高考方法技巧上冊(學生版)

高考數(shù)學方法技巧專題上冊（學生版）

目錄

專題01函數(shù)的圖像.......................................................................................4

一、函數(shù)的圖像知識框架...............................................................................4

二、函數(shù)的圖像備用知識掃描...........................................................................4

三、函數(shù)的圖像題型分析...............................................................................5

[-]函數(shù)圖象的作法............................................................................5

[-]函數(shù)圖象的識別............................................................................6

【三】根據(jù)圖像識別解析式........................................................................8

【四】函數(shù)圖像的應用............................................................................9

專題02方程的根與函數(shù)的零點問題........................................................................14

一、方程的根與函數(shù)的零點問題知識框架..............................................................14

二、函數(shù)零點存在性判斷..............................................................................14

三、方程的根與函數(shù)零點個數(shù).........................................................................15

四、利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍.......................................................................16

專題03導數(shù)與切線方程..................................................................................19

一、導數(shù)與切線方程問題知識框架.....................................................................19

二、導數(shù)與切線方程問題題型分析.....................................................................19

[1已知切點求切線...........................................................................19

[-]過某點求切線.............................................................................20

【三】利用切線求參數(shù)...........................................................................21

【四】切線與其他知識綜合運用...................................................................22

專題4函數(shù)單調(diào)性、極值、最值與導數(shù)問題.................................................................26

一、函數(shù)單調(diào)性、極值、最值知識框架................................................................26

二、函數(shù)單調(diào)性、極值、最值問題題型................................................................27

[-]判斷函數(shù)單調(diào)性...........................................................................27

[-]根據(jù)單調(diào)性求參數(shù).........................................................................28

【三】函數(shù)的極值問題...........................................................................29

【四】函數(shù)的最值問題...........................................................................30

專題5函數(shù)中恒成立與存在性問題.........................................................................34

一、函數(shù)中恒成立與存在性問題知識框架............................................................34

二、函數(shù)中恒成立問題34

[-]分離參數(shù)法...............................................................................34

[-]函數(shù)性質(zhì)法...............................................................................35

【三】數(shù)形結(jié)合法...............................................................................36

三、函數(shù)中存在性問題.............................................................................37

四、函數(shù)中恒成立與存在性的綜合問題...............................................................39

專題06函數(shù)不等式的證明................................................................................42

一、函數(shù)不等式的證明知識框架.....................................................................42

二、構(gòu)造輔助函數(shù)證函數(shù)不等式.....................................................................42

三、函數(shù)不等式的變形原理.........................................................................43

[-]累函數(shù)與Inx的積商形式..................................................................44

[-]嘉函數(shù)、/與Inx的混合形式..............................................................44

四、函數(shù)不等式的單零點一隱零點問題................................................................46

五、函數(shù)不等式的雙零點問題........................................................................48

[-]雙零點是二次函數(shù)的零點...................................................................48

【二】極值點偏移問題...........................................................................49

專題07三角恒等變換....................................................................................54

一、三角恒等變換問題知識框架....................................................................54

二、三角恒等變換方法技巧..........................................................................54

【一】公式順用、逆用及其變形用.................................................................54

【二】拆湊角問題...............................................................................56

【三】常值代換.................................................................................57

【四】輔助角公式...............................................................................57

專題08三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)............................................................................62

一、三角函數(shù)一的圖像和性質(zhì)知識框架................................................................62

二、根據(jù)解析式研究三角函數(shù)性質(zhì)....................................................................62

【一】化為同角同函型...........................................................................62

【二】化為二次函數(shù)型...........................................................................63

三、根據(jù)圖像和性質(zhì)確定解析式....................................................................63

【一】圖像型...................................................................................63

【二】性質(zhì)型...................................................................................65

四、圖像變換問題..................................................................................67

五、三角函數(shù)值域（最值）..........................................................................68

六、平面向量為載體的三角函數(shù)綜合問題..............................................................69

專題09解三角形........................................................................................74

一、解三角形問題知識框架..........................................................................74

二、解三角形題型分析..............................................................................74

（一）三角形中的求值問題......................................................................74

（二）三角形中的最值或范圍問題.................................................................77

（三）解三角形的實際應用.......................................................................78

專題10平面向量........................................................................................83

一、平面向量知識框架..............................................................................83

二、平面向量的線性運算及其坐標表示................................................................83

【一】向量的概念...............................................................................83

【二】平面向量的線性表示.......................................................................84

【三】向量共線的應用...........................................................................85

【四】平面向量基本定理及應用...................................................................86

【五】平面向量的坐標運算.......................................................................87

【六】向量共線（平行）的坐標表示...............................................................88

三、平面向量的數(shù)量積..............................................................................90

【一】平面向量數(shù)量積的概念.....................................................................90

【二】平面向量數(shù)量積的性質(zhì).....................................................................91

【三】平面向量的綜合應用.......................................................................92

專題11數(shù)列求通項問題..................................................................................95

一、數(shù)列求通項常用方法知識框架......................................................................95

二、數(shù)列求通項方法..................................................................................95

【一】歸納法求通項.............................................................................95

【二】公式法求通項.............................................................................96

【三】累加法求通項.............................................................................96

【五】Sn法（項與和互化求通項）.................................................................98

【六】構(gòu)造法求通項.............................................................................99

【七】其他求通項方法..........................................................................100

【八】特征根和不動點法求通項（自我提升）.....................................................101

專題12數(shù)列求和問題..................................................................................107

一、數(shù)列求和的常用方法知識框架...................................................................107

2

二、數(shù)列求和方法.................................................................................107

[-）公式求和法..............................................................................107

[-]分組求和法..............................................................................108

【三】奇偶并項求和法..........................................................................109

【四】倒序相加法求和..........................................................................110

【五】錯位相減求和............................................................................111

【六】裂項求和................................................................................112

【七】其他方法................................................................................114

專題13不等式的解法與基本不等式.......................................................................119

一、不等式的解法與基本不等式知識框架.............................................................119

二、不等式的解法.................................................................................119

【一】一元二次不等式的解法....................................................................119

[-]分式不等式的解法........................................................................120

三、基本不等式...................................................................................121

【一】配湊型..................................................................................122

【二】條件型..................................................................................122

【三】換元型..................................................................................123

[:四】實際應用................................................................................123

專題14不等式的性質(zhì)與線性規(guī)劃.........................................................................127

一、不等式的性質(zhì)與線性規(guī)劃知識框架...............................................................127

二、不等式的性質(zhì).................................................................................127

【一】不等式的性質(zhì)............................................................................127

【二】比較數(shù)（式）大小........................................................................128

三、二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題.....................................................129

【一】二元一次不等式組表示的平面區(qū)域..........................................................129

【二】求解目標函數(shù)的取值范圍（最值）..........................................................130

【三】求解目標函數(shù)中參數(shù)的取值范圍............................................................131

【四】簡單線性規(guī)劃問題的實際運用..............................................................132

3

專題01函數(shù)的圖像

一、函數(shù)的圖像知識框架

函數(shù)圖像

據(jù)圖識別解析式

圖像的應用

二、函數(shù)的圖像備用知識掃描

關(guān)于函數(shù)圖像常用結(jié)論

1.函數(shù)圖象自身的軸對稱

(1加-X)=/(x)=函數(shù)y=y(x)的圖象關(guān)于y軸對稱；

⑵函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于x=a對稱=/(a+x)=/m—x)o/(x)=/(2°—x)=/(—x)=/(2a+x)；

(3)若函數(shù)y=/(x)的定義域為R,且有/(a+x)=/(b—x),則函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于直線苫=審對稱.

2.函數(shù)圖象自身的中心對稱

(1)/(—%)=—j(x)=函數(shù)'=/a)的圖象關(guān)于原點對稱；

⑵函數(shù)y=/(x)的圖象關(guān)于(°,0)對稱=/(a+x)=-Aa-x)=/(x)=-_/(2a-x)=A—x)=->(2a+x)：

(3)函數(shù)夕=/(x)的圖象關(guān)于點(a,6)成中心對稱=/(a+x)=26-/(a—x)o/(x)=2b—/(2a—x).

.兩個函數(shù)圖象之間的對稱關(guān)系

(1)函數(shù)》=/(4+工)與y=/(b—冗)的圖象關(guān)于直線x=一—對稱(由a+x=6—x得對稱軸方程);

(2)函數(shù)y=/(x)與y=/(2a—x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱；

(3)函數(shù)y=/(x)與y=2b-/(-x)的圖象關(guān)于點(0,6)對稱;

4

(4)函數(shù)y=/(x)與y=2b—/(2“一x)的圖象關(guān)于點3，b)對稱

⑴平移變換

①尸危)的圖象：*：.夕鬣/盤fx-a)的圖象;

②y=/G)的圖象x3］就=/仁)+人的圖象.

“左加右減，上加下減”，左加右減只針對x本身，與x的系數(shù)，無關(guān)，上加下減指的是在A)整體上加減.

(2)對稱變換|

①y=/(x)的圖象關(guān)于x軸對彩=—加)的圖象;

②了=於)的圖象關(guān)于」軸對中y=/(—x)的圖象;

③y=/(x)的圖象關(guān)「原點時”，=—/(—x)的圖象;

④j，=T3>0且存1)的圖象關(guān)「直線對瓶尸log“x(a>0且存1)的圖象.

(3)伸縮變換

①y=/(x)的圖象o鵬蹴熹變片加x)的圖象.

a

a>\,縱坐標伸長為原來的。倍，橫坐標不變_"、.囪缶

②y=/(x)的圖象橫坐標不變一切的圖象.

0<”1,縱坐標縮短為原來的a倍,y(X)

(4)翻折變換

①尸危)的圖象,戰(zhàn)鬻鸚蕊方尸監(jiān))|的圖象:

g、明囪缶y軸右側(cè)部分翻折到左側(cè)_"一、的囪電

②尸危)的圖象原y軸左側(cè)部分去掉，右側(cè)不變尸/(⑼的圖象?

三、函數(shù)的圖像題型分析

函數(shù)圖象的作法：

(1)直接法：當函數(shù)表達式是基本函數(shù)或函數(shù)圖象是解析幾何中熟悉的曲線(如圓、橢圓、雙曲線、拋

物線的一部分)時，就可根據(jù)這些函數(shù)或曲線的特征直接作出.

(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對值符號的函數(shù)，可去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫圖象.

(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、翻折、對稱變換得到，可利用圖象

變換作出，但要注意變換順序.對不能直接找到熟悉的基本函數(shù)的要先變形，并應注意平移變換的順

序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影響.

1.例題

5

【例1】作出下列函數(shù)的圖象.

(2)y=|log2(x+l)|；

2x-l

(3?=(4)y=/_2|x|-l.

X—1

【例2】為了得到函數(shù)y=log2/^l的圖象，可將函數(shù)y=logM圖象上所有點的（）

A.縱坐標縮短為原來的L橫坐標不變，再向右平移1個單位

2

B.縱坐標縮短為原來的L橫坐標不變，再向左平移1個單位

2

C.橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再向左平移1個單位

D.橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，再向右平移1個單位

【例3】設函數(shù)關(guān)于該函數(shù)圖象的命題如下：

①一定存在兩點，這兩點的連線平行于x軸；

②任意兩點的連線都不平行于y軸：

③關(guān)于直線y=x對稱；

④關(guān)于原點中心對稱.

其中正確的是（）

A.①②B.②③C.③④D.①④

2.鞏固提升綜合練習

【練習1］分別畫出下列函數(shù)的圖象:

(l)v=|lg(x-l)|；

(2?=2-1；

(3)y—x2—\x\—2；

/八2x-l

(4)尸--

X—1

6

[-]函數(shù)圖象的識別

識別函數(shù)圖象的兩種方法：

（1）直接根據(jù)函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，或者是根據(jù)圖象變換作出函數(shù)的圖象.

（2）間接法篩選錯誤與正確的選項可從如下幾個方面入手：

①從函數(shù)的定義域判斷圖象的左右位置，從函數(shù)的值域判斷圖象的上下位置;

②從函數(shù)的單調(diào)性判斷圖象的上升、下降趨勢：

③從函數(shù)的奇偶性判斷圖象的對稱性；

④從函數(shù)的周期性判斷圖象的循環(huán)往復；

⑤從特殊點出發(fā)排除不符合要求的選項.

1.例題

【例1】已知二次函數(shù)y=aN+fcr+c（a翔）的圖象如圖所示，則正比例函數(shù)y=S+c）x與反比例函數(shù)>=

a-'+c在同一坐標系中的大致圖象是（）

X

【例2】函數(shù)y=-x4+x2+2的圖象大致為（）

2.鞏固提升綜合練習

【練習1】在同一直角坐標系中，函數(shù)丁二4,y=log4（x+!）（〃>0,且存1）的圖象可能是（

）

7

【例3】若函數(shù)y=/(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)夕=一義*+1)的圖象大致為(

【三】根據(jù)圖像識別解析式

通過圖象變換識別函數(shù)圖象要掌握的兩點

(1)熟悉基本初等函數(shù)的圖象(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等函數(shù)的圖象);

(2)了解一些常見的變換形式，如平移變換、翻折變換.

1.例題

【例1】如圖所示的函數(shù)圖象，對應的函數(shù)解析式可能是()

X2x

C.y=——D.y=(^-2x^e

Inx

【例2】已知圖①中的圖象是函數(shù)y=/(x)的圖象，則圖②中的圖象對應的函數(shù)可能是()

8

C.y=」（一|X|）D.y=—/（一慟）

2.鞏固提升綜合練習

【練習1】函數(shù)歹=/（x）的圖象如圖所示，則，（x）的解析式可以為（）

C./（x）=--x2D./U）=--lnx

XX

【練習2】已知函數(shù)/（X）的圖象如圖所示，則/（X）的解析式可能是（）

B./W=—+

2x-l

D./（X）=---4-X3

2x+l

【四】函數(shù)圖像的應用

9

函數(shù)圖像的應用：

(1)利用函數(shù)圖象研究函數(shù)性質(zhì)，一定要注意其對應關(guān)系.

(2)利用函數(shù)的圖象研究方程根的個數(shù)：當方程與基本函數(shù)有關(guān)時，可以通過函數(shù)圖象來研究方程的根,

方程J(x)=O的根就是函數(shù)./(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，方程外)=g(x)的根就是函數(shù)y(x)與g(x)圖象

交點的橫坐標.

(3)利用函數(shù)的圖象研究不等式：當不等式問題不能用代數(shù)法求解但其與函數(shù)有關(guān)時，常將不等式問題轉(zhuǎn)

化為兩函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合求解.

1.例題

【例1】己知函數(shù)｛x)=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是()

A.加0是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0,+oo)

B./(x)是偶,函數(shù)，遞減區(qū)間是.(一8,1)

C.Xx)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(一1,1)

D.寅》)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(一如0)

【例2】函數(shù).危)是周期為4的偶函數(shù)，當xC[0,2]時，則不等式歡x)>0在(-1,3)上的解集為

()

A.(1,3)B.(-1,1)

C.(-l,0)U(l,3)D.(-l,0)U(0,l)

fb,a—b>\>

【例3】對任意實數(shù)a,b定義運算一設兀0=(/—1)。(4+》)+左，若函數(shù)外)

a，a~b<\,

的圖象與x軸恰有三個交點，則"的取值范圍是()

A.(-2,1)B.[0,1]

C.[-2,0)D.[-2,1)

2.鞏固提升綜合練習

【練習1】已知函數(shù)人x)=|logsx|,實數(shù)相,〃滿足且｛加)=加),若於)在[加2,網(wǎng)上的最大值為2,

則4=

m

llgx\fx>0,

【練習2】已知J則函數(shù)y=2[/(x)]2—y(x)+l的零點個數(shù)是

課后自我檢測

1.要得到g(x)=log2(2x)的圖象，只需將函數(shù)0:)=log/的圖象()

A.向左平移1個單位B.向右平移1個單位

C.向上平移1個單位D.向下平移1個單位

10

立土1的圖象()

2.函數(shù)犬0

A.關(guān)于原點對稱B.關(guān)于直線夕=x對稱

C.關(guān)于x軸對稱D.關(guān)于y軸對稱

3.已知函數(shù)y=/(x)的定義域為｛x|xGR,且x/0},且滿足y(x)—/(—x)=0,當x>0時，/(x)=lnx—x+1,

4.設奇函數(shù)/(x)在(0,+8)上為增函數(shù)，且/(1)=0,則不等式/)-A—x)<0的解集為(

)

X

A.(-l,0)U(l,+oo)B.(-oo,-1)U(O,1)

C.(-oo,-1)U(1,+oo)D.(-l,0)U(0,l)

5.己知函數(shù)/(x)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是()

A./(x)=x\nxB.f(x)=xex

,/、InxD.〃X)=C

c?f(x)=——

XX

6.設函數(shù)滿足/(x)-/(一次)=0，〃%)=/。一2),則3=/(%)的圖象可能()

人"皿'B.x

,田D*

11

9.已知函數(shù)次苫)=1°8"'Q°'且關(guān)于x的方程兀v)-a=O有兩個實根,則實數(shù)a的取值范圍是________.

12Sx<0,

10.定義在R上的函數(shù)次x)=JgR'討°'關(guān)于x的方程Xx)=c(c為常數(shù))恰有三個不同的實數(shù)根%,也,

,1,x=0,

Xj>則X1+X2+X3=.

11.已知函數(shù)y=Ax)&y=g(x)的圖象分別如圖所示，方程Hg(x))=0和g(/(x))=0的實根個數(shù)分別為a和b,

12.已知函數(shù)人X)=X|W-X|(XGR),且/(4)=0.

(1)求實數(shù)機的值;

(2)作出函數(shù)“V)的圖象;

(3)根據(jù)圖象指出/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(4)若方程J(x)=a只有一個實數(shù)根，求a的取值范圍.

13.已知函數(shù)Hx)的圖象與函數(shù)〃(x)=x+1+2的圖象關(guān)于點/(0,1)對稱.

X

(1)求用)的解析式;

(2)若g(x)=/a)+=且g(x)在區(qū)間(0,2］上為減函數(shù)，求實數(shù)”的取值范圍.

X

12

14.已知函數(shù)/(x)=2-xeR

(1)當加取何值時方程網(wǎng)x)—2」=機有一個解？兩個解？

(2)若不等式伏好?+段)一加＞0在R上恒成立，求m的取值范圍.

13

專題02方程的根與函數(shù)的零點問題

一、方程的根與函數(shù)的零點問題知識框架

二、函數(shù)零點存在性判斷

1、函數(shù)零點存在性判斷：(此定理只能判斷出零點存在，不能確定零點的個數(shù))

若函數(shù)y=fi［x)在閉區(qū)間［a,b］上的圖像是連續(xù)曲線，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f(a)?f(b)

<0,則在區(qū)間(a,b)內(nèi)，函數(shù)y=f(x)至少有一個零點，即相應方程f(x)=0在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一

個實數(shù)解.

2、求函數(shù)零點所在區(qū)間的方法：

(1)解方程法：當對應方程f(x)=0易解時，可先解方程，再看解得的根是否落在給定區(qū)間上.

(2)數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與x軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷.

1.例題

【例1】設7(x)=lnx+x—2,則函.數(shù)J(x)的零點所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【例2】函數(shù)y=ln(x+l)與的圖象交點的橫坐標所在區(qū)間為()

X

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)

【例3】函數(shù)/(%)u1Q+oxZ+bx+c(a^cG/?)的導函數(shù)的圖象如圖所示:

(1)求。力的值并寫出f(%)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若函數(shù)y=f")有三個零點，求c的取值范圍.

14

2.鞏固提升綜合練習

【練習1】函數(shù)外)=3x-7+lnx的零點位于區(qū)間(〃，〃+l)(〃￡N)內(nèi)，則〃=.

【練習2】若〃VbVc,則函數(shù)/(%)=(%—4)(x—b)+a—b)(x—c)+(x—c)(x—a)的兩個零點分別位于區(qū)間()

A.(a,b)和(b,c)B.(—8,和(〃，h)C.(h,c)和(c,+°°)D.(—00,〃)和(c,+

°°)

【練習3】已知函數(shù)/(X)=COSX+；/-1

(1)證明：/(x)<0,X€-y

(2)判斷y=/'(x)的零點個數(shù)，并給出證明過程.

三、方程的根與函數(shù)零點個數(shù)

1、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系：

函數(shù)y=f(x)有零點o方程f(x)=O有實數(shù)根=函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=0(即x軸)有交點.

2,求方程的根與函數(shù)零點個數(shù)的方法：

(1)解方程法：令f(x)=O,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理法：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)?f(b)VO,

還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)才能確定函數(shù)有多少個零點或零

點值所具有的性質(zhì).

(3)數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題.先畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，

其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點.

1.例題

【例1】已知函數(shù)y(x)=，''滿足＜0)=1,且大0)+"-1)=0,那么函數(shù)虱x)=/(x)+x的

一爐+bx+c,xWO

零點個數(shù)為.

【例2】函數(shù)/(x)=2'|logo5x|—l的零點個數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

1

【例3】已知函數(shù)f(%)=］無29-3Znr.

15

(1)求/(X)在(1/(1))處的切線方程；

(2)試判斷f(x)在區(qū)間(l,e)上有沒有零點？若有則判斷零點的個數(shù).

2.鞏固提升綜合練習

2一|x|,xW2,

【練習1】已知函數(shù)/(x)=,函數(shù)g(x)=3—y(2—x),則函數(shù)y=/(x)—g(x)的零點個數(shù)為()

(x—2)2,x>2,

A.2B.3C.4D.5

【練習2】若定義在R上的偶函數(shù)滿足於+2)=/(x),且當xG[O,1]時，7(x)=x,則函數(shù)y=/(x)—log3|x|

的零點個數(shù)是.

【練習3】已知函數(shù)/(*)=(?-l)e*+2a>0,aeR).

XX

(1)若/'(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，求a的取值范