.根據(jù)題意,若有,證明是可測集.三、計算題1.設是集，.求.2.設函數(shù)在集中點上取值為,而在的余集中長為的構成區(qū)間上取值為,,求.

答案一、填空題.;.閉集..幾乎處處收斂于或收斂于.對有.于.二、證明題1.證明如下:中任何一個元素可以由球心,半徑為唯一確定,,,跑遍所有的正有理數(shù),跑遍所有的有理數(shù).因為有理數(shù)集于正有理數(shù)集為可數(shù)集都是可數(shù)集,故為可數(shù)集.令,則且為可測集,于是對于,都有，故,令,得到,故可測.從