初中數(shù)學(xué)三角形模塊5-3直角三角形講義（含答案解析）

第三部分直角三角形

一、知識梳理：

1.直角三角形的性質(zhì)：

(1)直角三角形兩個(gè)銳角互余；

(2)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

(3)直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半；

(4)勾股定理：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即如果設(shè)直角三角

形的兩條直角邊長度分別是。和b,斜邊長度是c,那么可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)：a2+b2=c2

(5)勾股數(shù)：勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù).

2.直角三角形的判定：

(1)有一個(gè)角是90°的三角形是直角三角形；

(2)有兩個(gè)角的三角形是直角三角形：

(3)如果三角形一邊的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形；

(4)勾股定理逆定理：如果三角形的三條邊長a,b,c滿足關(guān)系式：a2+b2^c2,那么

這個(gè)三角形是直角三角形.

二、題型練

題型一直角三角形的兩銳角互余

例1.若直角三角形的一個(gè)銳角為15。，則另一個(gè)銳角等于.

75°

【分析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

【詳解】

解：???另一個(gè)銳角為15°,

???另一個(gè)銳角為180°-90°-15°=75°,

故答案為：75°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形兩銳角互余.

變式1

1.如圖，直線a〃b,直線/與a、6分別相交于/、8兩點(diǎn)，過點(diǎn)4作直線/的垂

線交直線6于點(diǎn)C,若Nl=60。，則N2的度數(shù)為（）

A.30°8.35°C.40°P.60°

【答案】A

【解析】

【分析】由及Nl=60。，可求得N4C8的度數(shù)，再由a〃b即可求出N2的度數(shù).

【詳解】VACVI,Z1=60°

Z.NNC6=90°—Nl=30°

,/allb

...Z2=NACB=30°

故選：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).

題型二直角三角形斜邊上的中線

例2.如圖在A48c中，CFL4B于F,BE上AC于E，用為的中點(diǎn)，EF=5,

△EFM的周長為13,則3c的長是（）

B

【解析】

【分析】

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出8c=2MF=2EM,所以然

后列式整理得到的周長=8C+EF代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】

解：：在△48C中，CF_LN8于F,8EJL/C于E,M為8c的中點(diǎn),

:.BC=2MF,BC=2EM.

:.MF=EM.

，4EFM的周長=EM+EF=BC+EF.

；EF=5,的周長為13,

.?.8C=13—5=8

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2

2.如圖，在AABC中，點(diǎn)D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段DE上的

一點(diǎn)連接AF,BF,ZAFB=90°,且AB=8,BC=14,則EF的長是)

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF=4,根據(jù)BC=14,由三角形中位線定理得

到DE=7,解答即可.

【詳解】解：NAFB=90。，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，

ADF=-AB=4,

2

VBC=14,D、E分別是AB,AC的中點(diǎn),

.,.DE=-BC=7,

2

.*.EF=DE-DF=3,

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)和中位線性質(zhì)，掌握定理是解題的關(guān)鍵.

題型三直接考查勾股定理

例3.已知直角三角形的兩邊長分別為3和4,則斜邊長為()

44B.5C.4或5D5或夕

C

【分析】

由于此題中直角三角形的斜邊不能確定，故應(yīng)分4是直角三角形的斜邊長和直角邊長兩種情

況討論.

【詳解】

解：：直角三角形的兩邊長分別為3和4,

①4是此直角三角形的斜邊長；

②當(dāng)4是此直角三角形的直角邊長時(shí)，斜邊長為爐不=5.

綜上所述，斜邊長為4或5

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于

斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵.

變式3

3.如圖，在三角形力8c中，ZACB=90°,AC=3,BC=4,以點(diǎn)/為圓心，ZC長為

半徑畫弧，交AB于點(diǎn)、D,則8。=()

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用勾股定理可以算出的長，再根據(jù)題意可得到根據(jù)

BD=AB-AD即可算出答案.

【詳解】解：'：AC=3,BC=4,

：.AB=y]AC2+BC2=5-

?.?以點(diǎn)Z為圓心，/C長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)、D,

：.AD=AC,

：.AD=3,

：.BD=AB-AD=5-3=2.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：在任何一個(gè)直角三

角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方.

題型四勾股數(shù)

例4,下列數(shù)組是勾股數(shù)的是（）

42、3、480.3、0.4、0.5C.6、8、10D7、12、15

C

【分析】

根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足/+°2=/的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)逐一判斷即可.

【詳解】

A.22+32=13^42.此數(shù)組不是勾股數(shù)；

B.0.3、0.4、0.5不是整數(shù)，此數(shù)組不是勾股數(shù)；

C.62+82=102.此數(shù)組是勾股數(shù)：

D.72+12?=193*152,此數(shù)組不是勾股數(shù)；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股數(shù)的知識,解答此題要用到勾股數(shù)的定義,及勾股定理的逆定理：已知△NBC

的三邊滿足/+尸=°2,則△N8C是直角三角形.

變式4

4.如圖，這是一株美麗的勾股樹，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直

角三角形，若正方形/、B、C、。的邊長是3、5、2、3,則最大正方形E的邊長是

()

A.13B.V47C.47D.V13

【答案】8

【解析】

【分析】設(shè)中間兩個(gè)正方形的邊長分別為x、y,最大正方形E的邊長為z,根據(jù)勾

股定理進(jìn)行求解.

【詳解】設(shè)中間兩個(gè)正方形的邊長分別為x、外最大正方形E的邊長為z,由勾股

定理得：

/=32+52=34,

y2=22+32=13,

z2=x2+y2=47,

即最大正方形E的面積為：Z2=47,邊長為z=標(biāo)，

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，掌握以直角三角形斜邊為邊長的正方形的面積等于兩

個(gè)以直角邊為邊長的正方形面積之和是解題的關(guān)鍵.

題型五勾股定理的證明

例5.勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，

則弦五”的記載，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理創(chuàng)制的“趙爽弦圖”也流傳至今.迄今為

止己有400多種證明勾股定理的方法.下面是數(shù)學(xué)課上創(chuàng)新小組驗(yàn)證過程的一部分.請認(rèn)

真閱讀并根據(jù)他們的思路將后續(xù)的過程補(bǔ)充完整:將兩張全等的直角三角形紙片按圖所示擺

222

放，其中6〉。，點(diǎn)E在線段ZC上，點(diǎn)5、。在邊ZC兩側(cè)，試證明：a+b=c

A

見解析.

【分析】

首先連結(jié)8。，作。尸_LHC延長線于尸，則-a,根據(jù)RtDABC@RtDDAE,易證

=

/DAB=90，再根據(jù)S四邊形的8SDADE+^DABC+S四邊形,CE，S四邊形片。匹臺(tái)=SADB+S\DFB'

兩者相等，整理即可得證.

【詳解】

證明：連結(jié)作。尸J_5C延長線于/，則ZE=6?。

+

S四邊形4DFB=SQADE+$D,48cS四邊形°“感

=ab+b2—ab

=b2

Rt\ABC=RtADAE

\AB=AD-c

??.ZADE=ABAC

Q?ADE?DAE90°

\?BAC?DAE90

即NDAB=90°，

，AD1AB

四邊形/￡>/*

S=S1ylz58+SgFB

=；/+；(a+6>(b-a)

1

即有：b2=-c2+-b2--a2

222

a2+b2=c2

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的證明，用兩種方法表示出四邊形ZOF8的面積是解本題的關(guān)鍵.

變式5

5.勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之

一.中國古代最早對勾股定理進(jìn)行證明的是三國時(shí)期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽，趙爽創(chuàng)制

了如圖1所示的“勾股圓方圖”，在該圖中，以弦。為邊長所得到的正方形N8C。是

由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的小正方形EFGH組成的，其中8/=a,

AF=b.

(2)在圖1中，若大正方形的面積是13,BF=2,求小正方形EEG”的面

積；

(3)圖2是由“勾股圓方圖”變化得到的，正方形MNK7由八個(gè)全等的直角三角

形和正方形EFG"拼接而成，記圖中正方形MNKT,正方形力BCD,正方形EFGH

的面積分別為5，5，S3.若E+S2+S3=48,求邊的長度.

【答案】(1)證明見解析；(2)1；(3)4

【解析】

【分析】(1)根據(jù)大正方形的面積=4個(gè)全等直角三角形的面積+小正方形的面積證

明可得結(jié)論；

(2)由勾股定理可得AF的長，從而可得小正方形的邊長，進(jìn)一步可求出小正方形

的面積；

(3)分別求出正方形A/NKT,正方形4BCD,正方形EEG”的邊長，求出其面積,

代入5,+S2+53=48,進(jìn)一步整理可得解.

【詳解】解：(1),?RtMBF三Rt\DAE占Rt\CDH3Rt\BCG

:.BF=AF=DH=CG=a,AF=DE=CH=BG=b

:.小正方形EFGH的邊長=b-a

又大正方形的邊長為c

二正方形438的面積為c2,4個(gè)全等直角三角形的面積和為2",正方形MG"

的面積為,

由“大正方形的面積=4個(gè)全等直角三角形的面積+小正方形的面積”得；

c2-4x^ab+(b-a)2

c2=2ab+(b-

經(jīng)過整理可得,2=/+/

(2)?.?大正方形N8C。的面積是13,

c?=13

,:BF=2,KBF2+AF2^AB2

：.AF2=AB2-BE2=\3-4=9

...AF=3(負(fù)值舍去)

EF=3-2=\

.?.小正方形EFGH的面積為1；

(3)?.?正方形MNKT由八個(gè)全等的直角三角形和正方形EFGH拼接而成，

/.AM=AF=b,MB=BF=a,

.?.正方形腸VKT的邊長為a+b,

正方形MNKT的面積為(a+bp.

而正方形48CD的邊長為c,正方形EFGH的邊長為僅-,

???正方形ABCD的面積為c2,正方形EFGH的面積為(b-a)2,

(a+by+c~+(b-a)?=48,

整理得，3c2=48,

Ac=4(負(fù)值舍去)

【點(diǎn)睛】此題考查的是勾股定理的證明和應(yīng)用，能夠準(zhǔn)確識圖是解答本題的關(guān)鍵.

題型六勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

例6.如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底墻到左墻角的距離

為1.5m,頂端距離地面2m,如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，頂端距離

地面0.7m,那么小巷的寬度為()

A.3.2mB.3.5mC.3.9mD.4m

C

【分析】

如圖，在放△ZC8中，先根據(jù)勾股定理求出43,然后在用△/'8。中根據(jù)勾股定理求出

BD,進(jìn)而可得答案.

【詳解】

解：如圖，在放△NC8中，VZACB=90Q,8c=1.5米，4c=2米，

.,./￥=1.52+22=6.25,."8=2.5米,

在用△4'8。中，,/ZA'08=90°,A'。=0.7米，BD2+A'D2=A'B2,

.?.5Z52+0.72=6.25,

.?.802=5.76,

:BD>0,

，8。=2.4米，

.?Q=8C+80=1.5+2.4=3.9米.

故選：C.

本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意、熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

變式6

6.小明想知道學(xué)校旗桿多高，他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多2m,當(dāng)他把繩子

的下端拉開10m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為（）

A.16mB.20mC.24mD.28m

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意設(shè)旗桿的高AB為x米，則繩子AC的長為（x+2）米，再利用勾

股定理即可求得AB的長，即旗桿的高.

【詳解】解：如圖：設(shè)旗桿的高AB為x米，則繩子AC的長為（x+2）米，

在Rt4ABC中，BC=10米，

由勾股定理得：AB2+BC2=AC2,

x2+102=(x+2)2,

解得：x=24,

/.AB=24.

...旗桿的高24米，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用勾股定理解決實(shí)際問題的能力，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三

角形利用勾股定理列出方程.

題型七勾股定理的逆定理

例7.下列四組數(shù)中不能構(gòu)成直角三角形的一組是（）

44,5,6B.7,24,25C.5,12,13D.1,2,舊

A

【分析】

分別把選項(xiàng)中的三邊平方后，根據(jù)勾股定理逆定理即可判斷能否構(gòu)成直角三角形.

【詳解】

解：/、?.?42+52/62，.,?三條線段不能組成直角三角形，故/選項(xiàng)符合題意；

8、?；7?+24?=252，???三條線段能組成直角三角形，故8選項(xiàng)不符合題意：

C、:52+122=132，.??三條線段能組成直角三角形，故C選項(xiàng)不符合題意；

。、：肝+22=（6了，.?.三條線段能組成直角三角形，故。選項(xiàng)不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理逆定理，熟悉定理是關(guān)鍵.

變式7

7.在如圖的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長為1,/、8、C三點(diǎn)均在正方形格點(diǎn)上，

若是A/BC的高，則的長為（）

C

A.273B.V5C.V3D.2

【答案】P

【解析】

【分析】結(jié)合格點(diǎn)的特點(diǎn)利用勾股定理求得Z5,BG,然后利用勾股定理逆

AC2,

定理判定的形狀，從而利用三角形面積求解.

【詳解】解：由題意可得：43=22+42=20

AC2=22+12=5

5C2=32+42=25

AB-+AC2=BC2

...△N8C是直角三角形

又?.?4。是A/BC的高

：.-AC-AB^-BCAD,

22

-xyj5x2y/5=-x5AD,解得：AD=2

22

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理，利用網(wǎng)格特點(diǎn)，準(zhǔn)確計(jì)算

是解題關(guān)鍵.

題型八勾股定理的逆定理的應(yīng)用

例8.如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，AABC是()三角形.

A.銳角B.直角C.鈍角D.等腰

A

【分析】

根據(jù)勾股定理求出三邊的長，再利用勾股定理逆定理可作判斷.

【詳解】

解：根據(jù)網(wǎng)格圖可得：AC2=42+12=17.AB2=32+12=10>C52=42+32=25.

?/AC2+AB2=17+10>25=CB2,

...AA8C是銳角三角形，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三邊的關(guān)系，會(huì)利用三邊關(guān)系確定三角形的形狀：若三角形的三邊分別為。、6、

c,①當(dāng)屆+62>02時(shí)，ZX/BC為銳角三角形；②當(dāng)標(biāo)+62<。2時(shí)，△48。為鈍角三角形；

③當(dāng)〃2+加=°2時(shí)，△NBC為直角三角形.

變式8

8.甲、乙兩艘輪船同時(shí)從港口出發(fā)，甲以16海里/時(shí)的速度向北偏東75°的方向航

行，它們出發(fā)1.5小時(shí)后，兩船相距30海里，若乙以12海里/時(shí)的速度航行，則它

的航行方向?yàn)椋ǎ?/p>

A.北偏西15°B.南偏西75。

C.南偏東15°或北偏西15°D.南偏西15°或北偏東15°

【答案】C

【解析】

【分析】先求出出發(fā)L5小時(shí)后，甲乙兩船航行的路程，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理的逆

定理得出乙船的航行方向與甲船的航行方向垂直，進(jìn)一步即可得出答案.

【詳解】解：出發(fā)1.5小時(shí)后，甲船航行的路程是16X1.5=24海里，乙船航行的路

程是12X1.5=18海里；

242+182=576+324=900=302，

乙船的航行方向與甲船的航行方向垂直，

???甲船的航行方向是北偏東75°,

乙船的航行方向是南偏東15。或北偏西15°.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和方位角，屬于?？碱}型，正確理解題意、

熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵.

題型九勾股定理與折疊問題

例9.如圖，矩形紙片488中，/8=CO=4,/O=8C=8,NBAD=NB=NC=ND=90°,

將紙片沿E尸折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)/重合，使點(diǎn)G與點(diǎn)。重合.

(1)求證：AE=AF；

(2)求GE的長.

(1)詳見解析；(2)3

【分析】

(1)根據(jù)翻折的性質(zhì)可得NZMu/CEb,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得

ZAFE=/CEF,然后求出NZE尸=乙4尸E,根據(jù)等角對等邊可得ZE=/尸；

(2)根據(jù)翻折的性質(zhì)可得NE=CE,設(shè)ZE=CE=x,貝48E=8-X,再根據(jù)勾股定理有:

222

X=4+(8-X),于是有/￡=/尸=5,進(jìn)而得到GF=ED=3.

【詳解】

解：(1)由翻折的性質(zhì)得，ZAEF=ZCEF,

???矩形ABCD的對邊4。//8c,

:.NAFE=NCEF,

4AEF=ZAFE,

:.AE=AF；

(2)由翻折的性質(zhì)得，AE=CE,

設(shè)AE=CE-x,則BE=8-X,

在RtAABE中，AE2=AB2+BE2-

x2=4?+(8-x)2,

解得：x-5,

r.AE=5，

又由（1）可知，4尸=5,

FD=AD—AF=8—5=3,

由翻折的性質(zhì)得，GF=FD=3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了翻折變換的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟記各性質(zhì)并作利用勾股定理列方程

求出/￡的長度是解題的關(guān)鍵.

變式9

q.如圖，在R/△力8c中，N/C8=90°,ZC=5,BC=8,點(diǎn)。是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E

是邊AB上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合），沿DE翻折&DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)尸處，

連接力尸，則線段“尸長的最小值是（）

A.2B.V41-4C.3D.3713-4

【答案】8

【解析】

【分析】連接，力，以。為圓心，以8為半徑畫圓，交/。于G,根據(jù)題意可知點(diǎn)

F在O。上，當(dāng)G和尸重合時(shí)/廠有最小值，然后利用勾股定理計(jì)算長度即可.

【詳解】解：連接ZO,以。為圓心，以CQ為半徑畫圓，交NO于G,根據(jù)題意可

知點(diǎn)F在。。上，當(dāng)G和尸重合時(shí)力尸有最小值，

?.?點(diǎn)。是邊3c的中點(diǎn)，

CD-GD——BC-4,

2

在Rt/\ACD中=NAC'CD'國，

AG=AD-GD=j4\-4.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的性質(zhì)和勾股定理，能夠找到點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)

鍵.

題型十最短距離問題

例10.如圖，臺(tái)階/處的螞蟻要爬到8處搬運(yùn)食物，它爬的最短距離是

25

【分析】

先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答.

【詳解】

解：如圖所示：臺(tái)階平面展開圖為長方形，

則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長.

由勾股定理得：AB2AC2+BC2

HPAB2=2Q2+152,

AB=25,

故答案為：25

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平面展開圖一最短路徑問題，用到臺(tái)階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出

長方形的長和寬即可解答.

變式10

1O.如圖，正方形為68,4B邊上有一點(diǎn)E,AE=3,EB=1,在ZC上有一點(diǎn)

P,使為EP+BP最短.則最短距離EP+BP為

【答案】5

【解析】

【分析】連接DE,交直線AC于點(diǎn)P,根據(jù)四邊形ABCD是正方形可知B、D關(guān)于

直線AC對稱，所以DE的長即為EP+BP的最短距離，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)

論.

?.?四邊形ABCD是正方形，

，B、D關(guān)于直線AC對稱，

ADE的長即為EP+BP的最短距離，

VAE=3,EB=1,

.*.AD=AB=AE+BE=4,

?*-DE=^AD2+AE2=A/42+32=5.

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】本題考查了軸對稱一最短路線問題、正方形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用，

熟知兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵.

實(shí)戰(zhàn)練

11.如圖，公路AC,互相垂直，公路A6的中點(diǎn)M與點(diǎn)C被湖隔開，若測得

AM的長為1.2kM,則M、C兩點(diǎn)間的距離為（）

AO.5kkv\A.0.6kmB.0.9kmC.1.2km

【答案】P

【解析】

【詳解】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求得距離為1.2km.

故選D

■視頻D

工2.如圖，在四△月8c中，ZC=90°,AC=4,BC=3,把放△/BC繞著點(diǎn)N逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)。落在邊的C'上，C5的長度是（）

35

A.1B.-C.2P.-

22

【答案】A

【解析】

【分析】首先由勾股定理求出/8=5,再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出"C'=NC=4,從而可

求出8C的長.

【詳解】解：在放△Z8C中，ZC=90°,AC=4,BC=3,

；?AB2=AC2+BC2

?*-AB=y/AC2+BC2=>/42+32=5

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，ZU=AC=4

C'B=AB-AC'=5-4=\

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理的運(yùn)用，運(yùn)用勾股定理求出18=5

是解答此題的關(guān)鍵.

13.下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）

A.3,4.5B.6.8.10C.5,12.13D,4,5,6

【答案】P

【解析】

【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需滿足兩小邊的

平方和等于最長邊的平方.

【詳解】解：/、32+42=25=52,是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

B、62+82=100=102,是勾股數(shù)，此選項(xiàng)不符合題意；

C、52+122=169=132,是勾股數(shù),此選項(xiàng)不符合題意；

D、42+52=41/62,不是勾股數(shù)，此選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)：滿足足+加二序的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).注意:

①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足次+加=/,但是它們不是正整數(shù),

所以它們不是勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).

③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度.如：3,4,5；6,8,10；5,12,13；…

14.滿足下列條件的三角形：

①三邊長之比為3：4：5；

②三內(nèi)角之比為3：4：5；

③-1,2n,n2+l；

@V2+bV2-1-6.

其中能組成直角三角形的是()

A.①③B.②④C.①②D.③④

【答案】A

【解析】

【分析】欲求證是否為直角三角形，若已知三邊長，只要驗(yàn)證兩小邊的平方和是否

等于最長邊的平方；若已知三個(gè)角的度數(shù)，只要驗(yàn)證是否存在直角即可.

【詳解】①三邊長之比為3:4:5；則有(3x)2+(4x)2=(5x)2,為直角三角形；

②三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為3:4:5,

345

則各角度數(shù)分別為180°x^=45。，1800x^=60。，1800x6=75。，不是直角三

121212

角形；

③???(/-)2+(2”『=(/+])2,是直角三角形；

④?.?上+1+收-1=2行＜6，二構(gòu)不成三角形.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用.判斷三角形是否為直角三角形，已知

三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

15.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有“折竹抵地”問題：今有竹高一

丈，末折抵地，去本三尺.問折者高幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10

尺)，一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部3尺遠(yuǎn)，問折斷處離

地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為()

A.%2-32=(1-X)2B.X2-32=(10-X)2

222222

C.X+3=(1-X)D.X+3=(10-X)

【答案】P

【解析】

【分析】根據(jù)勾股定理列方程解答.

【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則斜邊為(10-x)尺，

根據(jù)勾股定理得:X2+32=(10-X)\

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意得到直角三角形確定三邊的

關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

16.如圖所示，將一根長為24cm的筷子，置于底面直徑為5?！?，高為12cm的圓柱

形水杯中，設(shè)筷子露在外面的長為入?！?，則〃的取值范圍是()

A.0</z<llB.11</?<12C.h>\2D.0</?<12

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，先找出力的值為最大和最小時(shí)筷子的位置，再根據(jù)勾

股定理解答即可.

【詳解】解：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)〃最大，〃最大=24-12=12c/?.

當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小,

如圖所示:

此時(shí)，AB=ylAC2+BC2=7122+52=13cm,

AA=24-13=11cm.

'.h的取值范圍是11cm@2cm.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用問題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖

形找出何時(shí)h有最大及最小值，同時(shí)注意勾股定理的靈活運(yùn)用，有一定難度.

17.某港口P位于東西方向的海岸線上，“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時(shí)離開港

口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時(shí)航行16海里，“海天”號每小時(shí)航

行12海里.它們離開港口一個(gè)半小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q、R處，且相距30海里.如

果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，則“海天”號沿（）方向航行.

東北C.西北D.東南

【答案】C

【解析】

【分析1根據(jù)路程=速度義時(shí)間分別求得PQ、PR的長，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理的逆

定理可以證明三角形PQR是直角三角形，從而進(jìn)行分析求解.

【詳解】解：根據(jù)題意得PQ=16x1.5=24（海里），PR=12xl.5=18（海里），QR=30（海里）.

V242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,

二ZQPR=90°.

由“遠(yuǎn)航號”沿東北方向航行可知，Zl=45°,則N2=45。，即“海天”號沿西北方向航

行.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)勾股定理的逆定理發(fā)現(xiàn)

直角三角形進(jìn)行解答.

18.如圖，在A/BC中，4B=8,BC=6,AC=]O,。為邊/C上一動(dòng)點(diǎn)，DEUB于

點(diǎn)E,DFYBC于點(diǎn)F,則EF的最小值為（）

A.5B.4.8C.3D.2.4

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形總是矩形，根據(jù)矩形

的對角線相等，得EF=BD,則即的最小值即為8。的最小值，根據(jù)垂線段最短，

知：BD的最小值即等于直角三角形/8C斜邊上的高.

【詳解】如圖，連接80.

?.?在△/BC中，48=8,BC=6,4c=10,

:.ABZ+BgiC2,BPZABC=90°.

又,：DEL4B于點(diǎn)E,DFLBC于點(diǎn)F,

，四邊形E。在8是矩形，

：.EF=BD.

,：BD的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即4.8,

...E/的最小值為4.8,

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性

質(zhì)，要能夠把要求的線段的最小值轉(zhuǎn)換為便于分析其最小值的線段.

19.如圖，在四邊形488中，AB=BC=T,CZ）=2&，AD=M,AB上BC,

則四邊形Z8C。的面積是（）

A.2.5B.3

C.3.5D.4

【答案】A

【解析】

【分析】如下圖，連接AC,在Rt^ABC中先求得AC的長，從而可判斷4ACD是

直角三角形，從而求得aABC和4ACD的面積，進(jìn)而得出四邊形的面積.

【詳解】如下圖，連接AC

VAB=BC=1,ABIBC

.?.在RQABC中，AC=V2,5_=|xlxl=l

：AD=而，DC=2及