高中數(shù)學第六章平面向量及其應用6.2平面向量的運算6.2.3向量的數(shù)乘運算學案新人教A版必修第二冊

6.2.3向量的數(shù)乘運算課程標準1.了解向量數(shù)乘的概念并理解數(shù)乘運算的幾何意義．2．理解并掌握向量數(shù)乘的運算律，會進行向量的數(shù)乘運算．3．理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)及判定方法，并能熟練地運用這些知識處理有關(guān)向量共線問題．新知初探·課前預習——突出基礎(chǔ)性教材要點要點一向量的數(shù)乘定義實數(shù)λ與向量a的積是一個________記法λa?長度|λa|＝|λ||a|方向λ＞0方向與a的方向________λ＜0方向與a的方向________要點二向量的線性運算設(shè)λ，μ為任意實數(shù)(1)λ(μa)＝________；?(2)(λ＋μ)a＝________；(3)λ(a＋b)＝________．特別地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝________.向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算．對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝________．要點三共線向量定理向量a(a≠0?)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝________．助學批注批注?(1)λa中的實數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)．(2)當λ＝0時，λa＝0.當λ≠0時，若a＝0，也有λa＝0.批注?向量數(shù)乘運算律與實數(shù)乘法運算律很相似，只是向量數(shù)乘分配律由于因子的不同，可分為(λ＋μ)a＝λa＋μa和λ(a+b)＝λa＋λ批注?定理中a≠0不能去掉．若a＝b＝0，則實數(shù)λ可以是任意實數(shù)；若a＝0，b≠0，則不存在實數(shù)λ，使得b＝λ夯實雙基1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)對于任意的向量a，總有0·a＝0.()(2)當λ＞0時，|λa|＝λa.()(3)若a≠0，λ≠0，則a與－λa的方向相反．()(4)向量－8a(a≠0)的模是向量4a的模的2倍．()2．3(2a－4b)＝()A.5a＋7bB．5a－7bC.6a＋12bD．6a－12b3．點C是線段AB靠近點B的三等分點，下列正確的是()A.AB＝3BCB．AC＝2BCC.AC＝12BCD．AC＝4．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，AB+AD＝λAO，則λ＝題型探究·課堂解透——強化創(chuàng)新性題型1向量的線性運算例1(1)化簡：12(2)若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.題后師說向量線性運算的兩種方法鞏固訓練1(1)12(2a＋8b)－(4a－2b)＝(A．－3a－6bB．6b－3aC．2b－3aD．3a－2b(2)已知向量x，y滿足3x－2y＝a，－4x＋3y＝b，則x＝________，y＝________(用a，b表示)．題型2用已知向量表示未知向量例2如圖，四邊形ABCD中，已知AD＝2BC.(1)用AB，AD表示(2)若AE＝2EB，DP＝34DE，用題后師說用已知向量表示其他向量的兩種方法鞏固訓練2(1)如圖所示，?ABCD中，E是BC的中點，若AB＝a，AD＝b，則DE＝()A．12a－bB．12aC．a(chǎn)＋12bD．a(chǎn)－1(2)如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD的中點分別為K，L，且AK＝e1，AL＝e2，試用e1，e2表示BC，題型3向量共線定理的應用角度1三點共線的判斷或證明例3已知e1，e2是兩個不共線的向量，若AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，求證：A，B，D三點共線．題后師說證明或判斷三點共線的策略鞏固訓練3[2022·湖南長郡中學高一期末]已知a，b為不共線的非零向量，AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3a－3b，則()A．A，B，C三點共線B．A，B，D三點共線C．B，C，D三點共線D．A，C，D三點共線角度2利用向量共線求參數(shù)例4設(shè)兩個不共線的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，問是否存在這樣的實數(shù)λ，μ，使向量d＝λa＋μb與向量c共線？題后師說利用向量共線求參數(shù)的方法判斷、證明向量共線問題的思路是根據(jù)向量共線定理尋求唯一的實數(shù)λ，使得a＝λb(b≠0)．而已知向量共線求λ，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應向量系數(shù)相等求解．若兩向量不共線，必有向量的系數(shù)為零，利用待定系數(shù)法建立方程，從而解方程求得λ的值．鞏固訓練4[2022·江蘇淮安高一期末]已知e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，OA＝3e1＋2e2，OB＝4e1＋ke2，OC＝5e1－4e2，若A，B，C三點共線，則實數(shù)k的值為()A．－1B．0C．1D．26．2.3向量的數(shù)乘運算新知初探·課前預習[教材要點]要點一向量相同相反要點二(1)(λμ)a(2)λa＋μa(3)λa＋λbλa－λbλμ1a±λμ2b要點三λa[夯實雙基]1．答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．解析：3(2a－4b)＝6a－12b.故選D.答案：D3．解析：由題意可知：AB＝－3BC；AC＝－2BC＝2CB.故只有D正確．故選D.答案：D4．解析：由向量加法的平行四邊形法則知AB+AD＝又∵O是AC的中點，∴AC＝2AO，∴AC＝2AO，∴AB+AD＝2∴λ＝2.答案：2題型探究·課堂解透例1解析：(1)123a-2b+5a-136a-9b＝＝12(6a＋b＝3a＋12b(2)把已知中的兩個等式看成關(guān)于m，n的方程，聯(lián)立得方程組3解得m鞏固訓練1解析：(1)原式＝a＋4b－4a＋2b＝6b－3a.(2)由已知得3①×3＋②×2得x＝3a＋2b，①×4＋②×2，得y＝4a＋3b.所以x＝3a＋2b，y＝4a＋3b.答案：(1)B(2)3a＋2b4a＋3b例2解析：(1)因為DC＝DA+所以DC＝DA+AB+(2)因為AP＝AE+EP＝AE-1所以AP＝34AE+14鞏固訓練2解析：(1)DE＝DC+CE＝AB＋(－＝AB-12AD＝a－1(2)設(shè)BC＝x，則BK＝12x，AB＝e1－12DL＝12DC＝12AB＝12e由AD+DL＝AL，得x＋12e1－14x解方程得x＝43e2－23e1，即BC＝43e2－2由CD＝－AB，AB＝e1－1得CD＝12x－e1＝1243e2-23e1－答案：(1)D(2)見解析例3證明：∵CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，∴BD＝CD-CB＝e1－4e又AB＝2e1－8e2＝2(e1－4e2)，∴AB＝2BD，∴AB∥BD.∵AB與BD有公共點B，∴A，B，D三點共線．鞏固訓練3解析：由于a，b為不共線的非零向量，AB，BC向量，BC，CD向量顯然沒有倍數(shù)關(guān)系，根據(jù)向量共線定理，它們不共線，A，C選項錯誤；BD＝BC+CD＝a＋5b＝AB，于是A，B，D三點共線，B選項正確；又AC＝AB+BC＝－a＋答案：B例4解析：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d與c共線，則存在實數(shù)k使d＝kc，即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2.由2λ+2μ=2k-3λ+3μ=只要λ＝－2μ，就能使d與c共線．鞏固訓練4解析：因為OA＝3e1＋2e2，OB＝