高中數(shù)學(xué)第七章三角函數(shù)7.2任意角的三角函數(shù)7.2.4誘導(dǎo)公式第2課時(shí)誘導(dǎo)公式五六七八學(xué)案新人教B版必修第三冊(cè)

第2課時(shí)誘導(dǎo)公式五、六、七、八【課程標(biāo)準(zhǔn)】借助單位圓的對(duì)稱(chēng)性，利用三角函數(shù)的定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式(π2－α、α＋π2、α＋3π2、3π新知初探·自主學(xué)習(xí)——突出基礎(chǔ)性教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一誘導(dǎo)公式五α與π2－αsin(π2－α)＝________，cos(π2－α)＝狀元隨筆(1)角π2－α與角α[提示]角π2－α與角α的終邊關(guān)于y＝x(2)點(diǎn)P1(a，b)關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是什么？[提示]點(diǎn)P1(a，b)關(guān)于y＝x對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是P2(b，a)．知識(shí)點(diǎn)二誘導(dǎo)公式六α與α＋π2sin(α＋π2)＝________，cos(α＋π2)＝知識(shí)點(diǎn)三誘導(dǎo)公式七α與α＋3πsin(α＋3π2)＝________，cos(α＋3π2知識(shí)點(diǎn)四誘導(dǎo)公式八α與3π2－sin(3π2－α)＝________，cos(3π2－α狀元隨筆各組誘導(dǎo)公式雖然形式不同，但存在著一定的規(guī)律，有人把它概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，你理解這句話(huà)的含義嗎？[提示]誘導(dǎo)公式可以歸納為k·π2＋α(k∈Z)的三角函數(shù)值．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得α的同名三角函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得α的異名三角函數(shù)值．然后，在前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)，概括為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”．值得注意的是，這里的奇和偶分別指的是π2的奇數(shù)倍或偶數(shù)倍；符號(hào)看象限指的是等式右邊的正負(fù)號(hào)恰為把基礎(chǔ)自測(cè)1．sin585°的值為()A．－22 B．C．－32 D．2．已知sin40°＝a，則cos130°＝()A．a(chǎn) B．－aC．1-a2 3．若cos(π2＋θ)>0，且sin(π2－θ)<0，則θ是(A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角4．下列各式不正確的是()A．sin(α＋180°)＝－sinαB．cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C．sin(－α－360°)＝－sinαD．cos(－α－β)＝cos(α＋β)課堂探究·素養(yǎng)提升——強(qiáng)化創(chuàng)新性題型1給角求值問(wèn)題例1(1)求下列各三角函數(shù)值．①sin(－10π3)；②cos(2)求sin(2nπ＋2π3)·cos(nπ＋4π3)(n(1)直接利用誘導(dǎo)公式求解，注意公式的靈活選擇．(2)分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論．方法歸納(1)已知角求值的問(wèn)題主要是利用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值求解．一般是先利用公式二將負(fù)角化為正角，再利用公式一將任意角轉(zhuǎn)化為0°～360°之間的角，然后利用公式三、公式四轉(zhuǎn)化為0°～90°之間的角求解．(2)凡涉及參數(shù)n的三角函數(shù)求值問(wèn)題．由于n為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)，三角函數(shù)值有所不同，故考慮對(duì)n進(jìn)行分類(lèi)討論．其次，熟記誘導(dǎo)公式，熟悉各誘導(dǎo)公式的作用也是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練1求下列各三角函數(shù)值．(1)tan(－855°)；(2)sin176π(3)sin(4k-14π－α)＋cos(4k+14π－α)(k題型2給值(式)求值問(wèn)題例2(1)已知cos(π＋α)＝－12，求cos(π2＋α狀元隨筆由已知求先根據(jù)誘導(dǎo)公式將待求式子化簡(jiǎn)，然后根據(jù)平方和為1去計(jì)算相應(yīng)結(jié)果．(2)已知sin(π3－α)＝12，則cos(π6＋α)(3)(多選)已知角A，B，C是銳角三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的是()A．sin(B＋C)＝sinA B．sin(A+B2)＝cosC．sinB<cosA D．cos(A＋B)<cosC狀元隨筆因?yàn)榻茿，B，C是銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角，所以角A，B，C內(nèi)角和為180°且均小于90°.方法歸納(1)已知一個(gè)角的某種三角函數(shù)值，求這個(gè)角的其他三角函數(shù)值，若給定具體數(shù)值，但未指定角α的取值范圍，就要進(jìn)行討論．(2)常見(jiàn)的互余關(guān)系有：π3－α與π6＋α；π3＋α與π6－α；π4＋α(3)常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系有：π3＋θ與2π3－θ；π4＋θ與跟蹤訓(xùn)練2(1)已知sinα＝45，α∈(0，π2)，那么cos(π－α)等于(A．－45 B．－C．35 D．先根據(jù)誘導(dǎo)公式將待求式子化簡(jiǎn)，然后根據(jù)平方和為1去計(jì)算相應(yīng)結(jié)果．(2)若α∈(0，π2)，sin(π2＋α)＝12，則cos(3π2＋αA．－12 B．C．－32 D．(3)在△ABC中，3sin(π2－A)＝3sin(π－A)，cosA＝－3cos(π－B)，則△ABC為(A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形題型3利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)式【思考探究】1.利用誘導(dǎo)公式能否直接寫(xiě)出sin(kπ＋α)的值？[提示]不能．因?yàn)閗是奇數(shù)還是偶數(shù)不確定．當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，即k＝2n＋1(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sin(π＋α)＝－sinα；當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，即k＝2n(n∈Z)，sin(kπ＋α)＝sinα.2．如何化簡(jiǎn)tan(k2π＋α)[提示]當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，即k＝2n＋1(n∈Z)，tan(kπ2＋α)＝tan(π2＋α)＝sinπ2當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，即k＝2n(n∈Z)，tan(kπ2＋α)＝tan綜上，tan(kπ2＋α)例3已知α是第三象限角，f(α)＝sin2(1)化簡(jiǎn)f(α)；(2)已知f(α)＝－3，求cosα－sinα的值．狀元隨筆(1)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)f(α)；(2)由正切值求出角α，然后計(jì)算sinα，cosα即得．方法歸納誘導(dǎo)公式綜合應(yīng)用要“三看”一看角：①化大為小；②看角與角間的聯(lián)系，可通過(guò)相加、相減分析兩角的關(guān)系．二看函數(shù)名稱(chēng)：一般是弦切互化．三看式子結(jié)構(gòu)：通過(guò)分析式子，選擇合適的方法，如分式可對(duì)分子分母同乘一個(gè)式子變形．跟蹤訓(xùn)練3化簡(jiǎn)sinnπ+αcosnπ-教材反思(1)誘導(dǎo)公式分類(lèi)歸納：①誘導(dǎo)公式一～四反映的是角π±α，2kπ±α，－α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，可借用口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”來(lái)記憶．②誘導(dǎo)公式五～八反映的是角π2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．可借用口訣“函數(shù)名改變，符號(hào)看象限”(2)誘導(dǎo)公式共同特征①誘導(dǎo)公式一～四揭示了終邊具有某種對(duì)稱(chēng)關(guān)系的兩個(gè)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系．②這八組誘導(dǎo)公式可歸納為“k·π2±α(k∈Z)”的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)得角α的同名三角函數(shù)值，當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)得角α的異名三角函數(shù)值．然后在前面加上一個(gè)把角α看成銳角時(shí)原三角函數(shù)值的符號(hào)．可簡(jiǎn)記為“奇變偶不變，符號(hào)看象限”③誘導(dǎo)公式是三角變換的基本公式，其中角可以是一個(gè)單角，也可以是一個(gè)復(fù)角，應(yīng)用時(shí)要注意整體把握，靈活變通．第2課時(shí)誘導(dǎo)公式五、六、七、八新知初探·自主學(xué)習(xí)[教材要點(diǎn)]知識(shí)點(diǎn)一cosαsinα知識(shí)點(diǎn)二cosα－sinα知識(shí)點(diǎn)三－cosαsinα知識(shí)點(diǎn)四－cosα－sinα[基礎(chǔ)自測(cè)]1．解析：sin585°＝sin(360°＋180°＋45°)＝－sin45°＝－22.故選答案：A2．解析：cos130°＝cos(90°＋40°)＝－sin40°＝－a.答案：B3．解析：由于cos(π2＋θ)＝－sinθ>0，所以sinθ<0又因?yàn)閟in(π2－θ)＝cosθ<0，所以角θ的終邊落在第三象限，故選答案：C4．解析：cos(－α＋β)＝cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤．答案：B課堂探究·素養(yǎng)提升例1【解析】(1)①sin(－10π＝－sin10π3＝－sin(2π＋4π3＝－sin(π＋π3)＝sinπ3＝②cos29π6＝cos(4π＋5π6＝cos(π－π6)＝－cosπ6＝－(2)①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，原式＝sin2π3(－cos4π3)＝sin(π[－cos(π＋π3)]＝sinπ3·cosπ3＝3②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，原式＝sin2π3＝sin(π－π3)·cos(π＋π＝sinπ3·(－cosπ＝32×(－12)＝－跟蹤訓(xùn)練1解析：(1)tan(－855°)＝－tan855°＝－tan(2×360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1.(2)sin17π6＝sin(2π＋5π6＝sin(π2＝cosπ3＝1(3)原式＝sin[kπ－(π4＋α)]＋cos[kπ＋(π4－當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2n＋1(n∈Z)，則原式＝sin[(2n＋1)π－(π4＋α)]＋cos[(2n＋1)π＋(π4－＝sin[π－(π4＋α)]＋cos[π＋(π4－＝sin(π4＋α)＋[－cos(π4－＝sin(π4＋α)－cos[π2－(π4＝sin(π4＋α)－sin(π4＋α)＝當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2n(n∈Z)，則原式＝sin[2nπ－(π4＋α)]＋cos[2nπ＋(π4－＝－sin(π4＋α)＋cos(π4－＝－sin(π4＋α)＋cos[π2－(π4＝－sin(π4＋α)＋sin(π4＋α)綜上所述，原式＝0.例2【解析】(1)∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12，∴cosα＝12，∴①若α為第一象限角，則cos(π2＋α)＝－sinα＝－1-cos2α②若α為第四象限角，則cos(π2＋α)＝－sinα＝1-cos2α(2)cos(π6＋α)＝cos[π2－(π3＝sin(π3－α)＝1(3)對(duì)于A(yíng)，sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sinA，正確；對(duì)于B，sin(A+B2)＝sin(π-C2)對(duì)于C，若A＝60°，B＝45°，C＝75°，顯然sinB＝22>12＝cos對(duì)于D，cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，由C為銳角，可得：cosC>0，可得：cos(A＋B)＝－cosC<cosC，正確．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)12跟蹤訓(xùn)練2解析：(1)因?yàn)閏os(π－α)＝－cosα；又因?yàn)閟in2α＋cos2α＝1且α∈(0，π2)，所以cosα＝1-sin2α＝35，所以cos(π－(2)因?yàn)閟in(π2＋α)＝cosα＝12，α∈(0，π所以sinα＝1-cos2所以cos(3π2＋α)＝sinα＝(3)由3sin(π2－A)＝3sin(π－A)可得3cosA＝3sinA，即tanA＝33，又0<A<π，所以A＝π6，再由cosA＝－3cos(π－B)可得cosA＝3cosB，所以cosB＝12，又0<B<π，所以B＝π3，所以C＝答案：(1)B(2)D(3)B例3【解析】(1)f(α)＝sin＝-＝－tanα.(2)由(1)f(α)