第02講等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和分層精練

第02講等差數(shù)列及其前項(xiàng)和A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如將一定數(shù)目的點(diǎn)在等距離的排列下可以形成一個(gè)等邊三角形，這樣的數(shù)被稱為三角形數(shù)．如圖所示，三角形數(shù)，，，……在這個(gè)自然數(shù)中三角形數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意知，，……可歸納為，則，，故在中三角形數(shù)的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：A．2．（2023春·河南洛陽·高二洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若一個(gè)等差數(shù)列的前7項(xiàng)和為21，則該等差數(shù)列的第4項(xiàng)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【詳解】因?yàn)榈?項(xiàng)為該等差數(shù)列前7項(xiàng)的中間項(xiàng)，所以，故選：B.3．（2023·湖北襄陽·襄陽四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，則的值為（

）A．2033 B．2123 C．123 D．0【答案】D【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，故選：D.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)為正項(xiàng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，可得，可得，又由且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.5．（2023春·廣東茂名·高二廣東高州中學(xué)?？计谥校┪覈?guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書里出現(xiàn)了如圖所示的表，即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就.在“楊輝三角”中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……，則此數(shù)列的前56項(xiàng)和為（

）A．2060 B．2038 C．4038 D．4084【答案】D【詳解】去除所有為1的項(xiàng)后，剩下的每一行的個(gè)數(shù)為，對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為1公差為1的等差數(shù)列，則前行數(shù)字個(gè)數(shù)之和為，當(dāng)時(shí)，，所以該數(shù)列的第56項(xiàng)是楊輝三角中第13行第二個(gè)數(shù)字.故該數(shù)列前56項(xiàng)和表示：楊輝三角中前12行數(shù)字之和，減去所有23個(gè)1，再加上楊輝三角中第13行第二個(gè)數(shù)字12即可，故所求數(shù)列的前項(xiàng)和為：.故選：D.6．（2023春·廣東佛山·高二佛山一中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為，，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，得，.故選：B.7．（2023春·江西景德鎮(zhèn)·高二景德鎮(zhèn)一中校考期中）南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國(guó)古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列．以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列．若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，3，6，11，則該數(shù)列的第10項(xiàng)為（

）A．84 B．83 C．82 D．81【答案】B【詳解】設(shè)二階等差數(shù)列為，令，則，由題意可得：數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，則，即，所以.故選：B.8．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，當(dāng)n取最大值時(shí)，的值為（

）A．10 B．61 C．64 D．73【答案】D【詳解】因?yàn)闉檫f增數(shù)列且均為正整數(shù)，，，若n取最大值時(shí)，則當(dāng)時(shí)，均取到最小，即，即當(dāng)時(shí)，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，則，又因?yàn)?，若n的最大值為61，則，符合題意；若n的最大值為62，則，不符合題意；綜上所述：當(dāng)n取最大值時(shí)，的值為73.故選：D.二、多選題9．（2023春·福建福州·高二福建省福州第一中學(xué)?？计谥校┯洖閿?shù)列的前n項(xiàng)和，若，且，，成等比數(shù)列，則（

）A．為等差數(shù)列 B．C．，，成等比數(shù)列 D．有最大值，無最小值【答案】AC【詳解】由題意，得：，，是首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，，由于成等比數(shù)列，，，解得；對(duì)于A，正確；對(duì)于B，錯(cuò)誤；對(duì)于C，，正確；對(duì)于D，，是關(guān)于n的二次函數(shù)，所以在或13處取得最小值，無最大值，錯(cuò)誤；故選：AC.10．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，則（

）A． B．的前10項(xiàng)和為150C．的前11項(xiàng)和為-14 D．的前16項(xiàng)和為168【答案】ACD【詳解】由得：當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，故，當(dāng)時(shí)，也符合，故，對(duì)于A,，故A正確，對(duì)于B，的前10項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的前11項(xiàng)和為，故C正確，對(duì)于D，當(dāng)，解得，所以，所以的前16項(xiàng)和為，故D正確，故選：ACD三、填空題11．（2023·陜西西安·統(tǒng)考三模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則符合題意的等差數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為________．【答案】（答案不唯一）【詳解】因?yàn)椋?，，所以，，，設(shè)數(shù)列的公差為，則，取，又，可得，故數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為，故答案為：（答案不唯一）.12．（2023春·山東淄博·高二沂源縣第一中學(xué)?？计谥校┰O(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，.若，則______【答案】【詳解】因?yàn)?，，所?故答案為：四、解答題13．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，．(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，兩式相減，得．所以數(shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為，因?yàn)椋?，所以?dāng)時(shí)，，顯然不適合，故；（2）因?yàn)椋瑪?shù)列從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差為，所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，當(dāng)，所以當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為，所以.14．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知，．(1)求，；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【答案】(1)，(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，得，得（舍）或，當(dāng)時(shí)，，得，得或（舍），故，.（2）當(dāng)時(shí)，，又，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.B能力提升1．（2023春·云南·高三云南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，滿足，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，n的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【詳解】設(shè)等差數(shù)列{}的公差為，因?yàn)?，即，所以，因?yàn)?，解得，所以，則，這是關(guān)于的二次函數(shù)，開口向上，在處取得最小值，由于，最靠近的正整數(shù)為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：D．2．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，當(dāng)n取最大值時(shí)，的值為（

）A．10 B．61 C．64 D．73【答案】D【詳解】因?yàn)闉檫f增數(shù)列且均為正整數(shù)，，，若n取最大值時(shí)，則當(dāng)時(shí)，均取到最小，即，即當(dāng)時(shí)，可得，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為3，公差為1的等差數(shù)列，則，又因?yàn)椋鬾的最大值為61，則，符合題意；若n的最大值為62，則，不符合題意；綜上所述：當(dāng)n取最大值時(shí)，的值為73.故選：D.3．（2023春·北京海淀·高二101中學(xué)?？计谥校?duì)任意，若遞增數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)恰為m，且，則n的最小值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【詳解】由遞增數(shù)列中不大于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)恰為可知，又，故，即，解得或，又，故的最小值為10.故選：C.4．（多選）（2023春·湖北·高二武漢市第四十九中學(xué)校聯(lián)考期中）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，則的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，解得，所以，，所以，，則，因?yàn)楹愠闪ⅲ瑒t，BCD選項(xiàng)滿足條件.故選：BCD.5．（2023·遼寧大連·大連二十四中?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，其中，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，，綜上所述：.C綜合素養(yǎng)1．（多選）（2023春·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市第八中學(xué)校?？计谥校┮阎獢?shù)列滿足，則（

）A． B．的前10項(xiàng)和為150C．的前11項(xiàng)和為-14 D．的前16項(xiàng)和為168【答案】ACD【詳解】由得：當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，故，當(dāng)時(shí)，也符合，故，對(duì)于A,，故A正確，對(duì)于B，的前10項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，的前11項(xiàng)和為，故C正確，對(duì)于D，當(dāng)，解得，所以，所以的前16項(xiàng)和為，故D正確，故選：ACD2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）對(duì)于數(shù)列，定義，稱新數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列；定義，稱新數(shù)列為數(shù)列的二階差分?jǐn)?shù)列．若，則稱數(shù)列是二階等差數(shù)列．已知是二階等差數(shù)列，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【答案】【詳解】由題意可知，，在推理時(shí)，我們也可以利用表格的形式，如下表．n123456……248142232……24681012……222222……由此表可知，，故，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故，即，由累加法可得．而時(shí)，也符合該式，故.故答案為：.3．（2023·四川巴中·南江中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若恒成立，則的最大值是___________.【答案】【詳解】因?yàn)椋?，所以?shù)列是常數(shù)列，則，可得，故，因?yàn)楹愠闪ⅲ院愠闪?，即恒成立，設(shè)，則，從而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以的最小值是，即，所以?shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.4．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列，如果為等差數(shù)列，則稱原數(shù)列為二階等差數(shù)列，一般地，如果為K階等差數(shù)列，就稱原數(shù)列為階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個(gè)三階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1，4，10，20，35，56，84，則該數(shù)列的第