環(huán)境規(guī)劃與管理的數(shù)學(xué)活動

環(huán)境規(guī)劃與管理的數(shù)學(xué)活動第一節(jié)環(huán)境數(shù)據(jù)處理方法一、數(shù)據(jù)的表示方法和數(shù)據(jù)特征（一）數(shù)據(jù)的表示方式

1.列表法：將數(shù)據(jù)列成表格，將各變量的數(shù)值依照一定的形式和順序一一對應(yīng)起來，它通常是整理數(shù)據(jù)的第一步，能為標(biāo)繪曲線圖或整理成數(shù)學(xué)公式打下基礎(chǔ)。例:研究電阻的阻值與溫度的關(guān)系時，測試結(jié)果如下：測量序號溫度(t)/℃電阻(R)/Ω110．510．42229．410．92342．711．32460．011．80575．012．24691．012．672.圖示法：將數(shù)據(jù)用圖形表示出來，它能用更加直觀和形象的形式將復(fù)雜的數(shù)據(jù)表現(xiàn)出來，可以直觀地看出數(shù)據(jù)變化的特征和規(guī)律，為后一步數(shù)學(xué)模型的建立提供依據(jù)。圖示法的第一步就是按列表法的要求列出因變量y與自變量x相對應(yīng)的yi與xi數(shù)據(jù)表格。作曲線圖時必須依據(jù)一定的法則，只有遵守這些法則，才能得到與實驗點位置偏差最小而光滑的曲線圖形。坐標(biāo)紙的選擇：常用的坐標(biāo)系為直角坐標(biāo)系，包括笛卡爾坐標(biāo)系（又稱普通直角坐標(biāo)系）、半對數(shù)坐標(biāo)系和對數(shù)坐標(biāo)系。篩下累計頻率（Fi）粒徑（dp）/μm例：PM50粒徑分布圖（二）數(shù)據(jù)特征

數(shù)據(jù)特征是對環(huán)境總體狀況進(jìn)行估計判斷的基礎(chǔ)，是認(rèn)識數(shù)據(jù)理論特性的基本出發(fā)點，通常可分為以下三類：位置特征數(shù):表示數(shù)據(jù)集中趨勢或刻畫頻數(shù)分布圖中心位置的特征數(shù)；離散特征數(shù):用來描述數(shù)據(jù)分散程度；分布形態(tài)特征數(shù):刻劃了根據(jù)所獲數(shù)據(jù)繪制的分布曲線圖的形態(tài)。1.位置特征數(shù)（1）算術(shù)平均數(shù)：式中：x1，x2，…，xn為樣本個體數(shù)據(jù)，n為樣本個數(shù)。（2）加權(quán)平均數(shù)：

如果樣本個體數(shù)據(jù)x1，x2，…,xn取值因頻數(shù)不同或?qū)傮w重要性有所差別，則常采取加權(quán)平均方法。式中：wi是個體數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻數(shù)，或是因該個體對樣本貢獻(xiàn)不同而取的不同的數(shù)值。

（4）調(diào)和平均數(shù)：（3）幾何平均數(shù)：幾種平均數(shù)之間的關(guān)系數(shù)量關(guān)系：調(diào)和平均數(shù)(H)≤幾何平均數(shù)(G)≤算術(shù)平均數(shù)例：某工廠某生產(chǎn)組六個工人的日產(chǎn)量分別為15、16、17、18、19、20（單位：件），據(jù)此計算的各平均數(shù)如下：算術(shù)平均數(shù)（件）幾何平均數(shù)（件）調(diào)和平均數(shù)（件）幾種平均數(shù)在實際運用中的選擇：凡是變量值的連乘積等于總比率或總速度時，都可適用幾何平均數(shù)計算平均比率或平均速度。凡是變量值的總和等于總體指標(biāo)值總量時，均可采用算術(shù)平均數(shù)的方法。調(diào)和平均數(shù)是標(biāo)志值倒數(shù)的算術(shù)平均值的倒數(shù)，它和算術(shù)平均數(shù)的實際意義相同，計算公式可以互推。因而，算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)是研究同一問題時，因掌握不同資料而采用的不同方法。例：某廠由三個車間構(gòu)成流水作業(yè)線，第一車間的合格率為90%，第二車間為85%，第三車間80%，求全廠的平均合格率。分析：此題由于每后一車間的合格率是在前一車間合格率基礎(chǔ)上的，因此不能用算術(shù)和調(diào)和平均數(shù)計算公式，而只能用幾何平均數(shù)計算公式。解：G=(x1

*x2

*x3)1/3=(90%*85%*80%)1/3≈84.9%例：設(shè)某菜場某蔬菜早、中、晚價格分別為元/斤，元/斤，元/斤，現(xiàn)早、中、晚各買一斤該蔬菜，問全天的平均價格為多少？解：平均值=總支出/總斤數(shù)

=(0.25*1+0.2*1+0.1*1)/3（元/斤）（簡單算術(shù)平均數(shù)）◆現(xiàn)早、中、晚分別買該蔬菜1、2、3斤，問全天的平均價格為多少？解：平均值=總支出/總斤數(shù)

=(0.25*1+0.2*2+0.1*3)/(1+2+3)（元/斤）（加權(quán)算術(shù)平均數(shù)）◆現(xiàn)早、中、晚各買該蔬菜1元，問全天的平均價格為多少？解：平均值=總支出/總斤數(shù)）（元/斤）（簡單調(diào)和平均數(shù)）（5）中位數(shù)環(huán)境數(shù)據(jù)有時顯得比較分散，甚至個別的數(shù)據(jù)離群偏遠(yuǎn)，難以判斷去留，這時往往用到中位數(shù)。樣本數(shù)據(jù)依次排列（從大到小或者從小到大），居中間位置的數(shù)即為中位數(shù)，若數(shù)據(jù)個數(shù)為偶數(shù)，則中位數(shù)為正中兩個數(shù)的平均值。中位數(shù)位置=

(n+1)/2

只有當(dāng)數(shù)據(jù)的分布呈正態(tài)分布時，中位數(shù)才代表這組數(shù)據(jù)的中心趨向，近似于真值。例：有5位學(xué)員，他們的年齡分別為17、19、20、23、24，則：中位數(shù)位置=(5+1)/2=3，即20為中位數(shù)。例：有6位學(xué)員，他們的年齡分別為17、19、20、22、24、

25，則：中位數(shù)位置=(6+1)/2=3.5，即第三、四位則20、22居于中位數(shù)位置。中位數(shù)=(22+20)/2=21環(huán)境統(tǒng)計中常常用到幾何平均數(shù)。不同的平均值都有各自適用場合，選擇的平均數(shù)指標(biāo)應(yīng)能反映數(shù)據(jù)典型水平，并非隨意采用。（1）級差（全距）：指總體各單位的兩個極端標(biāo)志值之差，可反映總體標(biāo)志值的差異范圍。

（2）差方和，樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差差方和：樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：（3）變異系數(shù)：2.離散特征數(shù)

樣本方差與樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本中各數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差的平方和的平均數(shù)叫做樣本方差；樣本方差的算術(shù)平方根叫做樣本標(biāo)準(zhǔn)差。樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差都是衡量一個樣本波動大小的量，樣本方差或樣本標(biāo)準(zhǔn)差越大，樣本數(shù)據(jù)的波動就越大。標(biāo)準(zhǔn)差是一組數(shù)據(jù)平均值分散程度的一種度量。一個較大的標(biāo)準(zhǔn)差，代表大部分?jǐn)?shù)值和其平均值之間差異較大；一個較小的標(biāo)準(zhǔn)差，代表這些數(shù)值較接近平均值。變異系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值稱為變異系數(shù)。變異系數(shù)是衡量資料中各觀測值變異程度的另一個統(tǒng)計量。當(dāng)進(jìn)行兩個或多個資料變異程度的比較時，如果度量單位與平均數(shù)相同，可以直接利用標(biāo)準(zhǔn)差來比較。如果單位和（或）平均數(shù)不同時，比較其變異程度就不能采用標(biāo)準(zhǔn)差，而需采用變異系數(shù)來比較。例：已知某良種豬場長白成年母豬平均體重為190kg，標(biāo)準(zhǔn)差為，而大約克成年母豬平均體重為196kg，標(biāo)準(zhǔn)差為，試問兩個品種的成年母豬，那一個體重變異程度大。分析：此例觀測值雖然都是體重，單位相同，但它們的平均數(shù)不相同，只能用變異系數(shù)來比較其變異程度的大小。解：由于，長白成年母豬體重的變異系數(shù)：C=10.5/190*100%=5.53%

大約克成年母豬體重的變異系數(shù)：C=8.5/196*100%=4.34%

所以，長白成年母豬體重的變異程度大于大約克成年母豬。3.分布形態(tài)特征數(shù)

刻劃數(shù)據(jù)分布形態(tài)的特征數(shù)有兩個：偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)。（1）偏態(tài)系數(shù)主要描述數(shù)據(jù)頻率分布對稱特征，反映數(shù)據(jù)是對稱分布或偏向某方向。（2）峰態(tài)系數(shù)峰態(tài)系數(shù)描述數(shù)據(jù)分布陡峭程度。式中：s為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。二、異常數(shù)據(jù)的剔除

目前人們對異常數(shù)據(jù)的判別與剔除主要采用物理判別法和統(tǒng)計判別法兩種方法。物理判別法就是根據(jù)人們對客觀事物已有的認(rèn)識，判別由于外界干擾、人為誤差等原因造成實測數(shù)據(jù)偏離正常結(jié)果，在實驗過程中隨時判斷，隨時剔除。統(tǒng)計判別法是給定一個置信概率，并確定一個置信限，凡超過此限的誤差，就認(rèn)為它不屬于隨機誤差范圍，將其視為異常數(shù)據(jù)剔除。格拉布斯準(zhǔn)則

用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗可疑數(shù)據(jù)xp時，選取一定的顯著性水平α，若：

則應(yīng)將xp從該組數(shù)據(jù)中剔除，稱為格拉布斯檢驗臨界值，可查相關(guān)表格得到。

以上準(zhǔn)則是以數(shù)據(jù)按正態(tài)分布為前提的，當(dāng)數(shù)據(jù)偏離正態(tài)分布,特別是測量次數(shù)很少時，則判斷的可靠性就差。因此，對粗大誤差除用剔除準(zhǔn)則外，更重要的是要提高工作人員的技術(shù)水平和工作責(zé)任心。另外,要保證測量條件穩(wěn)定，防止因環(huán)境條件劇烈變化而產(chǎn)生的突變影響。注意：三、數(shù)據(jù)的誤差分析（一）幾種誤差的基本概念絕對誤差：絕對誤差＝觀測值-真值。絕對誤差反映了觀測值偏離真值的大小。通常所說的誤差一般是指絕對誤差。相對誤差：相對誤差是絕對誤差和真值的比值，常用百分?jǐn)?shù)表示。

算術(shù)平均誤差可以反映一組數(shù)據(jù)的誤差大小。

標(biāo)準(zhǔn)誤差也稱均方根誤差或標(biāo)準(zhǔn)偏差，它常用來表示觀測數(shù)據(jù)的精密度，能明顯地反映出較大的個別誤差，標(biāo)準(zhǔn)誤差越小，說明數(shù)據(jù)精密度越好。（二）誤差的來源及分類1.隨機誤差

隨機誤差是在一定條件下以不可預(yù)知的規(guī)律變化著的誤差。這些偶然因素是操作者無法嚴(yán)格控制的，故無法完全避免隨機誤差。但它的出現(xiàn)一般具有統(tǒng)計規(guī)律，大多服從正態(tài)分布。2.系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指由某個或某些不確定的因素所引起的誤差。當(dāng)條件一旦確定，系統(tǒng)誤差就是一個客觀上的恒定值，它不能通過多次測量取平均值的方法來消除，只能根據(jù)儀器的性能、環(huán)境條件或個人偏差等進(jìn)行校正，使之降低。

3.過失誤差過失誤差是由于操作人員不仔細(xì)、操作不正確等原因引起的，它是完全可以避免的。（三）誤差分析

精密度反映了隨機誤差大小的程度，是指在相同條件下，對被測對象進(jìn)行多次反復(fù)測量，測量值之間的一致(符合)程度。正確度指測量值與其“真值”的接近程度。對于一組數(shù)據(jù)來說，精密度高并不意味著正確度也高；反之，精密度不好，但當(dāng)測量次數(shù)相當(dāng)多時，有時也會得到好的正確度。準(zhǔn)確度指被測對象測量值之間的一致程度以及與其“真值”的接近程度。準(zhǔn)確度、正確度和精密度的關(guān)系四、數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理

在大批的環(huán)境統(tǒng)計數(shù)據(jù)中，當(dāng)數(shù)據(jù)的物理量不同、單位或量值差別較大時，常常會給下一步分析帶來困難，這時就有必要對數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理，從而提高計算的精度。環(huán)境管理與規(guī)劃中，常采用下面的公式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化處理：式中：uij為xij標(biāo)準(zhǔn)化后對應(yīng)的數(shù)據(jù)，xij(i=1，2，3，…，m；j=1，2，3，…，n)為一批數(shù)據(jù)中第i個因子的第j個數(shù)據(jù)，si、分別為第i個因子標(biāo)準(zhǔn)差和平均值。第二節(jié)最優(yōu)化分析方法一、線性規(guī)劃二、非線性規(guī)劃三、動態(tài)規(guī)劃一、線性規(guī)劃

在環(huán)境規(guī)劃管理中，線性規(guī)劃常常用來解決兩類優(yōu)化問題：一是如何優(yōu)化資源配置使產(chǎn)值最大或利潤最高，二是如何統(tǒng)籌安排以便消耗最少的資源或排放最少的污染物。

≤（=/≥）

≤（=/≥）

≤（=/≥）

≥0一般線性規(guī)劃問題的求解，最常用的算法是單純形法。二、非線性規(guī)劃

在環(huán)境規(guī)劃與管理中，某些問題的決策模型可能會出現(xiàn)下面的情況：①目標(biāo)函數(shù)非線性，約束條件為線性；②目標(biāo)函數(shù)為線性，約束條件非線性；③目標(biāo)函數(shù)與約束條件均為非線性函數(shù)。上述情況均屬于非線性規(guī)劃問題，其數(shù)學(xué)模型的一般形式是：

≥0

數(shù)值求解非線性規(guī)劃的算法大體分為兩類：一是采用逐步線性逼近的思想，通過一系列非線性函數(shù)線性化的過程，利用線性規(guī)劃獲得非線性規(guī)劃的近似最優(yōu)解；二是采用直接搜索的思想，根據(jù)部分可行解或非線性函數(shù)在局部范圍內(nèi)的某些特性，確定迭代程序，通過不斷改進(jìn)目標(biāo)值的搜索計算，獲得最優(yōu)或滿足需要的局部最優(yōu)解。三、動態(tài)規(guī)劃

基本原理：作為多階段決策問題，其整個過程的最優(yōu)策略應(yīng)具有這樣的性質(zhì)，即無論過去的狀態(tài)和決策如何，對前面的決策所形成的狀態(tài)而言，其后一系列決策必須構(gòu)成最優(yōu)決策?？砂讯嚯A段決策問題分解成許多相互聯(lián)系的小問題，從而把一個大的決策過程分解成一系列前后有序的子決策過程，分階段實現(xiàn)決策的“最優(yōu)化”，進(jìn)而實現(xiàn)“總體最優(yōu)化”方案。為使最后決策方案獲得最優(yōu)決策效果，動態(tài)規(guī)劃求解可用下列遞推關(guān)系式表示：式中：k—階段數(shù)，k=n-1，…，3，2，1xk—第k階段的狀態(tài)變量，即k－1階段決策的結(jié)果。第k階段所有狀態(tài)成一狀態(tài)集；—第k階段的決策變量，它代表第k階段處于狀態(tài)xk時的選擇，即決策；—第k階段從狀態(tài)xk轉(zhuǎn)移到下一階段狀態(tài)uk(xk)時的階段效果。第三節(jié)常用決策分析方法

決策是指通過對解決問題備選方案的比較，從中選出最好的方案。決策的分類按決策的條件確定型、非確定型、風(fēng)險型按決策的對象宏觀、微觀按決策在企業(yè)組織中的地位分類高層決策、中層決策、基層決策

一、決策樹法含義：決策樹是把方案的一系列因素按它們的相互關(guān)系用樹狀結(jié)構(gòu)表示出來，再按一定程序進(jìn)行優(yōu)選和決策的技術(shù)方法。優(yōu)點：（1）便于有次序、有步驟、直觀而又周密地考慮問題；（2）便于集體討論和決策；（3）便于處理復(fù)雜問題的決策。決策樹圖形

—表示決策點，從它引出的分枝稱為策略方案分枝，分枝樹反映可能的方案數(shù)；—表示策略方案節(jié)點，其引出的分枝稱為概率分枝，分枝數(shù)目反映可能的自然狀態(tài)數(shù)；—表示事件節(jié)點，又稱末梢。決策樹圖形

適用對象：多階段決策、前一階段的決策影響后續(xù)階段的結(jié)構(gòu)和決策的項目。方法：用決策樹的形式列出決策問題的邏輯結(jié)構(gòu)。從決策樹的末梢向決策點倒退，計算出不同決策方案下的期望值，將未占優(yōu)的方案去掉，直到得出初始的決策方案。運用決策樹技術(shù)的步驟：（1）繪制決策樹圖；（2）預(yù)計可能事件（可能出現(xiàn)的自然狀態(tài)）及其發(fā)生的概率；（3）計算各策略方案的損益期望值；（4）比較各策略方案的損益期望值，進(jìn)行擇優(yōu)決策。若決策目標(biāo)是效益，應(yīng)取期望值大的方案；若決策目標(biāo)是費用或損失，應(yīng)取期望值小的方案。例題：

有一石油化工企業(yè)，對一批廢油渣進(jìn)行綜合利用。它可以先做實驗，然后決定是否綜合利用；也可以不做實驗，只憑經(jīng)驗決定是否綜合利用。做實驗的費用每次為3000元，綜合利用費每次為10000元。若做出產(chǎn)品，可收入40000元；做不出產(chǎn)品，沒有收入。各種不同情況下的產(chǎn)品成功概率均已估計出來，都標(biāo)在圖1上。試問欲使收益期期望值為最大，企業(yè)應(yīng)如何作出決策。根據(jù)圖中給出數(shù)據(jù)求解。決策樹采用逆順序計算法。

400001234①試驗概率為0.6②綜合利用△-3000△-10000產(chǎn)品成功概率為0.85產(chǎn)品不成功概率為0.15不綜合利用0040000③④決策樹產(chǎn)品成功概率為0.1產(chǎn)品成功概率為0.55產(chǎn)品不成功概率為0.9產(chǎn)品不成功概率為0.45不綜合利用不綜合利用000040000不試驗概率為0.4綜合利用綜合利用△-10000△-10000好不好─決策點─決策（事件）點─支出符號1．計算事件點②、③、④的期望值②＋＝34000＋＝4000＋＝22000原決策樹根據(jù)以上算出的期望值可簡化為圖2a：2.在決策點2、3、4作出決策2按max[(34000－10000),0]＝24000，決定綜合利用。3按max[(4000－10000),0]＝0，決定不綜合利用。4按max[(22000－10000),0]＝12000，決定綜合利用。決策樹繼續(xù)簡化為圖2b：

圖2決策樹3.計算