(完整版)高中數(shù)學選修2-1知識點總結

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MathematicsElective2-1Chapter1:PropositionsandLogicalStructuresKeypoints:1.Proposition:astatementthatcanbejudgedtrueorfalse,expressedinlanguage,symbols,orformulas.Trueproposition:astatementjudgedtobetrue.Falseproposition:astatementjudgedtobefalse.2.Inthepropositionoftheform"ifp,thenq,"piscalledtheconditionofthepropositionandqiscalledtheconclusionoftheproposition.3.Fortwopropositions,iftheconditionandconclusionofonepropositionarerespectivelytheconclusionandconditionoftheotherproposition,thenthesetwopropositionsarecalledinversepropositions.Onepropositioniscalledtheoriginalproposition,andtheotheriscalledtheinversepropositionoftheoriginalproposition.Iftheoriginalpropositionis"ifp,thenq,"thenitsinversepropositionis"ifq,thenp."4.Fortwopropositions,iftheconditionandconclusionofonepropositionareexactlythenegationoftheconditionandconclusionoftheotherproposition,thenthesetwopropositionsarecalledcontrarypropositions.Onepropositioniscalledtheoriginalproposition,andtheotheriscalledthenegativepropositionoftheoriginalproposition.Iftheoriginalpropositionis"ifp,thenq,"thenitsnegativepropositionis"ifnotp,thennotq."5.Fortwopropositions,iftheconditionandconclusionofonepropositionareexactlythenegationoftheconclusionandconditionoftheotherproposition,thenthesetwopropositionsarecalledconversenegativepropositions.Onepropositioniscalledtheoriginalproposition,andtheotheriscalledtheconversenegativepropositionoftheoriginalproposition.Iftheoriginalpropositionis"ifp,thenq,"thenitsconversenegativepropositionis"ifnotq,thennotp."6.Thetruthvalueofthefourpropositions:OriginalpropositionInversepropositionTrueTrueFalseFalseTrueFalseFalseTrueTherelationshipbetweenthetruthvaluesofthefourpropositions:NegativepropositionTrueFalseTrueFalseConversenegativepropositionTrueTrueFalseFalse(1)Twopropositionsareconversenegativepropositions,andtheyhavethesametruthvalue;(2)Twopropositionsareinversepropositionsorcontrarypropositions,andtheirtruthvaluesareunrelated.7.Ifpimpliesq,thenpisasufficientconditionforq,andqisanecessaryconditionforp.Ifpisequivalenttoq,thenpisanecessaryandsufficientconditionforq.8.Usetheconjunction"and"toconnectthepropositionpandthepropositionqtoformanewproposition,denotedasp∧q.Whenpandqarebothtruepropositions,p∧qisatrueproposition;whenoneofpandqisafalseproposition,p∧qisafalseproposition.Usethedisjunction"or"toconnectthepropositionpandthepropositionqtoformanewproposition,denotedasp∨q.Whenoneofpandqisatrueproposition,p∨qisatrueproposition;whenbothpandqarefalsepropositions,p∨qisafalseproposition.Negateapropositionpasawholetoformanewproposition,denotedas?p.Ifpisatrueproposition,then?pmustbeafalseproposition;ifpisafalseproposition,then?pmustbeatrueproposition.9.Thephrase"forall"or"forany"isusuallycalledauniversalquantifierinlogic,denotedas"?."Apropositioncontainingauniversalquantifieriscalledauniversalproposition,denotedas"?x∈M,p(x)istrue."Thephrase"thereexists"or"atleastone"isusuallycalledanexistentialquantifierinlogic,denotedas"?."Apropositioncontaininganexistentialquantifieriscalledanexistentialproposition,denotedas"thereexistsanxinM,suchthatp(x)istrue."1、全稱命題“對于集合M中的任意一個元素x，p(x)成立”，記作“?x∈M，p(x)”。2、特稱命題p：“存在一個元素x屬于集合M，使得p(x)成立”，記作“?x∈M，p(x)”，它的否定為“對于集合M中的任意一個元素x，p(x)不成立”，記作“?x∈M，?p(x)”。3、特稱命題的否定是全稱命題，全稱命題的否定是特稱命題。4、求曲線的方程的步驟為：建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担O動點M(x,y)及其他的點，找出滿足限制條件的等式，將點的坐標代入等式，化簡方程，并驗證。5、平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡稱為橢圓。這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距。MF1+MF2=2a（2a>2c）。6、橢圓的幾何性質：焦點的位置有焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況，標準方程為x2/a2+y2/b2=1（a>b>0），范圍為?a≤x≤a且?b≤y≤b，頂點為A1(?a,0)、A2(a,0)、B1(0,?b)、B2(0,b)，短軸的長為2b，長軸的長為2a，焦點為F1(?c,0)、F2(c,0)或F1(0,?c)、F2(0,c)，焦距為2c，具有關于x軸、y軸對稱和關于原點中心對稱的性質，離心率為e=c/a，準線方程為y=±b/e。7、設M是橢圓上任一點，點M到F1對應準線的距離為d1，點M到F2對應準線的距離為d2，則MF1=MF2=e。8、平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于F1F2）的點的軌跡稱為雙曲線。這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距。MF1?MF2=2a（2a<2c）。9、雙曲線的幾何性質：焦點的位置有焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況，標準方程為x2/a2?y2/b2=1（a>0,b>0），范圍為x≠±a且y∈R，頂點為A1(?a,0)、A2(a,0)、短軸的長為2b，長軸的長為2a，焦點為F1(?c,0)、F2(c,0)或F1(0,?c)、F2(0,c)，焦距為2c，具有關于x軸對稱和關于y軸對稱的性質，離心率為e=c/a，漸近線方程為y=±b/a×x。10、刪除了明顯有問題的段落，對其他段落進行了小幅度的改寫。2、向量的加減法：（1）向量的加法：將兩個向量的起點重合，終點相接，所得的向量即為它們的和．（2）向量的減法：將減去的向量取反，再按照向量的加法規(guī)則進行計算．3、數(shù)量積和向量積：（1）數(shù)量積：也叫點積，是兩個向量的數(shù)量乘積再乘以它們的夾角的余弦值．（2）向量積：也叫叉積，是兩個向量的大小乘以它們的夾角的正弦值，方向垂直于這兩個向量所在的平面，遵循右手定則．4、空間向量的坐標表示：空間向量可以用三元組表示，其中每個元素表示向量在x、y、z三個方向上的投影長度，也可以用向量組的形式表示．5、平面和直線的向量方程：（1）平面的向量方程：一個平面可以由一個點和與其垂直的法向量表示，即向量r?n=d，其中r為平面上的任意一點，n為法向量，d為常數(shù)．（2）直線的向量方程：一條直線可以由一點和與其平行或垂直的向量表示，即r=r0+tv，其中r0為直線上的一點，v為方向向量，t為參數(shù)．6、空間向量的線性相關和線性無關：（1）線性相關：若存在不全為0的實數(shù)k1、k2、k3，使得k1a1+k2a2+k3a3=0，則向量組a1、a2、a3線性相關．（2）線性無關：若不存在不全為0的實數(shù)k1、k2、k3，使得k1a1+k2a2+k3a3=0，則向量組a1、a2、a3線性無關．7、空間向量的基底和坐標：（1）基底：是線性無關的向量組，它們可以表示空間中的任意向量．（2）坐標：是一個向量在基底上的投影長度所組成的向量．8、空間向量的投影和夾角：（1）投影：一個向量在另一個向量上的投影長度為它們的數(shù)量積除以另一個向量的模長．（2）夾角：兩個向量的夾角的余弦值等于它們的數(shù)量積除以它們的模長之積．1.向量的基本性質1.1向量的乘法滿足交換律和結合律，即$a\cdotb=b\cdota$，$(\lambdaa)\cdotb=\lambda(a\cdotb)$，$(a+b)\cdotc=a\cdotc+b\cdotc$。1.2若$a$與$b$同向，則$a\cdotb=|a|\cdot|b|$；若$a$與$b$反向，則$a\cdotb=-|a|\cdot|b|$。1.3向量的模長滿足$|a|^2=a\cdota$。1.4向量的模長具有非負性，即$|a|\geq0$，當且僅當$a=\vec{0}$時，$|a|=0$。1.5向量的模長的平方具有可加性，即$|a+b|^2=|a|^2+2a\cdotb+|b|^2$。1.6向量的模長滿足三角不等式，即$|a+b|\leq|a|+|b|$。2.向量的數(shù)量積2.1向量的數(shù)量積滿足交換律和結合律，即$a\cdotb=b\cdota$，$(\lambdaa)\cdotb=\lambda(a\cdotb)$，$(a+b)\cdotc=a\cdotc+b\cdotc$。2.2若$\theta$為$a$與$b$的夾角，則$a\cdotb=|a|\cdot|b|\cdot\cos\theta$。2.3若$a$與$b$垂直，則$a\cdotb=0$。2.4向量的數(shù)量積滿足分配律，即$(a+b)\cdotc=a\cdotc+b\cdotc$。2.5向量的數(shù)量積滿足柯西-施瓦茨不等式，即$|a\cdotb|\leq|a|\cdot|b|$。3.向量的坐標表示3.1若三個向量$a,b,c$不共面，則對于空間中任意向量$p$，存在實數(shù)$x,y,z$，使得$p=xa+yb+zc$。3.2若向量$e_1,e_2,e_3$兩兩垂直且模長為$1$，則對于空間中任意向量$p$，存在實數(shù)$x,y,z$，使得$p=xe_1+ye_2+ze_3$。此時，$x,y,z$稱為向量$p$在基底$e_1,e_2,e_3$下的坐標。3.3若向量$a=(x_1,y_1,z_1)$，$b=(x_2,y_2,z_2)$，則$a+b=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$，$a-b=(x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)$，$\lambdaa=(\lambdax_1,\lambday_1,\lambdaz_1)$，$a\cdotb=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$。若$a$與$b$非零且垂直，則$a\perpb$；若$b\neq0$，則$a\parallelb$當且僅當$a=\lambdab$。19.在空間中，我們可以以一個基點O為起點，用向量OR表示空間中的任意一點R的位置。這個向量OR被稱為點R的位置向量。20.一條直線l在空間中的位置可以由一點A和一個方向向量a來確定。這里，點A是直線上的一個點，向量a表示直線的方向。對于直線上的任意一點R，向量AR可以表示為ta的形式，其中t是實數(shù)。21.一平面α在空間中的位置可以由平面內(nèi)的兩條相交直線來確定。設這兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b。對于平面內(nèi)的任