二次函數(shù)拋物線與三角形存在性問題（教師版）

專題09二次函數(shù)拋物線與三角形存在性問題(解析版)

類型一二次函數(shù)與等腰三角形

1.(2022秋?和平區(qū)校級期中)如圖，拋物線y=o?+法+c(“W0)與y軸交于點C(0,4),與x軸交于點

A和點B,其中點A的坐標(biāo)為(-2,0),拋物線的對稱軸x=l與拋物線交于點。，與直線BC交于點E.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點尸是直線BC上方的拋物線上的一個動點，是否存在點F使四邊形ABFC的面積最大,若存在，

求出點F的坐標(biāo)和最大值；若不存在，請說明理由；

(3)平行于DE的一條動直線/與直線BC相交于點P,與拋物線相交于點。，若以。、E、P、。為頂

點的四邊形是平行四邊形，求P點的坐標(biāo).

(4)探究對稱軸上是否存在一點P,使得以點P,C,A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直

接寫出所有符合條件的P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)由拋物線y=a?+bx+c經(jīng)過點C(0,4)、A(-2,0),且對稱軸為x=l,列方程組得

{c=4

4a-2b+c=0f解方程組求出b、c的值，即得到拋物線的解析式為y=-#+x+4；

一而=1

(2)作FHLx軸于點4,交2c于點G,設(shè)F(x,-1?+x+4),求得直線3C的解析式為y=-x+4,則

G(x,-x+4),所以FG=—#+2x,則SAFBC=4x4(―1+2x)=-/+4x,可求得SIMMSABFC=-

/+4x+/x6X4=-(.x-2)2+16,則當(dāng)x=2時，S四邊彩SABFC或大=16,此時，F(xiàn)(2.4)；

(3)設(shè)P(x,-x+4),則0(x,-$2+X+4),PQ^\-^+2X\,由尸Q〃OE,KPQ=DE,得|一32+〃|=

I，解方程求出符合題意的x的值，再求出點P的坐標(biāo)即可；

(4)設(shè)尸(1,w),則4。2=20,必2=扇+9,PC2=/M2-8W+17,再分三種情況討論，一是B4=PC,

則加2+9=機(jī)2-8〃Z+17；二是PC=AC,則加2-8〃?+17=20；三是m=AC,則"2+9=20,解方程求出相

應(yīng)的膽的值，再求出點P的坐標(biāo)即可.

解：(1)拋物線尸/+瓜+<?經(jīng)過點C(0,4)、A(-2,0),且對稱軸為x=l,

c=4

4Q—2b+c=0

{告】‘

(1

Q=「

解得b=l，

=4

，拋物線的解析式為產(chǎn)-p+x+4.

(2)存在，

如圖1,作軸于點”，交BC于點G,設(shè)F(x,-1?+x+4),

?.?點8與點4(-2,0)關(guān)于直線x=l對稱，

：.B(4,0),AB=4+2=6,

設(shè)直線BC的解析式為>=丘+4,則以+4=0,

解得Q-1,

?"=-x+4,

??G(x,-x+4),

In1

FG=—2廠+x+4-(-x+4)=-］廠+2x,

iIi1)、1

:?SNBC=aOH?FG+aBH?FG=Ix4(一/+2x)=-x2+4x,

:?S四邊形SA5FC=SAFBC+S2V15C=-f+4x+/x6X4=-(x-2)2+16,

???當(dāng)x=2時，S四邊形SA8R:最大=16,F(2,4),

???點廠的坐標(biāo)是(2,4),四邊形ABFC的面積的最大值是16.

(3)如圖2,設(shè)P(x,-x+4),則。(x,-%2+戶4),

P0=|-^X2+X+4-(-x+4)|=|-^X2+2X\,

拋物線y=—5a+x+4,當(dāng)x=l時，y=焉，

J乙JL

9

：.D(1,-)；

2

直線y=-x+4,當(dāng)x=l時，y=-1+4=3,

：.E(1,3),

93

DE=2-3=于

-PQ//DE,且以。、E、P、。為頂點的四邊形是平行四邊形，

:?PQ=DE,

^X2+2X|=I，

當(dāng)一#+2x=3時，解得xi=3,皿=1(不符合題意，舍去)，

：.P\(3,1)；

當(dāng)—$^+2x=-5時，解得xi=2+V^,x2=2—V7,

：.P2(2+V7,2-V7),P3(2-V7,2+V7),

綜上所述，點尸的坐標(biāo)是(3,1)或(2+近，2-V7)或(2-6，2+V7).

(4)存在，設(shè)P(1,加)，

(-2,0),C(0,4),

.*.AC2=22+42=20,雨2=〃?2+Q+2)2=/+%pd=(〃?-4)2+12=?72-8/n+17,

當(dāng)A4=PC時，則加2+9=加2-8帆+17,

解得771=1,

：.P\(1,1)；

當(dāng)PC=4C時，則川-8機(jī)+17=20,

解得，〃i=4—W2=4+V19,

：.P2(1,4-V19),尸3(1,4+V19)；

當(dāng)B4=AC時,則川+9=20,

解得見=，TT,mi=—Vil,

:.P4(1,VTT),P5(1,-Vil),

綜上所述，P點的坐標(biāo)(1,1)或(1,4-V19)或(1,4+V19)或(1,VT1)或(1,-V11).

總結(jié)提升：此題重點考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、

平行四邊形的判定、等腰三角形的判定、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識與方法，此題綜合

性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題.

2.(2019?黃岡)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(-2,2),8(-2,0),C(0,2),D(2,

0)四點，動點M以每秒加個單位長度的速度沿C—￡)運(yùn)動(M不與點8、點。重合)，設(shè)運(yùn)動時間

為t(秒).

(1)求經(jīng)過A、C、。三點的拋物線的解析式；

(2)點P在(1)中的拋物線上，當(dāng)M為BC的中點時，若△HIM四△PBM,求點P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)何在CO上運(yùn)動時，如圖②.過點M作軸，垂足為凡MELAB,垂足為E.設(shè)矩形MEBF

與△BCD重疊部分的面積為S,求S與，的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值；

(4)點。為x軸上一點，直線AQ與直線8c交于點H,與y軸交于點K.是否存在點Q,使得△”0K

為等腰三角形？若存在，直接寫出符合條件的所有Q點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)設(shè)函數(shù)解析式為>=以2+扇+°,將點4(-2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式即

可；

(2)由已知易得點尸為AB的垂直平分線與拋物線的交點，點P的縱坐標(biāo)是1,則有1=一//—%+2,

即可求P;

11QaACA

(3)S=5X(GM+BF)XMF=X(2L4+r)X(4-f)=-4-8/-8=一(t—弓)~+q;

(4)設(shè)點Q(〃?，0),直線8c的解析式y(tǒng)=x+2,直線AQ的解析式尸一品(x+2)+2,求出點K(0,

衛(wèi)口，//(---網(wǎng)￥),由勾股定理可得。片=(工^)2,OH2=(—^)2+(必要A，HK2=(―^)2+

kyvJky

7n+2m+4m+4?n+4m+4m+4

(空魯-碧)2，分三種情況討論△a°K為等腰三角形即可?

I!II*11LI乙

解：(1)設(shè)函數(shù)解析式為y=a^+bx+c,

將點4(-2,2),C(0,2),D(2,0)代入解析式可得

2=4Q—2b+c

2=c,

0=4Q+2b+c

y——^v+2；

(2)"：XPAMQXPBM,

：.PA=PB,MA=MB,

???點、P為AB的垂直平分線與拋物線的交點,

???A8=2,

?,?點戶的縱坐標(biāo)是1,

?*.1=-4——]X+2，

'.x=-1+遮或x=-1—75,

：.P(-1-V5,1)或尸(-1+花，1)；

(3)CM=V2r-2V2,MG=^2CM=2t-4,

MD=4V2-(BC+CM)=4近-(2近+依-2丘)=4a_at,

MF=￥/￡>=4-t,

ABF=4-4+/=/,

1-1OORnR

：.S=^x(GM+BF)XMF=^x⑵-4+f)X(4-z)=-U2+8/-8=-5(f-^)2+^；

當(dāng)t=號時，s最大值為*

(4)設(shè)點Q(/?,0),直線BC的解析式y(tǒng)=x+2,

直線AQ的解析式丫=一而各(x+2)+2,

2m42m+4

：.K(0,------),H(一——r,---------),

m+2m+47n+4

；.OK2=(^^)2,OH2=(-^)2+(^^)2,HK2=(-^)2+--^)2>

vm+274n+4，'m+4Jv?n+4y'm+4m+2y

①當(dāng)OK-OH時，磊)2=(島)2+(^)2,

.,.3/M2+12/n+8=0,

o2

：.m=-2+q8或m=-2-^V3；

②當(dāng)°H=HK時，(高)2+(黯)2=(會#+(鬻一1^)2,

..nr+4m+8=0,

Am無解；

③當(dāng)°K=HK時，(^)2=(孤)2+(豁一貂)2，

n^+Am-8=0,

?\m=-2+2A/5或m--2-2V3；

oo

綜上所述：Q(-2+2V3,0)或。(-2-2次，0)或。(-2+今次，0)或Q(-2-毋后0)

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)綜合；熟練應(yīng)用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，掌握三角形全等的性質(zhì)，直線

交點的求法是解題的關(guān)鍵.

類型二二次函數(shù)與直角三角形

3.(2022?呼和浩特)如圖，拋物線產(chǎn)一羅+fcv+c經(jīng)過點B(4,0)和點C(0,2),與x軸的另一個交點

為A,連接AC、BC.

(1)求拋物線的解析式及點A的坐標(biāo)；

(2)如圖1,若點。是線段AC的中點，連接BQ,在y軸上是否存在點E,使得△BCE是以BQ為斜

邊的直角三角形？若存在，請求出點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

(3)如圖2,點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，過點P作軸，分別交BC、x軸于點M、N,

當(dāng)△PMC中有某個角的度數(shù)等于NOBC度數(shù)的2倍時，請求出滿足條件的點P的橫坐標(biāo).

(2)由A(-l,0),C(0,2),知線段4c的中點￡>(一表1),設(shè)E(0,f),根據(jù)NBE￡)=90°,得

[(4-0)2+(0--]+[(―*一。)~+(1*?)2]=(4+~+(0-1)■?即可解得E的坐標(biāo)為(0,-1)

或(0,2)；

(3)分當(dāng)NPCM=2NOBC時，/CMP=2NOBC時，當(dāng)/CPM=2NO8C時三種情況，利用二次函數(shù)

的性質(zhì)和等腰三角形，勾股定理等性質(zhì)進(jìn)行計算即可.

解：⑴將點8(4,0)和點C(0,2)代入拋物線產(chǎn)一"+6x+c中，

2

啖x44-4Z?+c=0，

解得

拋物線的解析式為產(chǎn)-#+%+2,

在)=—浜+2中，令y=o得—發(fā)+2=0，

解得：X1=-1,X2=4,

：.A(-1,0)；

(2)存在y軸上一點E,使得△BDE是以8。為斜邊的直角三角形，理由如下:

如圖：

；點力是線段AC的中點，A(-1,0),C(0,2),

D(-2?1)>

設(shè)E(0,力，

又B(4,0),

；NBED=90°,

.'.BE2+DE2=fiD2,

即[(4-0)2+(0-Z)2]+[(-1-0)2+(1-Z)2]=(4+1)2+(0-1)2

化簡得：i2-t-2=0,

解得：fi=-1,12=2,

的坐標(biāo)為(0,-1)或(0,2)；

(3)'：B(4,0)、C(0,2),

二設(shè)直線BC的解析式為丫=履+2(AW0),

把點8(4,0)代入解析式得，4火+2=0,

解得：仁一手

,直線BC的解析式為y=-1x+2,

J2

設(shè)點PCm,-i^z2+^/n+2),則M(m,—｝，?+2),

①當(dāng)NPCM=2/OBC時，

：.ZFCM=ZOBC,F(w,2),

又,：4PCM=2/OBC,

：.ZPCF=/FCM=/OBC,

，少是線段PM的中點，

2

整理得：m2-2m=0,

解得：m=2或〃2=0,

??,點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，

*,?"2=2；

②NCMP=2/O8C時，

；ZCMP=NBMN,

：.ZBMN=2ZOBC,即ZBMN=2ZNBM,

：PN_Lx軸,

:,/BMN+NNBM=9￥,

即3NN8M=90°,

：.ZNBM=30°,

.?.oc=

,:BC=y/OC2+OB2=V4+16=275H4,

?.?此種情況不存在；

③當(dāng)/CPM=2N0BC時，

■:/CMP=/NMB=900-NOBC,

：.ZPCM=\SO°-ZCPM-ZCA/P=180°-2Z0BC-（90°-ZOBC）=90°-NOBC,

:?/PCM=/CMP,

：.PC=PM,

?,*~0）~+（—2m2-2）2=[（-.m?+）-（一+2）產(chǎn)，

整理得:〃??+j/w4—薪■為2=4m4-2/+4〃4,

Q

解得："7=2；

3

綜上所述，滿足條件的點P的橫坐標(biāo)為2或3

總結(jié)提升：本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰三角形性質(zhì)、直角三角形性質(zhì)及應(yīng)用，

利用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵.

4.（2019?廣西）如果拋物線Ci的頂點在拋物線C2上，拋物線C2的頂點也在拋物線Ci上時，那么我們稱

拋物線C1與C2“互為關(guān)聯(lián)”的拋物線.如圖，已知拋物線Ci：yi="+x與C2：y2=ot2+x+c是“互為

關(guān)聯(lián)”的拋物線，點A,B分別是拋物線Ci,C2的頂點，拋物線C2經(jīng)過點。（6,-1）.

（1）直接寫出A,B的坐標(biāo)和拋物線C2的解析式；

（2）拋物線C2上是否存在點E,使得△ABE是直角三角形？如果存在，請求出點E的坐標(biāo)；如果不存

在，請說明理由；

y

思路引領(lǐng)：(1)由拋物線Ci：yi=#+x可得A(-2,-1),將人(-2,-1),0(6,-1)代入”=

求得”=一//+x+2,B(2,3)；

(2)易得直線AB的解析式：y=x+l,①若3為直角頂點，BELAB,E(6,-1)；②若4為直角頂點,

AEA.AB,E(10,-13)；③若E為直角頂點，設(shè)E(機(jī)，~^m2+m+2)不符合題意;

解：由拋物線Ci：yi="+x可得A(-2,-1),

將A(-2,-1),0(6,-1)代入yzna?+x+c

ZB/4。-2+c=—1

(lo36rQ+?r6+?c=—.1

解得

lc=2

?'”=一五%2+4+2,

：.B(2,3)；

(2)易得直線A3的解析式：y=x+L

①若8為直角頂點，BE工AB,kBE?kAB=-1,

??kBE="1,

直線3E解析式為y=-x+5

y=—x4-5

聯(lián)立12工「，

y=—2%'+%+2

T,

解得x=2,y=3或x=6,y=-l,

：.E(6,-1)；

②若4為直角頂點，AELAB,

同理得AE解析式：y=-x-3,

(y=-x-3

聯(lián)立]2'＞，

(y=一/+%+2

解得元=-2,y=-1或x=10，y=-13,

：.E(10,-13)；

總結(jié)提升：本題考查了二次函數(shù)，熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

5.(2021?哪西縣校級模擬)如圖，拋物線y=+2r+3與x軸交于點A,點B,與y軸交于點C,點。與

點C關(guān)于x軸對稱，點P是拋物線上的一個動點.

(1)求直線8。的解析式；

(2)當(dāng)點P在第一象限時，求四邊形BOCP面積的最大值，并求出此時P點的坐標(biāo)；

(3)在點P的運(yùn)動過程中，是否存在點P,使△8DP是以BO為直角邊的直角三角形？若存在，求出點

思路引領(lǐng)：(1)對于)=-/+2x+3①，令x=0,則y=3,令y=-/+2%+3=0,解得x=-l或3,進(jìn)而

求解；

1111

(2)由四邊形80cp面積=SAOBC+S"HC+SZXPHB=/O8?OC+.XPHXOB=/3X3+*X3X(-

沁99

-

3)=-2

2--

(3)分NPBD為直角、為直角兩種情況，利用數(shù)形結(jié)合的方法，分別求解即可.

解：(1)對于)'=-/+2x+3①，令x=0,則y=3,令y=-7+2^+3=0,解得x=-l或3,

故點A、B、C的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,0)、(0,3),

;點。與點C關(guān)于x軸對稱，故點力(0,-3),

設(shè)直線BO的表達(dá)式為y=fc<+。，則｛:二二+匕，解得

故直線BD的表達(dá)式為y=x-3；

（2）連接8C,過點P作y軸的平行線交8c于點”,

由點B、C的坐標(biāo)，同理可得，直線8c的表達(dá)式為y=-x+3,

設(shè)點P（x,-/+2x+3）,則點”（x,-x+3）,

則四邊形BOCP面積=SAOBC+S#HC+SAPHB=|xOB'OC+^xPHXOB=1x3X3+1x3X（-f+2x+3+x

-3）=-去2+熱+9，

V-|<0,故四邊形BOCP面積存在最大值，

當(dāng)時，四邊形BOCP面積最大值為絲，此時點八三，—）；

2824

（3）存在，理由:

①當(dāng)/尸8。為直角時，如上圖所示,

此時點P與點C重合，過點尸的坐標(biāo)為（0,3）；

②當(dāng)/PO8為直角時,

由80的表達(dá)式知，直線8。與x軸的傾斜角為45°,

故設(shè)直線PD的表達(dá)式為y=-x+t,

將點。的坐標(biāo)代入上式得，-3=0+f,解得f=-3,

故直線PD的表達(dá)式為），=-x-3②，

聯(lián)立①②并解得：x=岑配，

故點尸的坐標(biāo)為（過誓，一號更）或理等，一守），

綜上，點P的坐標(biāo)為（?亙，_9+/33）或（q亙，_寫生）或（013）.

總結(jié)提升：本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、面積的計算

等，其中(3),要注意分類求解，避免遺漏.

類型三二次函數(shù)與等腰直角三角形

6.(2020?岳陽)如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線F"y=a(x—|)?+修與》軸交于點A(-|,

0)和點B,與y軸交于點C.

(1)求拋物線Fi的表達(dá)式；

(2)如圖2,將拋物線F\先向左平移1個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線F2,若拋物線Fl與

拋物線正2相交于點O,連接BO,CD,BC.

①求點。的坐標(biāo)；

②判斷△8CQ的形狀，并說明理由；

(3)在(2)的條件下，拋物線放上是否存在點P,使得ABOP為等腰直角三角形，若存在，求出點P

的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

思路引領(lǐng)：(1)把點A(-1,0)代入拋物線尸a(x-1)2+差中，求出a的值，即可求解；

(2)①由平移的原則：左加，右減，上加，下減，可得拋物線F2的解析式，與拋物線為聯(lián)立方程組,

解出可得點。的坐標(biāo)；

②根據(jù)兩點的距離公式和勾股定理的逆定理可得：△BOC是等腰直角三角形；

(3)設(shè)P[〃?，-|(m+|)2+i1],根據(jù)兩點的距離公式和勾股定理列方程可解出”的值，并確認(rèn)兩直

角邊是否相等，可得符合條件的點P的坐標(biāo).

解：⑴把點A(一地，0)代入拋物線F”尸a(x-1)2+黑中得：

5515

_z62,2,64

n0=a(一耳-5)+田

解得：a=—

；?拋物線為：y=—(X—

(2)①由平移得：拋物線電y=-f(x-1+l)2+^-3

?5(,3.,19

,?>1=-3(%+5)2+15,

,5.^3,2,19_5,2.2,64

?一@(x+耳)+正=—](『)+15'

1010

一下二可

解得：x=-1,

：.D(-1,1)；

②當(dāng)x=0時，了=-W乂言+,=4,

：.C(0,4),

當(dāng)),=0時，一卷(x——0,

解得：或2,

：.B(2,0),

'：D(-1,1),

(2+1)2+(1-0)2=10,

C￡>2=(o+l)2+(4-1)2=10,

BC2=22+42=20,

BD^+CD2=BC2且BO=C￡>,

...△BOC是等腰直角三角形;

(3)存在,

設(shè)P(w,—(jn+^)2+

,：B(2,0),。(-1,1),

:.B0=(2+1)2+12=10,PB2=(m-2)2+[-1(m+1)2+11]2,PD2=(m+l)2+[-|(m+1)2+

191口

15-1],

分三種情況：

①當(dāng)N￡）BP=90。時，BD2+PB2=PD2,

即10+Cm-2)2+[-|(m+|)2+y|]2=(m+1)2+[~|(m+|)2+y|-l]2,

解得：m=-4或1,

當(dāng)〃?=-4時，BD=y[T0,PB==36+324=6g,即△BD尸不是等腰直角三角形，不符合題意,

當(dāng)機(jī)=I時，BD=V10,PB=VTT9=VTo,

：.BD=PB,即△BDP是等腰直角三角形，符合題意，

：.P(1,-3)；

②當(dāng)/8?！?90。時，BD2+PD2=PB2,

即10+(m+1)"+[—(m+2+指-])=(/?-2)2+[-(m+,產(chǎn)+監(jiān)),

解得：m=-1(舍)或-2,

當(dāng)-2時，BD=V10,PD=V1T9=V10,

：.BD=PD,即此時△BOP為等腰直角三角形，

：.P(-2,-2)；

③當(dāng)N8PO=90°時，S.BP=DP,WBD^^PD^PB2,如圖3,

當(dāng)△8。尸為等腰直角三角形時，點Pi和P2不在拋物線上，此種情況不存在這樣的點P；

綜上，點P的坐標(biāo)是（1,-3）或（-2,-2）.

總結(jié)提升：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法和平移求二次函數(shù)解析式，勾股定理及逆

定理，兩點的距離公式，難點在于（3）根據(jù)直角三角形的直角頂點分情況討論.

7.（2022?黔東南州一模）拋物線），=〃/+區(qū)一3經(jīng)過點（1,-1）,現(xiàn)將一塊等腰直角三角板ABC（ZACB

/Z

=90°）按照如圖的方式放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點4、C坐標(biāo)分別為（0,2）、（-1,0）.B

點在拋物線尸一+阮—飄