反比例函數(shù)與一次函數(shù)二次函數(shù)的綜合運用（教師版）

專題11反比例函數(shù)與一次函數(shù)二次函數(shù)的綜合運用(解析版)

第一部分反刃弱析

類型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合運用

1.(2021?蓬江區(qū)校級二模)如圖，在平面直角坐標系X。1，中，己知正比例函數(shù)尸履與反比例函數(shù)尸的

圖象交于/,8(-2,“)兩點，過原點。的另一條直線/與雙曲線交于P,。兩點(0點在第四象

限)，若以點4B,P,。為頂點的四邊形面積為24,則點尸的坐標是

,可得出。=4,求得點8(-2,4),再根據(jù)點Z與8關于原

點對稱，得出“點坐標，由于雙曲線是關于原點的中心對稱圖形，因此以4、8、尸、。為頂點的四邊形

應該是平行四邊形，那么△尸02的面積就應該是四邊形面積的四分之一即6.可根據(jù)雙曲線的解析式設

出P點的坐標，然后表示出△PO8的面積，由于△PO8的面積為6,由此可得出關于P點橫坐標的方程,

即可求出P點的坐標.

解：：夕(-2,a)在反比例函數(shù)y=子的圖象上,

.?.點8(-2,4),

,點4與B關于原點對稱，

點坐標為(2,-4),

;反比例函數(shù)圖象是關于原點O的中心對稱圖形,

：.OP=OQ,OA=OB,

四邊形AQBP是平行四邊形，

?：OP=OQ,OA=OB,

'S\POA=SAQOA，SAPOB=SAQOB,S△尸OB=S△尸。力,SAAOQ=S/、BOQ,

平行四邊形力030，

:?SAPOB=S平行四邊形/Q8尸x4=4x24=6，

設點尸的橫坐標為用（〃zVO且加W-2）,

得尸（相，——）,

m

過點尸、8分別做x軸的垂線，垂足為M、N,

???點P、8在雙曲線上，

**?SAPOM=S/\BON=4，

若mV-2,如圖1,

?：S^BONS林柏PMNB=S>POB+S八POM，

S梯形PMNB=Sf\POB=6?

18

:?一（4-----）?（-2-tn）=6.

2血

C.m\=-4,m2=1（舍去），

：.P（-4,2）；

若-2〈加VO,如圖2,

***S/'POM^S梯形BNMP=SABOP+S八BON，

:*S梯形BNMP~SAPOB=6.

18

.?（4一？）?（m+2）=6,

2m

解得mi=-l，加2=4（舍去），

：.P（-1,8）.

???點尸的坐標是尸（-4,2）或尸（-1,8）,

故答案為（-4,2）或（-1,8）.

圖1圖2

總結提升：本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，反比例

函數(shù))=5中k的幾何意義.這里體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想，做此類題一定要正確理解《的幾何意義.利用

數(shù)形結合的思想，求得三角形的面積.

2.(2019?荊州)邊長為1的8個正方形如圖擺放在直角坐標系中，直線y=?x平分這8個正方形所組成的

圖形的面積，交其中兩個正方形的邊于/,8兩點，過8點的雙曲線夕=§的一支交其中兩個正方形的邊

于C,。兩點，連接。C,OD,CD,貝.

思路引領：設/(4,t),利用面積法得到Fx4Xf=4+l,解方程得到4(4,1),利用待定系數(shù)法求出直

線解析式為尸表，再確定8(2,接著利用待定系數(shù)法確定雙曲線的解析式為產(chǎn)品利用反比例

函數(shù)圖象上點的坐標特征求出C(32),D(3,然后用一個矩形的面積分別減去三個三角形的面

46

積計算S&OCD.

解：設/(4,r),

,/直線y=kix平分這8個正方形所組成的圖形的面積，

A-x4Xf=4+l,解得/=

22

5

/.J(4,一),

2

把力(4,1)代入直線產(chǎn)左ix得4左i二|,解得攵i=|,

...直線解析式為夕=3,

545

當x=2時，》=那=彳，則8(2,

,??雙曲線產(chǎn)=§經(jīng)過點3,

?,也=2x1=

5二

，雙曲線的解析式為尸會=/，

5耳5

當y=2時，一=2,解得x=],則C（-,2）；

2X44

cc5

當x=3時，y=f-=^,則。（3,一），

-2x66

1515155119

S^OCD=3X2—]x3x&—[x2x彳一]（2—5）X（3一耳）=.

119

故答案為

48

總結提升：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩

個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.也考查了

待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.

類型二反比例函數(shù)與二次函數(shù)的綜合運用

3.（2021秋?賽罕區(qū)校級期中）已知二次函數(shù)y=a?+6x+cQW0）的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)_），=?與

一次函數(shù)、=-cx+b在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖象可能是（）

思路引領：首先根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點可得c>0,根據(jù)拋物線開口向下可得〃<0,由對稱軸在

V軸右邊可得八6異號，故6>0,再根據(jù)反比例函數(shù)的性質與一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系畫出圖象可得

答案.

解：根據(jù)二次函數(shù)圖象與y軸的交點可得c>0,根據(jù)拋物線開口向下可得a<0,由對稱軸在y軸右邊可

得a、b異號,故b>0,

則反比例函數(shù)y=E的圖象在第二、四象限，

一次函數(shù)y=-cx+b經(jīng)過第一、二、四象限，

故選：C.

總結提升：此題主要考查了二次函數(shù)圖象，一次函數(shù)圖象，反比例函數(shù)圖象，關鍵是根據(jù)二次函數(shù)圖象

確定出Q、6、C的符號.

4.（遂寧中考）如圖，已知拋物線y=o?-4x+cQWO）與反比例函數(shù)y=*的圖象相交于點8,且2點的

橫坐標為3,拋物線與y軸交于點。（0,6）,/是拋物線夕=a$-4x+c的頂點，P點是x軸上一動點，

當R4+PB最小時，P點的坐標為.

思路引領：根據(jù)題意作出合適的輔助線，然后求出點8的坐標，從而可以求得二次函數(shù)解析式，然后求

出點4的坐標，進而求得儲的坐標，從而可以求得直線H8的函數(shù)解析式，進而求得與x軸的交點,

從而可以解答本題.

解：作點4關于x軸的對稱點H,連接H8,則H8與x軸的交點即為所求，

???拋物線、=。，-4》+。（“#0）與反比例函數(shù)），=［的圖象相交于點8,且8點的橫坐標為3,拋物線與

y軸交于點。（0,6）,

.?.點8（3,3）,

.Cax32-4x3+c=3

…I。=6

解得,儼U，

1c=6

Ay=x2-4x+6=（x-2）2+2,

??.點4的坐標為（2,2）,

，點，的坐標為（2,-2）,

設過點T（2,-2）和點3（3,3）的直線解析式為歹="?、+〃，

2m+ri=—2zEIfm=5

3m+n=3'母bi=-12

...直線18的函數(shù)解析式為r=5x-12,

17

令y=0,則0=5x72得》=差

總結提升：本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、二次函數(shù)的性質、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、

最短路徑問題，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的思想解答.

類型三反比例函數(shù)與一次函數(shù)、二次函數(shù)的綜合運用

5.（2021?棗莊模擬）在平面直角坐標系xOy中，對于橫、縱坐標相等的點稱為“好點”給出下列函數(shù)①y

=-X;?y=~@y=x+2；?y=^-2x.其圖象中不存在“好點”的函數(shù)個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

思路引領：根據(jù)題意可得x=y,然后代入每一個解析式進行計算即可判斷.

解：?.?橫、縱坐標相等的點稱為“好點”，

?\x=y,

.?.①x=-X,解得x=0,所以y=-X圖象中存在“好點”，

②x=],解得x=±VI,所以尸|圖象中存在“好點”，

③x=x+2,此方程無解，所以y=x+2圖象中不存在“好點”，

@x=.r2-2x,解得x=0或x=3,所以了=7-2x圖象中存在‘'好點"，

上述圖象中不存在“好點”的函數(shù)個數(shù)為：1,

故選：A.

總結提升：本題考查了函數(shù)的概念，根據(jù)題意得出x=y,然后代入每一個解析式進行計算是解題的關鍵.

6.（2022?平原縣模擬）在下列函數(shù)圖象上任取不同兩點Pi（xi，川）、尸2（X2，”），一定能使Cxi-X2）iy\

-”)>0成立的是()

A.y=-3,r+lB.-x2-2x-3(x<l)

6

C.y=-JT+4X+I(x<0)D.y=--

思路引領：根據(jù)各函數(shù)的增減性依次進行判斷即可.

解：4、-：k=-3<0,

隨x的增大而減小，即當xi>x2時，必有/〈眼，

(xi-%2)(yi-”)<0,

故A選項不符合；

B,-：a=-1<0,對稱軸為直線x=-l,

.?.當-時，y隨x的增大而減小，當x<-1時歹隨x的增大而增大，

當x<-I時，能使(xi-X2)>0成立，

故8選項不符合；

C、Va=-1<0,對稱軸為直線x=2,

...當x<2時，y隨x的增大而增大，

.,.當xVO時,能使Cxi-X2)(力>0成立，

故C選項符合；

D、：-6<0,

...當x>0或x<0時，y隨x的增大而增大，

當尸i(xi，y\)>尸2(X2，yi>不在同一象限時，Cxi-X2)(yi-”)>0不成立，

故D選項不符合；

故選：C.

總結提升：本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖象和性質，需要結合圖象去一一分析，

熟練掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的性質是解題的關鍵.

7.(宜昌中考)如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點/,8的坐標分別為-6,0),8(0,4).過

點C(-6,1)的雙曲線y=((%WO)與矩形0498的邊8。交于點瓦

(1)填空：04=,k=，點E的坐標為；

(2)當1W/W6時，經(jīng)過點M(L1,-1/2+5/-|)與點N(-L3,-!?+3r-^)的直線交y軸于點F,

點P是過M,N兩點的拋物線產(chǎn)-^x2+bx+c的頂點.

①當點尸在雙曲線y=(上時，求證：直線與雙曲線沒有公共點；

②當拋物線產(chǎn)~^x2+hx+c與矩形OADB有且只有三個公共點，求t的值；

③當點尸和點P隨著，的變化同時向上運動時，求f的取值范圍，并求在運動過程中直線在四邊形

OAEB中掃過的面枳.

思路引領：（1）根據(jù)題意將先關數(shù)據(jù)代入

（2）①用/表示直線解析式，及6,c,得到P點坐標代入雙曲線y=［解析式，證明關于/的方程無

解即可；

②根據(jù)拋物線開口和對稱軸，分別討論拋物線過點B和在BD上時的情況；

③由②中部分結果，用f表示尸、P點的縱坐標，求出f的取值范圍及直線在四邊形O4E8中所過的

面積.

解：（1）'：A點坐標為（-6,0）

：.OA=6

?.?過點C(-6,1)的雙曲線

:.k=-6

y=4時，x=-1=-1

.?.點E的坐標為（一|,4）

故答案為：6,-6,（-1，4）

（2）①設直線解析式為：yi^kix+bi

“+St—=+瓦

由題意得：

一方t2+3”=k1(―t—3)+%

XZ

=1

解得“嗓,1

12+4t-]

,/拋物線y=-^x2+bx+c過點M、N

1

一2(￡-1)2+b(t-1)+c

-1(T-3)2+&(-t-3)+c

，拋物線解析式為：y=—-x+5t-2=—(x+1)2+5t—2

...頂點/坐標為(-1,5/-f)

?.?尸在雙曲線y=上

3

(5Z-pX(-1)=-6

?,-3

?“-2

此時直線MN解析式為：

(y=x+等

聯(lián)立68

\y=~x

.?.8/+35x+49=0

VA=352-4X8X48=1225-1536<0

.?.直線MN與雙曲線>；=一《沒有公共點.

②當拋物線過點B,此時拋物線產(chǎn)~^x2+bx+c與矩形OADB有且只有三個公共點

，4=5L2,得勺,

當拋物線的頂點在線段DB上，此時拋物線與矩形OADB有且只有三個公共點

10t-3g11

.?.二―=4,倚仁而

1=第/=15

③???點P的坐標為(-1,5/-1)

.一3

??yp—5/—2

當時，yp隨f的增大而增大

此時，點P在直線x=-1上向上運動

:點F的坐標為(0,-1t2+4t-1)

11c

-2（t-4）2+^-

...當1W/W4時，隨者"隨f的增大而增大

此時，隨著f的增大，點尸在y軸上向上運動

當f=l時，直線MV：y=x+3與x軸交于點G（-3,0）,與y軸交于點//（0,3）

當f=4-V5時，直線A/N過點4

當時，直線在四邊形4E8O中掃過的面積為

S=2x（2+6）x4—2*3x3=

總結提升：本題為二次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合題，考查了數(shù)形結合思想和分類討論的數(shù)學思想.解題過

程中，應注意充分利用字母/表示相關點坐標.

第二部分專題班憂別綜

1.（2021春?西鄉(xiāng)塘區(qū)校級月考）下列各曲線中不能表示y是x的函數(shù)是（）

思路引領：根據(jù)函數(shù)的概念，對于自變量x的每一個值，y都有唯一的值和它對應，判斷即可.

解：上列曲線中，/、B、。選項，對于自變量x的每一個值，y都有唯一的值和它對應，

所以/、B、3能表示卜是x的函數(shù)，

C選項，對于自變量x的每一個值，y不是有唯一的值和它對應，

所以。不能表示y是x的函數(shù)，

故選：C.

總結提升：本題考查了函數(shù)的概念，熟練掌握函數(shù)的概念是解題的關鍵.

2.（2019秋?蕭山區(qū)期中）已知點/（1,機），B（2,m-n）（/7>0）在同一個函數(shù)的圖象上，則這個函數(shù)

可能是（）

A.y=xB.y=--2C.y=x2D.y=-2

思路引領：由8(1,機)，C(2,m-n)可知，在y軸的右側，y隨x的增大而減小，據(jù)此判斷即可.

解：?.,點4(1,m),B(2,m-n)(?>0)在同一個函數(shù)的圖象上，

.?.在y軸的右側，y隨x的增大而減小，

月、對于函數(shù)y=x,y隨x的增大而增大，故不可能：

B、對于函數(shù)y=-|,圖象位于二、四象限，每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，故不可能：

C、對于函數(shù)夕=f,當x>0時，y隨x的增大而增大，故不可能；

。、對于函數(shù)、=-7,當x>。時，y隨x的增大而減小，故有可能；

故選：D.

總結提升：考查正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象和性質，可以采用排除法，直接法得出答案.

3.(2022秋?雞西期末)已知一次函數(shù)y=2x-3與反比例函數(shù)尸右的圖象交于點P(a-2,3),則k=.

思路引領：先把尸(。-2,3)代入y=2x-3,求得戶的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得.

解：??,一次函數(shù)y=2x-3經(jīng)過點P(〃-2,3),

A3=2(。-2)-3,

解得。=5,

：.P(3,3),

；點P在反比例函數(shù)y=］的圖象上，

；./=3X3=9,

故答案為9.

總結提升：本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點問題，求得交點坐標是解題的關鍵.

4.(2022?成華區(qū)模擬)如圖，直線尸恁-8交x軸于點4交y軸于點8,點C是反比例函數(shù)產(chǎn)9。>0)

的圖象上位于直線上方的一點，CD〃x軸交于點O,CELCD交AB于點、E,若4D?BE=4,則發(fā)

的值為—.

思路引領：過。作。凡L/。于凡過EG_LO8于G,貝IJ。/〃。8,GE//AO,設C（x,y）,則GE=x,

2

DF=-y,由△ZZ）FSA48O,可得一（修，由ABEGs/XBAO,可得BE=2x,再根據(jù)

4,即可得到左=孫=遮.

解：如圖，過Q作。F_LNO于F,過EG_L05于G,Ml]DF//OB,GE//AO,

由直線y=V%c-8,可得4(-Vs10),B(0,-8),

.?.NO=|V5,20=8,/8=竽百，

設C(x,y),則GE=x,DF=-y,

DF

由t可得?一=一,

ABBO

P1RLAD-y

等二T

?\AD=—V3y,

BEGE

由△4EGs△胡O,可得一=—,

BAOA

?BEx

即期=宵

BE=2x,

,:AD?BE=4,

2

—gV^vX2x=4,

?\xy=—V3,

:.k=xy=—\/3?

故答案為：-

總結提升：本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，解題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，根據(jù)

相似三角形的對應邊成比例求出Z。、BE.

5.（2022秋?興義市期中）己知二次函數(shù)（。#0）的圖象如圖，則一次函數(shù)y=ox+b和反比例

思路引領：直接利用二次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限得出a,b,c的取值范圍，進而利用一次函數(shù)與反比例函

數(shù)的性質得出答案.

解：?.?二次函數(shù)夕="2+M。的圖象開口向下，

???該拋物線對稱軸位Ty軸的右側，

:?a、b異號，即6>0.

???拋物線交y軸的負半軸，

Ac<0,

.??一次函數(shù)y=ax+人的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)y=*(cWO)在二、四象限.

故選：C.

總結提升：此題主要考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，正確把握相關性質是解題關鍵.

6.(2019秋?龍灣區(qū)期中)如圖，拋物線y=ax2+4x+c(a#0)與反比例函數(shù)尸|的圖象相交于點2,且點

8的橫坐標為5,拋物線與y軸交于點C(0,6),才是拋物線的頂點，尸和。分別是x軸和y軸上的兩

思路引領：根據(jù)題意求得8的坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式，從而求得頂點力的坐標，

求得力關于V軸的對稱點4'(-2,10),8點關于x軸的對稱點夕為(5,-1),根據(jù)兩點之間線段

最短，即可判斷尸+P8=/'B'是/。+。尸+尸8的最小值，利用勾股定理求得即可.

解：???點8在反比例函數(shù)＞=［的圖象，且點8的橫坐標為5,

，點6的縱坐標為：

：.B(5,1),

?.,拋物線歹=依2+4.什c(4W0)與反比例函數(shù)歹=、的圖象相交于點8,與y軸交于點。(0,6),

.■優(yōu)：20+c=L解得｛、?，

拋物線為^=-』+4.什6,

"."y=-，+4X+6=-(x-2)2+10,

：.A(2,10),

關于y軸的對稱點H(-2,10),

,：B(5,1),

二2點關于x軸的對稱點夕為(5,-I),

連接B'交x軸于P,交V軸于0,此時N0+0P+P8的值最小，BPAQ+QP+PB=A'B',

A'B'=7(5+2)24-(-1-10)2=V170,

故AQ+QP+PB的最小值為gU.

總結提升：本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的

性質，軸對稱的性質，勾股定理的應用，明確4Q+QP+PB=4/是力。+。尸+尸8的最小值是解題的關

鍵.

7.（2022秋?沙坪壩區(qū)校級月考一）閱讀材料：在平面直角坐標系中，我們把橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的點

稱為“星之點”，例如：點（1,-1）,（2,-2）,（V2,-V2）都是“星之點”，顯然“星之點”有無數(shù)

-b±』b2-4ac

個，我們知道關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（aWO）的求根公式x=

2a＞故有XI

-b+4ac—b—Jb^—4cic

2a，X2=一而一

2

—b+Jb—4acb

兩根之和

X|+X2==a

-b+y/b2-4ac―b7b2-4ac

兩根之積X1X2=（-----------------------）?（

2a2a

根據(jù)以上信息，回答下列的問題:

（1）若點P（-6，m）是反比例函數(shù)的圖象上的“星之點”，求這個反比例函數(shù)的解析

式；

（2）函數(shù)y=4fcc+s-2（左，s為常數(shù)）的圖象上存在“星之點”嗎？若存在，請求出“星之點”的坐標；

若不存在，說明理由；

（3）若二次函數(shù)^="2+瓜+1（〃、b是常數(shù)，且。＞0）的圖象上存在兩個“星之點””（xi，-Xi）,B

（X2，-X2）,且滿足-2Wxi＜2,|XI-X2|=2,令￡=y+26+辭，試求，的取值范圍.

思路引領：（1）由“星之點”定義得到點尸坐標為（-百，V3）,用待定系數(shù)法即求得反比例函數(shù)解析

式.

（2）把“星之點”（x,-%）代入函數(shù)解析式，化簡得到關于x的一元一次方程.討論x的一次項系數(shù)：

①若一次項系數(shù)和常數(shù)項都為0,則方程有無數(shù)解，故有無數(shù)個“星之點”：②若一次項系數(shù)為0而常數(shù)

項不為0,則方程無解，不存在“星之點”；③若一次項系數(shù)和常數(shù)項均不為0,方程有唯一解，則求得

“星之點”坐標.

(3)把點48坐標代入二次函數(shù)并化簡，可得xi、取即為方程+(6+1)戶1=0的兩個不相等實數(shù)

根.根據(jù)韋達定理可得X1+X2=-笥X1?X2=利用|xi-X2|=2和完全平方公式變形陽-X2『=(X1+X2)

2-4x「X2可得a與6的關系式，化簡得廿+2%=4/+44-1=4(a+分2-2.根據(jù)-2Wxi<2,|xi-X2\

=2與X1-X2=i(a>0)討論得a>L根據(jù)拋物線性質可求得h2+2b的取值范圍，代入t即求得t的取

ao

值范圍.

解：⑴?.,點P(-V3,w)是“星之點”

：.P(-V3,V3)

..?點P是反比例函數(shù)y=((k#0)的圖象上的點

?'?V3——%解得：k=-3

這個反比例函數(shù)的解析式為y=-|

(2)函數(shù)y=4fcr+s-2(九s為常數(shù))的圖象上存在“星之點”.

設“星之點”(x,-x)在函數(shù)尸4h+s-2(此s為常數(shù))的圖象上

-x=4kx+s-2

整理得：(4R1)x=2-