新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性課件44數(shù)學(xué)歸納法

*數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法(1)概念:一般地,證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:只要完成這兩個(gè)步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立,這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.必備知識·素養(yǎng)奠基(2)證明形式:記P(n)是一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題.條件:(1)P(n0)為真;(2)若P(k)(k∈N*,k≥n0)為真,則P(k+1)也為真.結(jié)論:P(n)為真.【思考】(1)驗(yàn)證的第一個(gè)值n0一定是1嗎?提示:不一定,如證明“凸n邊形對角線的條數(shù)f(n)=”時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證n=3是否成立.(2)在第二步證明中,必須從歸納假設(shè)用綜合法證明嗎?提示:不是,在歸納遞推中,可以應(yīng)用綜合法、分析法、反證法、放縮法等各種證明方法.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明. ()(2)不管是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)由n=k到n=k+1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng). ()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,驗(yàn)證n=1時(shí),左邊式子應(yīng)為1+2+22+23. ()提示:(1)×.也可以用其他方法證明.(2)×.有的增加了不止一項(xiàng).(3)√.觀察左邊的式子可知有n+3項(xiàng),所以驗(yàn)證n=1時(shí),左邊式子應(yīng)為1+2+22+23.2.已知?jiǎng)t ()A.f(n)共有n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),B.f(n)共有n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),C.f(n)共有n2-n項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),D.f(n)共有n2-n+1項(xiàng),當(dāng)n=2時(shí),【解析】選D.結(jié)合f(n)中各項(xiàng)的特征可知,分子均為1,分母為n,n+1,…,n2的連續(xù)自然數(shù)共有n2-n+1個(gè),且3.用數(shù)學(xué)歸納法證明“1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)”的過程中,第二步n=k時(shí)等式成立,則當(dāng)n=k+1時(shí)應(yīng)得到 ()A.1+2+22+…+2k-2+2k-1=2k+1-1B.1+2+22+…+2k+2k+1=2k-1+2k+1C.1+2+22+…+2k-1+2k+1=2k+1-1D.1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1【解析】選D.因?yàn)閷⑹阶?1+2+22+…+2n-1=2n-1中n用k+1替換得:當(dāng)n=k+1時(shí),有1+2+22+…+2k-1+2k=2k+1-1.關(guān)鍵能力·素養(yǎng)形成類型一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【典例】用數(shù)學(xué)歸納法證明:【思維·引】等式的左邊有2n項(xiàng),右邊有n項(xiàng),左邊的分母是從1到2n的連續(xù)正整數(shù),末項(xiàng)與n有關(guān),右邊的分母是從n+1到n+n的連續(xù)正整數(shù),首、末項(xiàng)都與n有關(guān).【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊右邊=,等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)等式成立,即那么當(dāng)n=k+1時(shí),左邊

右邊,所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立.綜合(1)(2)知對一切n∈N*,等式都成立.【內(nèi)化·悟】用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí)的關(guān)鍵是什么?要注意什么?提示:用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題,關(guān)鍵是第二步,要注意當(dāng)n=k+1時(shí),等式兩邊的式子與n=k時(shí)等式兩邊的式子的聯(lián)系,增加了哪些項(xiàng),減少了哪些項(xiàng),問題就會(huì)順利解決.【類題·通】數(shù)學(xué)歸納法證題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)驗(yàn)證是基礎(chǔ)找準(zhǔn)起點(diǎn),奠基要穩(wěn),有些問題中驗(yàn)證的初始值不一定是1.(2)遞推是關(guān)鍵數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)在于遞推,所以從“k”到“k+1”的過程中,要正確分析式子項(xiàng)數(shù)的變化.關(guān)鍵是弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,弄清由n=k到n=k+1時(shí),等式的兩邊會(huì)增加多少項(xiàng)、增加怎樣的項(xiàng).(3)利用假設(shè)是核心在第二步證明n=k+1成立時(shí),一定要利用歸納假設(shè),即必須把歸納假設(shè)“n=k時(shí)命題成立”作為條件來導(dǎo)出“n=k+1”也成立,在書寫f(k+1)時(shí),一定要把包含f(k)的式子寫出來,尤其是f(k)中的最后一項(xiàng),這是數(shù)學(xué)歸納法的核心,不用歸納假設(shè)的證明就不是數(shù)學(xué)歸納法.【習(xí)練·破】用數(shù)學(xué)歸納法證明:【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊右邊左邊=右邊,所以等式成立.(2)假設(shè)n=k(k∈N*且k≥1)時(shí)等式成立,即有則當(dāng)n=k+1時(shí),所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立,由(1)(2)可知,對于一切n∈N*等式都成立.【加練·固】用數(shù)學(xué)歸納法證明12+32+52+…+(2n-1)2=n(4n2-1)(n∈N*).【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=12,右邊=×1×(4×1-1)=1,左邊=右邊,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),等式成立,即12+32+52+…+(2k-1)2=k(4k2-1),則當(dāng)n=k+1時(shí)12+32+52+…+(2k-1)2+(2k+1)2=k(4k2-1)+(2k+1)2=k(2k+1)(2k-1)+(2k+1)2=(2k+1)[k(2k-1)+3(2k+1)]=(2k+1)(2k2+5k+3)=(2k+1)(k+1)(2k+3)=(k+1)(4k2+8k+3)=(k+1)[4(k+1)2-1],即當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立.由(1)(2)可知,對一切n∈N*等式成立.類型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【典例】求證:

【思維·引】由n≥2知n的初始值為2,在第二步可以應(yīng)用分析法或放縮法證明.【解析】(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊故左邊>右邊,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí)命題成立,即則當(dāng)n=k+1時(shí),方法一(分析法)下面證*式≥,即只需證(3k+2)(3k+3)+(3k+1)(3k+3)+(3k+1)(3k+2)-3(3k+1)(3k+2)≥0,只需證(9k2+15k+6)+(9k2+12k+3)+(9k2+9k+2)-(27k2+27k+6)≥0,只需證9k+5≥0,顯然成立.所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.方法二(放縮法)*式所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)(2)可知,原不等式對一切n≥2,n∈N*均成立.【內(nèi)化·悟】1.在什么條件下適合應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題?提示:當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.2.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的關(guān)鍵是由n=k時(shí)成立得n=k+1時(shí)成立,這一步驟有哪些方法?提示:主要方法有①放縮法;②利用基本不等式法;③作差比較法等.【類題·通】用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題的四個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)【習(xí)練·破】用數(shù)學(xué)歸納法證明:對一切大于1的自然數(shù),不等式均成立.【證明】(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=1+=;右邊=.因?yàn)樽筮?gt;右邊,所以不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2,且k∈N*)時(shí)不等式成立,即則當(dāng)n=k+1時(shí),所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)(2)知,對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.【加練·固】已知數(shù)列{an},an≥0,a1=0,求證:當(dāng)n∈N*時(shí),an<an+1.【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí),因?yàn)閍2是方程+a2-1=0的正根,所以a1<a2.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,k≥1)時(shí),0≤ak<ak+1,則由得ak+1<ak+2,即當(dāng)n=k+1時(shí),an<an+1也成立.根據(jù)(1)和(2),可知an<an+1對任何n∈N*都成立.類型三歸納-猜想-證明【典例】在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中,數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=(1)求a1,a2,a3.(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并且用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.【思維·引】(1)數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù),且,所以可根據(jù)解方程求出a1,a2,a3.(2)觀察a1,a2,a3猜想出{an}的通項(xiàng)公式an,然后再證明.【解析】(1)S1=a1=得=1.因?yàn)閍n>0,所以a1=1,由S2=a1+a2=,得+2a2-1=0,所以a2=-1.又由S3=a1+a2+a3=,得+2a3-1=0,所以a3=-.(2)猜想an=-(n∈N*)證明:①當(dāng)n=1時(shí),a1=1=-猜想成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時(shí)猜想成立即ak=-,則當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1=Sk+1-Sk所以即n=k+1時(shí)猜想成立.由①②知,

【素養(yǎng)·探】本題運(yùn)用了從特殊到一般的探索、歸納、猜想及證明的思維方式去探索和發(fā)現(xiàn)問題,并證明所得結(jié)論的正確性,這是非常重要的一種思維能力,在這類問題中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是邏輯推理.已知(1)當(dāng)n=1,2,3時(shí),試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系.(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系,并給出證明.

【解析】(1)當(dāng)n=1時(shí),f(1)=1,g(1)=1,所以f(1)=g(1);當(dāng)n=2時(shí),f(2)=,g(2)=,所以f(2)<g(2);當(dāng)n=3時(shí),f(3)=,g(3)=,所以f(3)<g(3).(2)由(1)猜想f(n)≤g(n),下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明.①當(dāng)n=1,2,3時(shí),不等式顯然成立.②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3,k∈N*)時(shí)不等式成立,即那么,當(dāng)n=k+1時(shí),

因?yàn)樗杂散佗诳芍?對一切n∈N*,都有f(n)≤g(n)成立.

【類題·通】1.“歸納——猜想——證明”的解題步驟2.“歸納——猜想——證明”解決的主要問題(1)已知數(shù)列的遞推公式,求通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和.(2)由一些恒等式,不等式改編的一些探究性問題,求使命題成立的參數(shù)值是否存在.(3)給出一些簡單命題(n=1,2,3……),猜想并證明對任意正整數(shù)n都成立的一般性命題.提醒:①計(jì)算特例時(shí),不僅僅是簡單的算數(shù)過程,有時(shí)要通過計(jì)算過程發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律;②猜想必須準(zhǔn)確,絕對不能猜錯(cuò),否則將徒勞無功.③如果猜想出來的結(jié)論與正整數(shù)n有關(guān),一般用數(shù)學(xué)歸納法證明.【習(xí)練·破】(2020·全國Ⅲ卷)設(shè)數(shù)列滿足a1=3,an+1=3an-4n.(1)計(jì)算a2,a3,猜想的通項(xiàng)公式并加以證明;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)由題意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15-8=7,由數(shù)列的前三項(xiàng)可猜想數(shù)列是以3為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,即an=2n+1,證明如下:當(dāng)n=1時(shí),a1=3成立;假設(shè)n=k(k≥1,k∈N*)時(shí),ak=2k+1成立.那么n=k+1時(shí),ak+1=3ak-4k=3(2k+1)-4k=2k+3=2(k+1)+1也成立.則對任意的n∈N*,都有an=2n+1成立.(2)由(1)可知,an·2n=(2n+1)·2n,Sn=3×2+5×22+7×23+…+(2n-1)·2n-1+(2n+1)·2n,①2Sn=3×22+5×23+7×24+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1,②由①-②得:即Sn=(2n-1)·2n+1+2.課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.證明