初中數(shù)學數(shù)與式模塊1-1有理數(shù)講義（含答案解析）

有理數(shù)題型練

題型一正數(shù)和負數(shù)

1、在以前學過的0以外的數(shù)叫做正數(shù)，在正數(shù)前面加負號“一”，叫做負數(shù)，一個數(shù)前面

的“+”“一”號叫做它的符號.

2、0既不是正數(shù)也不是負數(shù).0是正負數(shù)的分界點，正數(shù)是大于0的數(shù)，負數(shù)是小于0的數(shù).

3、用正負數(shù)表示兩種具有相反意義的量.具有相反意義的量都是互相依存的兩個量，它包

含兩個要素，一是它們的意義相反，二是它們都是數(shù)量.

例1.

1.如果節(jié)約20元錢，記作“+20”元，那么浪費15元錢，記作元.

【答案】-15

【解析】

【分析】根據(jù)節(jié)約20元錢，記作“十20”元，可知浪費記為負，可得結(jié)果.

【詳解】解：根據(jù)題意，節(jié)約記為正，浪費記為負，那么浪費15元錢，記作-15元,

故答案為：-15.

【點睛】本題考查了正負數(shù)的意義，解題關鍵是明確正負數(shù)代表意義相反的兩個量,

節(jié)約記為正，浪費記為負.

變式

2.若收入100元記作+100元，那么-100元表示.

【答案】支出100元

【解析】

【詳解】試題解析：因為收入與支出相反，所以由收入100元記作+100元，可得到

TOO元表示支出100元.

5.下列說法不正確的是（）

A.在小學學過的數(shù)前面添上就是負數(shù)

B.—5℃比-6℃高1℃

C.比0小的數(shù)都是負數(shù)

D.比0大的數(shù)都是正數(shù)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，對每一項進

行分析，即可得出答案.

【詳解】A、在小學學過的數(shù)前面添上，就是負數(shù)（0除外），故本選項錯誤;

B、-5℃tk-6℃高1℃,故本選項正確；

C、比0小的數(shù)都是負數(shù)，故本選項正確；

D、比0大的數(shù)都是正數(shù)，故本選項正確；

故選A.

【點睛】本題考查正數(shù)和負數(shù)的概念，解題的關鍵是掌握正數(shù)和負數(shù)的概念.

題型二有理數(shù)

1、有理數(shù)的概念：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù).

2、有理數(shù)的分類：

①按整數(shù)、分數(shù)的關系分類：

②按正數(shù)、負數(shù)與0的關系分類：

’正有理數(shù)

有理數(shù)＜0

負有理數(shù)

例2.

2

4.在-5,§,0,1.6這四個有理數(shù)中，整數(shù)有

【答案】-5,0

【解析】

【分析】整數(shù)分為正整數(shù)、。和負整數(shù)，據(jù)此解答即可.

2

【詳解】解：在-5,§,0,1.6這四個有理數(shù)中，整數(shù)有-5,0.

故答案為：-5,0.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類、屬于應知應會題型，熟練掌握基本知識是關鍵.

變式

5把下列各數(shù)分別填在相應的大括號里.

13,3.1415,-31,-21%,0,-0.216,-2020

3

整數(shù)：｛________

正整數(shù)：｛

負分數(shù)：｛

負整數(shù)：｛

【答案】13,-31,0,-2020；13；-21%,-0.216；-31,-2020

【解析】

【分析】依題意，根據(jù)整數(shù)、正整數(shù)、負分數(shù)、負整數(shù)的定義把有關的數(shù)填入相應

的集合即可.

【詳解】由題知：整數(shù)：｛13,-31,0,-2020...）；

正整數(shù)：｛13…｝;

負分數(shù)：｛-21%,-0.216...｝；

負整數(shù)：｛-31,-2020...）.

故填：13,-31,0,-2020；13；-21%,-0.216；-31,-2020.

【點睛】本題考查對數(shù)的分類，難點在熟練的理解數(shù)分類之間依據(jù)；

題型三數(shù)軸

（1）數(shù)軸的概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.

數(shù)軸的三要素：原點，單位長度，正方向.

（2）數(shù)軸上的點：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理

數(shù).（一一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應任意實數(shù)，包括無理數(shù).）

（3）用數(shù)軸比較大?。阂话銇碚f，當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大.

例3.1

6.下列完整的數(shù)軸是（）

R_____1_I___I_______

-101

D

-2-1012-^3-1123

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)軸的三要素：原點、單位長度、正方向，可得答案.

【詳解】解：A、沒有單位長度，故本選項不合題意；

B、沒有正方向，故本選項不合題意；

C、原點、單位長度、正方向都符合條件，故本選項符合題意；

D、單位長度有缺漏，沒有原點，故本選項不合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了數(shù)軸，注意數(shù)軸的三要素：原點、單位長度、正方向.

例3.2

7.數(shù)軸上，表示-5的點在原點的,與原點距離個單位長度.表示+2.1

的點在原點的邊，與原點距離個單位長度.

【答案】①.左邊②.5③.右④.2.1

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)軸的性質(zhì)分析，即可得到答案.

【詳解】表示-5的點在原點的左邊，與原點距離5個單位長度.表示+2.1的點在

原點的右邊，與原點距離2.1個單位長度

故答案為：左邊，5,右，2.1.

【點睛】本題考查了數(shù)軸的知識；解題的關鍵是熟練掌握數(shù)軸的性質(zhì)，從而完成求

解.

變式

8.在數(shù)軸上點/表示的數(shù)是一2,則距離點，為4個單位的8表示的數(shù)是.

【答案】2或-6

【解析】

【分析】分8點在4點的左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論即可確定B點表示的數(shù).

【詳解】解：當8點在4點左側(cè)時，8點表示的數(shù)為：-2-4=-6,

當3點在2點右側(cè)時，8點表示的數(shù)為：-2+4=2,

故答案為：2或-6.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上到一點距離相等的點有兩個，分別位于該點的左側(cè)或右

側(cè)，注意分類討論，以防遺漏.

題型四相反數(shù)

（1）相反數(shù)的概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù).

（2）相反數(shù)的意義：掌握相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，從數(shù)軸上看，除0外，互

為相反數(shù)的兩個數(shù)，它們分別在原點兩旁且到原點距離相等.

（3）多重符號的化簡：與“十”個數(shù)無關，有奇數(shù)個“一”號結(jié)果為負，有偶數(shù)個“一”

號，結(jié)果為正.

（4）規(guī)律方法總結(jié)：求一個數(shù)的相反數(shù)的方法就是在這個數(shù)的前邊添加“一”，如。的相

反數(shù)是一“，的相反數(shù)是一（〃?+〃），這時機+〃是一個整體，在整體前面添負號時，

要用小括號.

例4.

q.-9的相反數(shù)是.

【答案】9

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)的定義即可求解.

【詳解】-9的相反數(shù)是9

故答案為：9.

【點睛】此題主要考查相反數(shù)的求解，解題的關鍵是熟知有理數(shù)的性質(zhì).

變式

工。.如圖，數(shù)軸上A、B兩點表示的數(shù)是互為相反數(shù)，且點A與點B之間的距離為

4個單位長度，則點A表示的數(shù)是.

0

_i

【答案】-2

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)在數(shù)軸上的分布特點求解即可.

【詳解】4+2=2,點/在原點的左邊,

.?.點Z表示的數(shù)是2

故答案為-2.

【點睛】本題考查了相反數(shù)的幾何意義，在數(shù)軸上，表示互為相反數(shù)的兩個點，分

別位于原點的兩旁，并且它們與原點的距離相等.

題型五絕對值

(1)概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等；

②絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，絕對值等于0的數(shù)有一個，沒有絕對值等于負數(shù)的數(shù).

③有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù).

(2)如果用字母。表示有理數(shù)，則數(shù)。絕對值要由字母。本身的取值來確定：

①當“是正有理數(shù)時，。的絕對值是它本身“；

②當a是負有理數(shù)時，。的絕對值是它的相反數(shù)一公

③當a是零時，a的絕對值是零.

即|a|={a(<7>0)0(6Z=0)—a(a<0)

例5.

11.2021的絕對值是.

【答案】2021

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值解答即可.

【詳解】2021的絕對值是2021,

故答案為：2021.

【點睛】此題主要考查了絕對值，利用絕對值解答是解題關鍵.

變式

12..如果若|x—2|=1,則x=.

【答案】3或1

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)可得x-2=±l,再求出x即可.

【詳解】解：?斗-2|=1,

.*.x-2=+1,

則x-2=l或x-2=-l,

解得：x=3或1,

故答案為：3或1.

【點睛】此題主要考查了絕對值，關鍵是掌握絕對值等于一個正數(shù)的數(shù)有兩個，它

們互為相反數(shù).

題型六有理數(shù)的大小比較

（1）有理數(shù)的大小比較

比較有理數(shù)的大小可以利用數(shù)軸，他們從右到左的順序，即從大到小的順序（在數(shù)軸上表示

的兩個有理數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大）；也可以利用數(shù)的性質(zhì)比較異號兩數(shù)及0的大小,

利用絕對值比較兩個負數(shù)的大小.

（2）有理數(shù)大小比較的法則：

①正數(shù)都大于0;

②負數(shù)都小于0：

③正數(shù)大于一切負數(shù)；

④兩個負數(shù)，絕對值大的其值反而小.

【規(guī)律方法】有理數(shù)大小比較的三種方法

1.法則比較：正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于一切負數(shù).兩個負數(shù)比較大小，絕對

值大的反而小.

2.數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù).

3.作差比較：

若“一6>0,則

若q—6<0,則

若a—b=0,則

例6.在一1,一2,0,1這四個數(shù)中最小的數(shù)是.

【解析】

解：V-2<-l<0<l,

.?.在一1,-2,0,1這四個數(shù)中最小的數(shù)是一2

變式

13.比較大?、?.01-2015；②0.010;③

【答案】①.>；②.>；③.<

【解析】

【詳解】①0.01>-2015；②0.01>0；(3)--

23

題型七有理數(shù)的加法

有理數(shù)加法法則：

①同號相加，取相同符號，并把絕對值相加.

②絕對值不等的異號加減，取絕對值較大的加數(shù)符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對

值.互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0.

③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù).

(在進行有理數(shù)加法運算時，首先判斷兩個加數(shù)的符號：是同號還是異號，是否有0.從而確

定用那一條法則.在應用過程中，要牢記“先符號，后絕對值”.)

例7.計算：

(1)12+(-4)

(2)(--)+(--)

23

解：(1)12+(-4)=8

1,15

(2)(---)+(z—)=---

236

題型八有理數(shù)加法運算律

(1)有理數(shù)加法運算律

①加法交換律：a+b^b+a；

②加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).

(2)知識拓展

①互為相反數(shù)的兩個數(shù)可以先相加.

②符號相同的數(shù)可以先相加.

③分母相同的數(shù)可以先相加.

④和為整數(shù)的幾個數(shù)可以先相加.

例8.計算：(-23)+(+58)+(—17).

解：(―23)+(+58)+(-17)

=58—(23+17)

=58-40

=18

變式

14.計算:

(1)(—2.8)+(—3.6)+3.6；

【答案】⑴-2.8；（2）2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)加法結(jié)合律先算后兩個數(shù)之和，即可求解；

（2）利用加法交換律和結(jié)合律可得原式=（1+，）+《+：）,即可求解.

【詳解】解:（1）原式=-2.8+0=-2.8；

（2）原式=1+汨鴻）2.

【點睛】本題考查有理數(shù)加減的簡便運算，根據(jù)題目特點靈活應用運算律是解題的

關鍵.

題型九有理數(shù)的減法

（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù).即：a~b=a+（—6）

（2）方法指引：

①在進行減法運算時，首先弄清減數(shù)的符號；

②將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為加法時，要同時改變兩個符號：一是運算符號（減號變加號）；二是減數(shù)

的性質(zhì)符號（減數(shù)變相反數(shù)）；

【注意】:

在有理數(shù)減法運算時，被減數(shù)與減數(shù)的位置不能隨意交換；因為減法沒有交換律.

減法法則不能與加法法則類比，0加任何數(shù)都不變，0減任何數(shù)應依法則進行計算.

例9.計算：-7—4=.

【解析】

解：原式=-7+(—4)——11

變式

1S.若Ia|=3,Ib|=2,則a-b的絕對值為

【答案】5或1

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出a、b的值，將a、b的值代入求出|a-b|的值即可.

【詳解】解：V|a|=3,|b|=2,

a=±3,b=±2,

當a=-3,b=-2時，|a-b|*3+2|=l；

當a=-3,b=2時，|a-b|=|-3-2|=5；

當a=3,b=2時,|a-b|=|-2|=l；

當a=3,b=-2時，|a-b|=|3+2|=5；

a-b的絕對值為5或1.

故答案為：5或1.

【點睛】主要考查了絕對值的性質(zhì)，要求會靈活運用該性質(zhì)解題.要牢記以下規(guī)律:

(1)一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是

0.(2)|a|=-a時，a<0；|a|=a時，aK).(3)任何-?個非0的數(shù)的絕對值都是正數(shù)是

解題的關鍵.

題型十有理數(shù)的加減混合運算

(1)有理數(shù)加減混合運算的方法：有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法.

(2)方法指引：

①在一個式子里，有加法也有減法,根據(jù)有理數(shù)減法法則，把減法都轉(zhuǎn)化成加法，并寫

成省略括號的和的形式.

②轉(zhuǎn)化成省略括號的代數(shù)和的形式,就可以應用加法的運算律，使計算簡化.

例10.計算：-17+(-33)-10-(-24)=

【解析】

解：-17+(-33)-10-(-24)

=-17-33-10+24

=-60+24

=—36

變式

16.計算：1—(+2)+3-(+4)+5-(+6)+-----(+2014)=

【答案】-1007.

【解析】

【分析】按照數(shù)字的順序，兩個分為一組，共2007組，計算后進一步合并即可.

【詳解】解：原式=[1-(+2)]+[3-(+4)]+[5-(+6)]+-+[2013-(+2014)]

=-1-1-1----1

=-1007.

故答案為：-1007.

【點睛】此題考查有理數(shù)的加減混合運算，掌握運算方法，適當分組是解決問題的

關鍵.

題型十一有理數(shù)的乘法

(1)有理數(shù)乘法法則：兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘.

(2)任何數(shù)同零相乘，都得0.

(3)多個有理數(shù)相乘的法則：①幾個不等于0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，

當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正.②幾個數(shù)相乘，有一個

因數(shù)為0，積就為0

(4)方法指引：

①運用乘法法則，先確定符號，再把絕對值相乘.

②多個因數(shù)相乘，看0因數(shù)和積的符號當先，這樣做使運算既準確又簡單.

例11.

工7.計算：3X(--)=.

2

【答案】-:3

2

【解析】

【分析】利用有理數(shù)的乘法法則直接計算即可.

(1^3

【詳解】解：3x--=—不

I2；2

3

故答案為：-q.

2

【點睛】本題考查有理數(shù)的乘法，掌握有理數(shù)的乘法法則是解題的關鍵.

變式

18.計算：-2X3X

6

【答案】1

【解析】

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可.

【詳解】1%

=6x—

6

=1

【點睛】本題考查有理數(shù)的運算能力，解題的關鍵是掌握有理數(shù)的乘法法則.

題型十二有理數(shù)乘法運算律

1.乘法交換律：一般地，有理數(shù)乘法中，兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等，用字母

表示為ctb=bo.

2.乘法結(jié)合律：一般地，有理數(shù)乘法中，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩

個數(shù)相乘，積相等，用字母表示為(ab)c=a(be).

3.乘法分配律：一般地，有理數(shù)乘法中，一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同

這兩個數(shù)相乘，再把積相加，用字母表示為a(6+c)^ab+ac.

4.在用乘法交換律交換因數(shù)的位置時，要連同符號一起交換.

5.利用乘法分配律進行計算時，不要漏乘，不要弄錯符號.

6.幾個不是0的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正

數(shù)，負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負數(shù).

例12.計算：

(1)-2X4X0.25

_75_3

(2)j9+6-4x36

解：(1)-2X4X0.25=-2X(4X0.25)=-2義1=一2；

75_3

(2)9+6-4x36

753

=-x36+x36-x36

964

=-28+30-27

=-25

變式

19.計算：

【答案】(1)-399.75；(2)0

【解析】

【分析】⑴將-99二拆分成-100+4，然后再使用乘法分配律與4相乘即可求解;

1616

22

(2)逆用乘法分配律將-3提取出來，然后按運算順序進行計算即可.

【詳解】解：(1)原式=卜100+看上4

=-100x4+—x4

16

=-400+-

4

=-399.75

22

⑵原式=——x(-7+9—2)

22八

=---x0

7

=0.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的四則運算，有理數(shù)的乘法分配律，熟練掌握有理數(shù)的

乘法法則是解決本題的關鍵.

題型十三倒數(shù)

(1)倒數(shù)：乘積是1的兩數(shù)互為倒數(shù).

一般地，=1就說a("W0)的倒數(shù)是

aa

（2）方法指引：

①倒數(shù)是除法運算與乘法運算轉(zhuǎn)化的“橋梁”和“渡船”.正像減法轉(zhuǎn)化為加法及相反

數(shù)一樣，非常重要.倒數(shù)是伴隨著除法運算而產(chǎn)生的.

②正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，而。沒有倒數(shù)，這與相反數(shù)不同.

注意：0沒有倒數(shù).

例13.

2.0.一2.4的倒數(shù)是.

【答案】弓

【解析】

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義求解即可.

【詳解】解：一2.4的倒數(shù)是一^=一2，

-2.412

故答案為：一盤.

【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義，解題關鍵是明確倒數(shù)的定義，準確進行計算.

變式

21.若a,b互為倒數(shù)，則-2"的值為.

【答案】-2

【解析】

【分析】互為倒數(shù)的兩個數(shù)乘積為1,即ab=l,再整體代入進行計算即可.

【詳解】解：...ab互為倒數(shù),

/.ab=l,

把ab=l代入-2ab得：-2、1=-2.

故答案為：-2.

【點睛】本題考查倒數(shù)的定義，熟知互為倒數(shù)的兩個數(shù)乘積為1是解決此類問題的

關鍵.

題型十四有理數(shù)的除法

（1）有理數(shù)除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)，即：a^b=a--

h

（后0）

(2)方法指引：

(1)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除.0除以任何一個不等于0的數(shù)，

都得0

(2)有理數(shù)的除法要分情況靈活選擇法則，若是整數(shù)與整數(shù)相除一般采用“同號得正，

異號得負，并把絕對值相除”.如果有了分數(shù)，則采用“除以一個不等于0的數(shù)，等于

乘這個數(shù)的倒數(shù)”，再約分.乘除混合運算時一定注意兩個原則：①變除為乘，②從左

到右.

例14.

22.計算8+(-2)的結(jié)果是()

A.-4B.-16C.-6D.10

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)有理數(shù)的除法法則進行計算即可.

【詳解】解：原式=-8+2=-4.

故選：A.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的除法法則.熟記法則是解題的關鍵.

變式

2.3.計算：-2+：X2=.

【答案】-8

【解析】

【分析】根據(jù)有理數(shù)乘除的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】一24*工X2=-2x2x2=-8

2

故答案為：-8.

【點睛】本題考查了有理數(shù)運算的知識；解題的關鍵是熟練掌握有理數(shù)乘除運算的

性質(zhì)，從而完成求解.

題型十五有理數(shù)的乘方

(1)有理數(shù)乘方的定義：求〃個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方.

乘方的結(jié)果叫做幕，在中，。叫做底數(shù)，〃叫做指數(shù).讀作。的"次方.（將a”看作

是a的N次方的結(jié)果時，也可以讀作a的〃次事.）

（2）乘方的法則：正數(shù)的任何次事都是正數(shù)；負數(shù)的奇次塞是負數(shù)，負數(shù)的偶次事是正數(shù);

0的任何正整數(shù)次幕都是0.

（3）方法指引：

①有理數(shù)的乘方運算與有理數(shù)的加減乘除運算一樣，首先要確定基的符號，然后再計算'幕的

絕對值；

②由于乘方運算比乘除運算又高一級，所以有加減乘除和乘方運算，應先算乘方，再做乘除,

最后做加減.

例15.

24.計算（-2?正確結(jié)果是（）.

A.-6B.-8C.6D.8

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)乘方的性質(zhì)計算，即可得到答案.

【詳解】（-2）3=-8

故選：B.

【點睛】本題考查了乘方的知識；解題的關鍵是熟練掌握乘方的性質(zhì)，從而完成求

解.

變式

25.下列各式一定成立的是（）

A.（—a）2=a2B.（—a）3=a3C.|-a|2=—a2D.a\3=a3

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)乘方的運算逐一分析判定即可.

【詳解】解:A.（~a）2=次，該項計算正確；

B.（一“）3=一"，該項計算錯誤；

c.-?|2=解，該項計算錯誤；

D.當a為負數(shù)時匕|3=〃不成立，該項錯誤；

故選：A.

【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方，掌握乘方法則和絕對值的性質(zhì)是解題的關鍵.

題型十六有理數(shù)的混合運算

(1)有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到

右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算.

(2)進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化.

【規(guī)律方法】有理數(shù)混合運算的四種運算技巧

1.轉(zhuǎn)化法：一是將除法轉(zhuǎn)化為乘法，二是將乘方轉(zhuǎn)化為乘法，三是在乘除混合運算中，通

常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分數(shù)進行約分計算.

2.湊整法：在加減混合運算中，通常將和為零的兩個數(shù)，分母相同的兩個數(shù)，和為整數(shù)的

兩個數(shù)，乘積為整數(shù)的兩個數(shù)分別結(jié)合為一組求解.

3.分拆法：先將帶分數(shù)分拆成一個整數(shù)與一個真分數(shù)的和的形式，然后進行計算.

4.巧用運算律：在計算中巧妙運用加法運算律或乘法運算律往往使計算更簡便.

例16.計算：I-2：-：---F(—2)3X—.

54

【解析】

解：原式=2+—+(—8)X—

54

=2X5-2

=10-2

=8

變式

2

26.計算：(-1)-+12-5|+(-3)x§.

【答案】|

【解析】

【分析】當然啊先計算乘方和絕對值，再把除法轉(zhuǎn)換為乘法，計算乘法，最后進行

加減運算即可得到答案.

2

【詳解】解：(-1)2+|2-5|^(-3)X-

=l+3-(-3)x-

,,12

=l-3x-x—

33

=1-2

3

-3,

【點睛】此題主要考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解答此題的關鍵.

題型十七科學記數(shù)法一表示較大的數(shù)

(1)科學記數(shù)法：把一個大于10的數(shù)記成10〃的形式，其中。是整數(shù)數(shù)位只有一位的

數(shù)，〃是正整數(shù)，這種記數(shù)法叫做科學記數(shù)法.【科學記數(shù)法形式：aXIOw,其中IWaVlO,

n為正整數(shù).]

(2)規(guī)律方法總結(jié)：

①科學記數(shù)法中。的要求和10的指數(shù)n的表示規(guī)律為關鍵，由于10的指數(shù)比原來的整數(shù)位

數(shù)少1;按此規(guī)律，先數(shù)一下原數(shù)的整數(shù)位數(shù)，即可求出10的指數(shù)〃.

②記數(shù)法要求是大于10的數(shù)可用科學記數(shù)法表示，實質(zhì)上絕對值大于10的負數(shù)同樣可用此

法表示，只是前面多一個負號.

例17.截至2021年3月29日，全國各地累計報告接種新冠病毒疫苗11096.2萬劑次，貝U

11096.2萬用科學記數(shù)法表示為.

【解析】

解：11096.2萬=110962000=1.10962X10s

變式

27.2020年我國糧食總產(chǎn)量為13390億斤，數(shù)13390億用科學記數(shù)法表示為()

A.0.1339x105B.1.339x104c.1.339xl08D.1.339^1012

【答案】P

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中仁|a|V10,〃為整數(shù).確定〃

的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的

位數(shù)相同.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為4X10"的形

式,其中1<|?|<10,〃為整數(shù).

題型十八近似數(shù)和有效數(shù)字

（I）有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是

這個數(shù)的有效數(shù)字.

（2）近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示.一般有，精確到哪一位，保留幾

個有效數(shù)字等說法

（3）規(guī)律方法總結(jié)：

“精確到第幾位”和“有幾個有效數(shù)字”是精確度的兩種常用的表示形式，它們實際意

義是不一樣的，前者可以體現(xiàn)出誤差值絕對數(shù)的大小，而后者往往可以比較幾個近似數(shù)

中哪個相對更精確一些.

例18.

28.用四舍五入法將0.00519精確到千分位的近似數(shù)是（）

A.0.052B.0.051C.0.005D.0.00519

【答案】C

【解析】

【分析】把萬分位上的數(shù)字1進行四舍五入即可.

【詳解】解:0.00519?0.005

故選C.

【點睛】此題考查近似數(shù)和有效數(shù)字，解題關鍵在于掌握近似數(shù)與精確數(shù)的接近程

度，可以用精確度表示.一般有，精確到哪一位，保留幾個有效數(shù)字等說法；從一

個數(shù)的左邊第一個不是0的數(shù)字起到末位數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)

字.

變式

2G由四舍五入法得到的近似數(shù)2.30x104,它是精確到位.

【答案】百.

【解析】

【分析】把近似數(shù)2.30x104寫成23000,看左邊第一個0在什么位就精確到哪一位.

【詳解】解：2.30x104=23000,左邊第一個0在百位，

故答案為：百.

【點睛】本題考查了近似數(shù)，解題關鍵是判斷一個近似數(shù)精確到哪一位，要把科學

記數(shù)法復原，再判斷精確的位數(shù).

實戰(zhàn)練

30.人類進入5G時代，科技競爭日趨激烈.據(jù)報道，我國某種芯片的制作工藝已

達到28納米，居世界前列.已知1納米=”109米，則28納米等于多少米？將其

結(jié)果用科學記數(shù)法表示為.

【答案】2.8x10-8米

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axl()n的形式，其中上周<10,n為整數(shù).確定n

的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的

位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值210時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，n是負數(shù).

【詳解】解：將28納米用科學記數(shù)法表示為2.8x10-8米，

故答案為：2.8x10-8米.

【點睛】本題考查了科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為axlOn的形

式，其中l(wèi)<|a|<10,n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值.

31.-g的倒數(shù)是,的倒數(shù)是它本身.

【答案】①.-1②-1和1

【解析】

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義解答即可.

【詳解】解：根據(jù)倒數(shù)的定義知：

-:5的倒數(shù)是-3巳，-1和1的倒數(shù)是它本身，

35

故答案是：-］；-1和1.

【點睛】本題考查了倒數(shù)的定義，解題的關鍵是：會利用倒數(shù)的定義求解.

32.有理數(shù)一人在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡1—3b|—2|2+圖+|2—3,=

-ba

----1-----1------1-----1------1-----1------4----1------1--->_l------1----1-----

-3-2-1012k

【答案】3a—4

【解析】

3

【分析】根據(jù)點在數(shù)軸上的位置可得-6=-3,即6=3；\<a<~,再利用絕對值

2

的性質(zhì)即可求解.

3

【詳解】解：根據(jù)點在數(shù)軸上的位置可得-6=-3,即6=3；1<?<-,

2

1—3b—2|2+6|+2—3a=8-10+3a—2=3a-4,

故答案為：3a—4.

【點睛】本題考查絕對值的性質(zhì)、有理數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)點在數(shù)軸上的位置得到6=3

3

和1<?！?是解題的關鍵.

2

33.2.03x1()5精確到位.

【答案】千.

【解析】

【分析】根據(jù)有理數(shù)的表示，可得原數(shù)，可得精確數(shù)位.

【詳解】解：用科學記數(shù)法表示的數(shù)2.03x105,精確到千位，

故答案為：千.

【點睛】本題考查了科學記數(shù)法與有效數(shù)字，保留的數(shù)位即為精確的數(shù)位.

34.在數(shù)一5,—3,—1,2,4,6中任取三個相乘，所得的積中最大的是_.

【答案】90.

【解析】

【分析】要使所得的積中最大必須滿足積為正，所選數(shù)字絕對值較大，故選-5,-3,6

相乘即可.

【詳解】解：要想所得的積中最大，積必須為正而且所選數(shù)字絕對值較大，可選2,4,6

相乘或-5,-3,6相乘，

?.?2X4X6=48,-5X(-3)X6=90,

故答案為：90.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘法，解題關鍵是熟練運用有理數(shù)乘法法則進行準確

計算.

3S.若4=25,b=-3,那么蘇999+〃002結(jié)果的末位數(shù)字是

【答案】4

【解析】

【分析】把"999寫成以5為底數(shù)的基的形式，然后找出個位數(shù)變化的規(guī)律，再找出

(-3)為底數(shù)的基的個位數(shù)的變化規(guī)律，然后確定41999+62002結(jié)果的末位數(shù)字.

【詳解】解：???。=25/=-3,

.QI999_2^1999_§3998,^2002_)2002_22002,

V51=5,52=25,53=125,54=625,---,

3'=3,32=9,33=27,34=81,---,

...53998個位數(shù)是5,

32°02的形式的數(shù)的個位數(shù)數(shù)字是3,9,7,1四個數(shù)循環(huán)出現(xiàn),

???2002=500x4+2,

,32002的個位數(shù)與32=9個位數(shù)相同，是9,

a1999+/。。2結(jié)果的末位數(shù)字之和是：5+9=14,

即末位數(shù)字是4,

故答案是：4.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的乘方，解題的關鍵是：結(jié)合有理數(shù)乘方的意義，找出

各數(shù)的變化規(guī)律.

36.1根1米長的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，…，如此截下

去，則第8次剩下的木棒的長為米.

【答案】貴

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出第一次、第二次……剩下的木棒長，可得剩下的木棒長

的規(guī)律，即可得答案.

【詳解】第一次截去一半剩下1米,

第二次截去一半剩下(；)2米，

第三次截去一半剩下弓)3米，

...第〃次截去一半剩下g)"米，

.?.第8次剩下的木棒的長為(工)8米，即工米，

2256

故答案為：—77

256

【點睛】本題考查了有理數(shù)乘方：求“個相同因數(shù)積的運算，叫做乘方；乘方的法

則：正數(shù)的任何次幕都是正數(shù)；負數(shù)的奇次幕是負數(shù)，負數(shù)的偶次幕是正數(shù)；0的

任何正整數(shù)次幕都是0.

37.152=225可寫成lOOx”(1+1)+25,

252=625可寫成100x2x(2+1)+25,

352=1225可寫成100x3x(3+1)+25,

(1)752=5625可寫成______,852=7625可寫成.

(2)由(1)的結(jié)果歸納猜想，得(10〃+5)2=.

(3)根據(jù)上面的歸納猜想，請計算：20052=.

【答案】①.100x7x(7+1)+25,②.100x8x(8+1)+25,③.100x〃x

(〃+1)+25,4020025.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題目給出的規(guī)律填寫即可；

(2)根據(jù)(1)中的規(guī)律，用〃表示末尾是5的數(shù)的平方即可；

(3)利用(2)中的規(guī)律計算即可.

【詳解】解：⑴752=5625可寫成100x7x(7+1)+25,

852=7625可寫成100x8、(8+1)+25,

故答案為：100x7x(7+1)+25,lOOxgx(8+1)+25,

(2)752=(10X7+5)2,852=(10X8+5)2,

由(1)可得，(10〃+5)2==100xrt><(?+1)+25,

(3)20052=100X200X(200+1)+25=4020025.

【點睛】本題考查了有理數(shù)計算與列代數(shù)式表示規(guī)律，解題關鍵是根據(jù)數(shù)字運算發(fā)

現(xiàn)規(guī)律，熟練運用代數(shù)式表示出規(guī)律，并熟練運用規(guī)律進行計算.

58.(1)|-2|x(-2)=,

（2）|-y|x5.2=

(4)-3-|-5.3|=_.

【答案】①.-4②.2.6③.0-8.3

【解析】

【分析】(1)先求出I—2|=2,然后再用有理數(shù)乘法運算法則即可求解;

(2)先求出,然后再用有理數(shù)乘法運算法則即可求解；

(3)用有理數(shù)減法法則求解即可；

(4)先求出|-5.3|=5.3,然后用有理數(shù)減法法則求解即可.

【詳解】解：⑴原式=2?(2)=-4,

故答案為：-4；

(2)原式=；?5.22.6,

故答案為：2.6；

(3)原式=，_4=0,

22

故答案為：0;

(4)原式=-3-5.3=-3+(-5.3)=-8.3,

故答案為：-8.3.

【點睛】本題考查有理數(shù)的加減乘除四則運算，屬于基礎題，計算過程中細心，熟

練掌握有理數(shù)的四則運算是解決本題的關鍵.

3<?.在（-1尸中，-1叫做，運算的結(jié)果叫做.

【答案】①.底數(shù)，②.幕.

【解析】

【分析】根據(jù)有理數(shù)的乘方的定義，可填出答案.

【詳解】解：在（-1尸中，-1叫做底數(shù)，運算的結(jié)果叫做幕.

【點睛】本題考查有理數(shù)的乘方的定義.

40.把下列各數(shù)填入它所屬的括號內(nèi)：15,-5,得，0,-5.32,37%

（1）分數(shù)集合｛???｝;

（2）整數(shù)集合｛...｝.

【答案】⑴分數(shù)集合｛-，得，-5.32,37%...｝；（2）整數(shù)集合｛15,—5,0,...｝.

【解析】

【分析】（1）按照有理數(shù)的分類找出分數(shù)即可；

（2）按照有理數(shù)的分類找出整數(shù)即可.

【詳解】解：⑴分數(shù)集合｛-，得，-5.32,37%...｝；

（2）整數(shù)集合｛15,-5,0,

【點睛】本題考查了有理數(shù)的分類，解題關鍵是明確分數(shù)和整數(shù)的定義，準確進行

分類.

41.一輛貨車從超市出發(fā)，向東走了3千米到達小彬家，繼續(xù)走2.5米到達小

穎家，然后向西走了10千米到達小明家，最后回到超市.

（1）小明家距小彬家多遠？

（2）貨車一共行駛了多少千米？

（3）貨車每千米耗油0.2升，這次共耗油多少升？

【答案】（1）7.5千米（2）貨車一共行駛了20千米；（3）這次共耗油4升.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，得到表示小明家與小彬家的兩點之間的距離，利用1個單

位長度表示1千米，即可得到實際距離；

（2）根據(jù)數(shù)軸，結(jié)合實際情況，即可得到貨車行駛的路程；

（3）由（2）知路程是20千米，乘以0.2即可求得耗油量.

【詳解】解：如圖：以超市為原點，向東為正方向，則

小明家超市小彬家〃麋家

“4卜+I-一6+，?■?,+，,4-?

-5-4-3-2-10123456?

（1）根據(jù)數(shù)軸可知：小明家距小彬家7.5個單位長度，

...小明家距小彬家7.5千米；

（2）根據(jù)題意，貨車一共行駛了：2x10=20（千米）.

答：貨車一共行駛了20千米.

（3）20x0.2=4（升）.

答：這次共耗油4升.

【點睛】本題考查了利用數(shù)軸表示一對具有相反意義的量，借助數(shù)軸用幾何方法解

決問題，有直觀、簡捷，舉重若輕的優(yōu)勢.

42.已知|x—11=3,求一3|1+5的值.

【答案】0或-14

【解析】

【分析】根據(jù)絕對值的定義求出x的值，代入即可求解.

【詳解】解：???反-1|=3,

；.x=4或-2,

當x=4時，-3|l+x|-|x|+5=-15-4+5=-14；

當x=-2時，一31l+x|一|+5=-3-2+5=0.

【點睛】本題考查絕對值，掌握絕對值的定義是解題的關鍵.

43.已知。的相反數(shù)等于2,同=3,求a,b的值.

【答案】a=-2,b=±3.

【解析】

【分析】根據(jù)相反數(shù)、絕對值的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：因為。的相反數(shù)等于2,所以a=-2.

因為|b|=3,所以b=±3

【點睛】此題主要考查有理數(shù)的應用，解題的關鍵是熟知相反數(shù)、絕對值的性質(zhì).

44.計算:

(1)(-3)2-(-3)3-22+(-22)

(2)3-25-[H)-H)+H)+

(3)(-4)+(-3)X45+(-5)

(2111、八

(5)----+—x(-36)

(9418廣1

(6)-12X(-5)4-[-32+(-2)2].

191

【答案】(1)28.(2)-2—.(3)-12.(4)—.(5)-1.(6)-12

2416

【解析】

【分析】(1)先乘方，再加減即可；

(2)先把括號中的減法變?yōu)榧臃?，再算括號中的加法，最后去中括號后通分即?

(3)先把除法變?yōu)槌朔?，再根?jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可；

(4)先把除法變?yōu)槌朔?，再根?jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可；

(5)先把括號中的通分計算后，再算乘法即可；

(6)先乘方，再計算中括號，最后根據(jù)有理數(shù)的乘法法則計算即可.

【詳解】⑴(-3)2-(-3/-22+(-22)

=9-(-27)-4+(-4)

=9+27-8

(3)(-4)^-(-3)x45-(-5)

=—12

1

-T6

⑸-%⑶(*)

9(-光)

JO

(6)-12x(-5)+-3-+(-2)

=-12x(-5)^(-9+4)

=-12x(-5)+(-5)

=-12

【點睛】本題主要整式的運算，解題的關鍵是熟練地掌握整式的運算法則.

4s.已知同=2,|b|=5

(1)求a+b；

(2)若又有a>b,求a+b.

【答案】(1)7或-3或3或-7,(2)-3或-7

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)絕對值求出6的值，再計算。+6；

(2)根據(jù)。>6,確定a、b的值，再計算。+江

【詳解】解：⑴???同=2,\b\=5,

tz=i2,6=±5,

當a=2,6=5時，a+6=2+5=7；

當a=2,6=-5時，a+b=2+(-5)=-3；

當a=-2,8=5時，a+6=-2+5=3；

當a=-2,6=-5時，a+b=-2+(-5)=-7；

(2)V\a\=2,\b\=5,a>b,

??a=±2,b'=-5,

當a=2,6=-5時，a+b=2+(-5)=-3；

當a=-2,b=-5時，a+b--2+(-5)=-7.

【點睛】本題考查了絕對值和有理數(shù)的加法，解題關鍵是明確絕對值的意義，準確

進行計算.

46.畫出數(shù)軸，把下列各數(shù)及它們的相反數(shù)表示在數(shù)軸上，并將這些數(shù)按從小到大

的順序用連接.2,0,—-3.

【答案】數(shù)軸見解析，—3<—2<—!<0<，<2<3

22

【解析】

【分析】先求出各數(shù)的相反數(shù)，再在數(shù)軸上表示出來，根據(jù)數(shù)軸上的位置，用"V”

連接即可.

【詳解】解：2的相反數(shù)是-2,0的相反數(shù)是0,—g的相反數(shù)是—3的相反數(shù)

是3,在數(shù)軸是表示如圖所示，用連接如下：-3<-2<」<0<]<2<3.

22

11

-4-3-2-10123456

【點睛】本題考查了相反數(shù)的意義和在數(shù)軸上表示數(shù)以及有理數(shù)的大小，解題關鍵

是準確求出各數(shù)的相反數(shù)，在正確的在數(shù)軸上表示出來，利用數(shù)軸比較大小.

47.點、A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,點工與原點。兩點之間的距離表

示為40,則AO=\a-0\=\a\,類似地，點B與原點O兩點之間的距離表示為B0,

則3O=|b|,點4與點3兩點之間的距離表示為Z8=|a-b|.請結(jié)合數(shù)軸，思考并回答

以下問題：

(1)①數(shù)軸上表示1和一3的兩點之間的距離是；

②數(shù)軸上表示m和一1的兩點之間的距離是；

③數(shù)軸上表示m和一1的兩點之間的距離是3,則有理數(shù)m是；

(2)若x表示一個有理數(shù),并且x比一3大，x比1小，則|x-l|+|x+3|=；

(3)求滿足|x-2|+|x+4|=6的所有整數(shù)x的和.

【答案】(1)①4②m+l|③m=2或m=-4(2)4(3)-7

【解析】

【詳解】試題分析：(1)①和②根據(jù)題中給出的方法，分別求兩點表示的數(shù)的差的

絕對值即可；③根據(jù)題中方法可得|m-(-1)|=3,求出m即可；(2)由x比一3大，

x比1小，則|x-l|+|x+3|表示在1和-3之間的一點，至U1的距離與到-3的距離的和，

即1到-3的距離；(3)可把問題轉(zhuǎn)換為求到點2和點-4距離之和等于6的整數(shù)點.

解：(1)①數(shù)軸上表示1和一3的兩點之間的距離是|1-(-3)|=4；

②數(shù)軸上表示m和一1的兩點之間的距離是g-(-1)|=|m+l|；

③根據(jù)題意，得|m-(-1)|=3,即|m+l|=3,解得m=2或-4；

(2)由x比一3大，x比1小，則|x-l|+|x+3|表示在1和2之間的一點，到1的距離

與到-3的距離的和，即等于1到-3的距離4；

(3)把問題轉(zhuǎn)換為求x到點2和點-4的距離之和等于6的點，則x大于等于-4,且

小于等于2,故x可以取-4,-3,-2,共7個.

48.已知：a,b互為相反數(shù)，c,1互為倒數(shù)，x的絕對值是2,