高中數(shù)學(xué)新教材必修二全書綜合試題及答案

高中數(shù)學(xué)新教材必修二全書綜合試題及答案

1.已知復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=2+i,則z的共枕復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在

（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.水平放置的4ABC的斜二測直觀圖如圖所示，若AiC1=2,AAiB1Ci

的面積為2應(yīng)，則AB的長為（）

A.V2B.2V17

C.2D.8

3.設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，尻=3而,則（）

A.AD=-AB+1ACB.AD=^AB--AC

3333

->A.----->1---->----->4------>1---->

C.力。一力力CD.力。一/B」力C

3333

4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有北鄉(xiāng)算八千七

百五十八，西鄉(xiāng)算七千二百三十六，南鄉(xiāng)算八千三百五十六,凡三鄉(xiāng)，發(fā)

役三百七十八人，欲以算數(shù)多少出之，問各幾何?”意思是:北鄉(xiāng)有8758

人,西鄉(xiāng)有7236人,南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)要按人數(shù)多少從三鄉(xiāng)共征集378

人，問從各鄉(xiāng)征集多少人?在上述問題中，需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是（）

A.102B.112

C.130D.136

5.奧林匹克會旗中央有5個互相套連的圓環(huán),顏色自左至右，上方依次

為藍、黑、紅，下方依次為黃、綠,象征著五大洲.在手工課上，老師將這

5個顏色的環(huán)分發(fā)給甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)作為模型進行制作,

每人分得1個,則事件“甲分得紅色”與“乙分得紅色”是（）

A.對立事件B.不可能事件

C.互斥但不對立事件D.無法判斷

6.已知向量a=(8,gx),b=(x,l),其中x>0,若(a-2b)〃(2a+b),則x的值為

)

A.4B.8

C.0D.2

7.在四面體A-BCD中，若AB=CD=b,AC=BD=2,AD=BC=V^則直線

AB與CD所成角的余弦值為（）

1

B-

A.4

1

-

4

8.已知4ABC的三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,滿足

cos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC,且sinA+sinC=l,則AABC的形狀

為（）

A.等邊三角形

B.等腰直角三角形

C.頂角為部勺等腰三角形

D.頂角為零的等腰三角形

二'多項選擇題（本大題共4小題,每小題5分共20分.在每小題給出

的選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分,部分選對的得

3分，有選錯的得0分）

9.給出下列四個命題，其中正確的命題是（）

A.做100次拋硬幣的試驗，結(jié)果51次出現(xiàn)正面朝上，因此，出現(xiàn)正面朝

上的概率是急

B.隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率

C.拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果有18次,則出現(xiàn)1點的頻率是4

D.隨機事件發(fā)生的頻率不一定是這個隨機事件發(fā)生的概率

10.已知m,n是兩條不重合的直線,a,B,y是三個兩兩不重合的平面，下列

命題是真命題的是（）

A.若m_La,m_LB儀!ja〃P

B.若mUa,nU（3,m〃n,則a〃0

C.若m,n是異面直線,mUa,m〃p,nup,n〃a,則a〃0

口.若（1_1丫,|3_1_丫,則a〃p

11.已知向量a,b是同一平面a內(nèi)的兩個向量，則下列結(jié)論正確的是

（）

A.若存在實數(shù)兀使得b=Xa,則a與b共線

B.若a與b共線，則存在實數(shù)兀使得b=Xa

C.若a與b不共線，則對平面a內(nèi)的任一向量c,均存在實數(shù)入,也使得

c=Xa+|ib

D.若對平面a內(nèi)的任一向量c,均存在實數(shù)%出使得c=)ca+|ib,則a與b不

共線

12.甲、乙兩人在相同的條件下各打靶6次，甲的成績分別是8,6,8,6,9,8;

乙的成績分別是4,6,8,7,10,10,則以下說法正確的是()

A.甲、乙兩人打靶的平均環(huán)數(shù)相等

B.甲打靶環(huán)數(shù)的中位數(shù)比乙打靶環(huán)數(shù)的中位數(shù)大

C.甲打靶環(huán)數(shù)的眾數(shù)比乙打靶環(huán)數(shù)的眾數(shù)大

D.甲打靶的成績比乙打靶的成績穩(wěn)定

三'填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.將答案填在題中橫

線上)

13.某學(xué)校組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)測試,成績的頻率分布直方圖如下，數(shù)據(jù)

的分組依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100],則可估計這次數(shù)學(xué)測試

成績的第40百分位數(shù)是.

14.如圖，在4ABC中,D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分

點，豆1?M=4,BF?#=-1,則屁?而的值是?深度解析

15.已知圓錐的高是底面半徑的百倍，側(cè)面積為7T,P為圓錐頂點,若正方

形ABCD內(nèi)接于底面圓O,則四棱錐P-ABCD的側(cè)面積為.

16.在一次數(shù)學(xué)考試中，第22題和第23題為選做題，規(guī)定每位考生必須

且只需在其中選做一題.設(shè)四名考生選做這兩題的可能性均為2則甲、

乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率為;甲、乙兩名學(xué)生都選做

第22題的概率為.(本題第一空2分,第二空3分)

四'解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過

程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7:30之前到校

的概率均為|.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天

到校情況相互獨立.

(1)設(shè)甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中,7:30之前到校的天數(shù)為X,求

X=0,X=l,X=2,X=3時的概率P(X=0),P(X=l),P(X=2),P(X=3);

⑵設(shè)M為事件”上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)比

乙同學(xué)在7:30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件M發(fā)生的概率.

18.(本小題滿分12分)如圖，在AOAB中，已知P為線段AB上一

點,。P=x。4+yOB.

(1)若前=再，求實數(shù)x,y的值；

⑵若前=3而赤|=2,且U7與畫的夾角為60。,求加?屈的直

B

19.(本小題滿分12分)在銳角4ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,

且bsinA=ya.

(1)求B的大小；

(2)若AB=2,BC=|,點D在邊AC上,，求BD的長.

請在①AD=DC;②NDBC=NDBA;③BD_LAC這三個條件中選擇一個,

補充在上面的橫線上，并完成解答.

注:如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分.

20.（本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體

中,PB〃EC,PB=2CE=2,PB，平面ABCD,在平行四邊形ABCD

中,AB=l,AD=2,ZBAD=60°.

(1)求證:AC〃平面PDE;

（2）求CD與平面PDE所成角的正弦值.

21.（本小題滿分12分）2020年4月23日“世界讀書日”來臨時，某校

為了解中學(xué)生課外閱讀情況，隨機抽取了100名學(xué)生，并獲得了他們一

周課外閱讀時間（單位:小時）的數(shù)據(jù)，整理得到下表.

組號分組頻數(shù)頻率

1[0,5)50.05

2[5,10)a0.35

3[10,15)30b

4[15,20)200.20

5[20,25]100.10

合計1001

（1）求a,b的值，并在下圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;（用陰影涂

里八、、）

+頻率

組距

0.07------1-----*----；-----：-----*

0.06------;-----:-----j----;--:

0.05........--4----：.--

0.04

0.03

0.02———寧一十一Y

0.01

0510152025時間〃卜時

（2）根據(jù)頻率分布直方圖估計該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)及中位數(shù)（中位數(shù)精確到

0.01）;

（3）現(xiàn)從第4、5組中用比例分配的分層隨機抽樣方法抽取6人參加校

中華詩詞比賽，經(jīng)過比賽后，第4組得分的平均數(shù)元=7,方差s2=2,第5組

得分的平均數(shù)歹=7,方差t2=l,則這6人得分的平均數(shù)五和方差人分別為

多少（方差精確到0.01）?

22.（本小題滿分12分）如圖甲，在矩形ABCD中,E是CD的中

點,AB=2,BC=V^以AE、BE為折痕將4ADE與4BCE折起，使D,C

重合（仍記為D）,如圖乙（以4ABD所在平面為底面）.

（1）探索折疊形成的幾何體中直線DE的幾何性質(zhì)并證明（寫出一條即

可，不含DE±DA,DE±DB）;

（2）求翻折后幾何體E-ABD外接球的體積.

答案全解全析

一'單項選擇題

1.DV(l-i)z=2+i,z_2+i_(2+i)(l+i)_l+3.

1-i(l-i)(l+i)2

，即Z的共枕復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)

對應(yīng)的點在第四象限.故選D.

2.B因為△AiBCi的面積為2魚，

所以2&=；ACxBQxsin45*x2xBiCix今解得BiCi=4,所以BC=8,

易知AC_LBC,由勾股定理得AB=V/1C2+BC2=V224-82=2V17.i^^B.

3.AAD=AB+BD=AB+BC+CD=AB^~BC=AB-4(AC^AB)=-^AB-4AC.故選A.

4.B因為北鄉(xiāng)有8758人,西鄉(xiāng)有7236人,南鄉(xiāng)有8356人，現(xiàn)要按人數(shù)多少從

三鄉(xiāng)共征集378人,所以需從西鄉(xiāng)征集的人數(shù)是378x-—^112.

O/DOT-/ZoO-rO□□□

5.C結(jié)合互斥事件和對立事件的概念可知C正確.

6.A因為a=?x),b=(x,l),所以a-2b=(8—2久,^x-2),2a+b=(16+x,x+l).

因為(a-2b)//(2a+b),所以(8-2x)(x+1)=(16+x)Qx-2),即qx2+40=0,解得x=±4,又x>0,

所以x=4,故選A.

7.D因為四面體的對邊分別相等，所以該四面體的頂點為長方體的不相鄰的四

個頂點，如圖所示，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a,b,c,

22

(a+b=5,(a=V3,

則(a2+c2=4,解得,b=y/2,

+c2=3,(c=1.

連接DC,交AB于點O,則D，C〃DC,所以NAOD是異面直線AB與CD所成的

角(或其補角).

所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為今故選D.

8.Dcos2A-cos2B+cos2C=1+sinAsinC,B|J1-sin2A-(1-sin2B)+1-sin2C=1+sinAsinC,

即sidA+sin2c?sin2B=-sinAsinC,

由正弦定理可得a2+c2-b2=-ac,

由余弦定理得cosB串著W，

因為BG(0,兀)，所以B號，

故sinA+sin償-A)=l,整理得sin(A+^)=l,故A=^,所以C*

故AABC為頂角為坐的等腰三角形.

故選D.

二、多項選擇題

9.CD對于A,B,混淆了頻率與概率的區(qū)別，故A,B錯誤；

對于C,拋擲骰子100次，得點數(shù)是1的結(jié)果有18次,則出現(xiàn)1點的頻率是總，符合

頻率的定義，故C正確；

對于D,頻率是概率的估計值，故D正確.

故選CD.

10.AC顯然A正確；

兩條在不同平面的直線平行不能說明這兩個平面平行，故B錯誤；

由兩條分別在不同平面的異面直線分別平行于這兩個平面，可得這兩個平面平行,

故C正確；

垂直于同一平面的兩平面不一定平行，故D錯誤.

故選AC.

H.ACD根據(jù)平面向量共線的知識可知A選項正確；

當(dāng)a=0,b為非零向量時,a與b共線，但不存在實數(shù)入，使得b=Xa,所以B選項錯誤；

根據(jù)平面向量基本定理可知C、D選項正確.

故選ACD.

12.ABD甲的平均環(huán)數(shù)為卜(8+6+8+6+9+8)考，乙的平均環(huán)數(shù)為

9(4+6+8+7+10+10)4，兩人的平均環(huán)數(shù)相等,A正確;甲的中位數(shù)是8,乙的中位數(shù)

oZ

是蔡，甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)大,B正確;甲的眾數(shù)是8,乙的眾數(shù)是10,甲的眾數(shù)

比乙的眾數(shù)小,C錯誤;甲的數(shù)據(jù)比乙的數(shù)據(jù)集中，更穩(wěn)定,D正確.

三、填空題

13.答案65

解析由題圖得成績在［20,60)的頻率是(0.005+0.010)x20=03成績在［20,80)的頻

率為0.3+0.020x20=0.7,故第40百分位數(shù)一定位于［60,80)內(nèi)，

則這次數(shù)學(xué)測試成績的第40百分位數(shù)為°±^X20=65.

60+0.4

14.答案7

O

解析BA?CA=(^BC-AD)?(彳前一而)旦產(chǎn)*簪=4,

BF-CF=(^BC-^AD)?(』前［而)［砂一工前2”0產(chǎn)

\23723944

所以前2=|,簫岑

oZ

所以近?CE=^BC-ED)?信前迎P咒談」6咒律.

方法總結(jié)

研究向量的數(shù)量積時，一般有兩個思路，一是建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)研究

向量的數(shù)量積;二是利用一個基底表示所有向量.兩種思路實質(zhì)相同.對于涉及中

線的向量問題，一般利用向量加、減法的平行四邊形法則進行求解.

15.答案V7

解析設(shè)圓錐的底面半徑為r,則高為Hr,母線長為2r.

?.?圓錐的側(cè)面積為兀，

.*.71?r,2r=7i,BPr2^.

設(shè)正方形的邊長為a,則2a2=4已整理得a=V2r,

易知四棱錐P-ABCD為正四棱錐，其斜高為J(遮r)2+仔，=&

正四棱錐的側(cè)面積為4x*&rxJjr=2V7r2=V7.

16.答案若

解析設(shè)事件A表示“甲選做第22題”，事件B表示“乙選做第22題”，

則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“ABUZ月”，?.?事件A,B相互獨立,

P(ABUAB)=P(A)P(B)+P(Z)P(B)=ix2+(l1)=1.

二甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率為今

???P(A)P(B)弓x鼻,甲、乙兩名學(xué)生都選做第22題的概率為

四'解答題

17.解析(1)由獨立事件的概率乘法公式可得P(X=O)=(1

P(X=1)=3X|X(1-|)2=|,

P(X=2)=3xg)2x(l-1)4

P(X=3)=(§3嶗(4分)

(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中,7:30之前到校的天數(shù)為Y,

則

A-Io2?n

P(M)=P(X=2,Y=0)+P(X=3,Y=l)=P(X=2)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)=-x-L^x1=^.(i

XLt/+4/V乙一J

0分)

]8.解析⑴?.?麗列

：.BO+OP=PO+dA,^\i2OP=OB+OAX2分)

.-.OP=|O74OB,B[Jx=|,y=1.(4分)

(2),/BP=3PA,：.BO+OP=3PO+3OA,^4赤=赤+3%(6分)

：.OP^OA^-OB,^分)

：.OP-AB=[^OA+^OB)?(OB-O1)

=^OB2^-OA2-^；OA?OB

442

19.解析（1）在4ABC中，由正弦定理號」^及bsin*a,

'7s\nAs\nB2

得sinBsinA=ysinA.（2分）

因為AABC為銳角三角形，所以Ad（0,5所以sinA>0,（3分）

所以sinB=*（4分）

又因為B￡（0,3,所以B=、5分）

⑵若選①，在aABC中，由余弦定理，得

2

2222

AC=AB+BC-2AB-BCCOSZABC=2+（|）-2X2X|XCOS.，

所以AC』p（負值舍去），所以AD=DC呼.（7分）

在4ABD中，由余弦定理，得AB2=BD2+DA2-2BD-DAcosZADB,

即4=8?2虎孝8??cosZADB.（9分）

162

在aDBC中，由余弦定理，得BC2=BD2+DC2-2BD-DC?cosZCDB,

gp2=BD2+y|-^pBD-cosZCDB.

因為NADB+NCDB=7t,

所以cosZADB+cosZCDB=0.

所以4《=2BD2琛，所以BD=^（負值舍去）.（12分）

若選②，在4ABC中,SAABC=SAABD+S^BD,（7分）

即［BA?BC?sin舁BA?BD?sin*BD?BC?sin7,（9分）

232626

即;x2x永澤4x2xBDx14xBDx沁解得BD萼.（12分）

若選③，在4ABC中，由余弦定理，得

22222

AC=AB+BC-2AB-BC-COSZABC=2+（|）-2X2X|XCOS

所以AC萼（負值舍去）,（8分）

因為SABC=|BA?BC?sinNABC等，

AZ4

又SAABC=^BD?AC押BD,

所以9BD考，解得BD笞.（12分）

20.解析⑴證明:如圖，連接BD,交AC于O,取PD的中點F,連接OF、EF,

?.?0、F分別為BD、PD的中點,

，OF〃PB,且OF=|PB.

又〈PBaCE,且CEgPB,

.?.OF〃CE,且0F=CE,（2分）

二四邊形OCEF為平行四邊形,，OC〃EF,即AC〃EF,又ACQ平面PDE,EFU平

面PDE,；.AC〃平面PDE.（4分）

（2）連接PC,BE.

在4ABD中,AB=l,AD=2,NBAD=60。，

由余弦定理得BD2=AD2+AB2-2AD?ABcosZBAD=4+1-2=3,（5分）

AB2+BD2=AD2,AB±BD.（6分）

VAB^CD,/.CD±BD.

平面ABCD,.".PB1BD,

/.PD=A/PS2+B￡）2=V7.

PB//CE,/.CE，平面ABCD,/.CE±BD,CE±CD,/.DE=VC￡>2+CF2=V2.（8分）

又CDACE=C,

，BD_L平面DCE,又易得PB〃平面DCE,

AP到平面DCE的距離為BD,

PE=jBC2+（PB（E）2=m,：.PD2=DE2+PE2,

.,.PE±DE,/.SAPDE=ipE?DE岑，

11

SADCE4CD-CE苦.（10分）

設(shè)點C到平面PDE的距離為h,

則由VP-DCE=VC-PDE,VP-DCE=VB-DCE,得VB-DCE=VC-PDE,

x

**?BDxSADCE=^hxSAPDE,BPV3x1=hx-^^,/?h=^^,

ACD與平面PDE所成角的正弦值為然得.（12分）

21.解析（l）V5+a+30+20+10=100,

/.a=35.（l分）

V0.05+0.35+b+0.20+0.10=l,

/.b=0.30.（2分）

頻率分布直方圖如下.

（4分）

（2）該組數(shù)據(jù)眾數(shù)的估計值為7.50.（5分）

易知中位數(shù)應(yīng)在［10,15）內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x,則0.05+0.35+（x-10）x0.06=0.5,解得

11.67,故中位數(shù)的估計值為11.67.（7分）

（3）因為第4組和第5組的頻數(shù)之比為2：1,所以從第4組抽取4人悌5組抽取2

人.（8分）

所以這6人得分的平均數(shù)

__4xx+2xy_4x7+2x7,7X10分）

66

方在o24【s2+Ba）2]+2[t2+&?2L4（2+0）+2（l+0）%]

"66

即這6人得分的平均數(shù)為7,方差為1.67.（12分）

22.解析⑴性質(zhì)1:DE,平面ABD.（1分）

證明如下：

翻折前,DE，DA,CE_LBC,翻折后垂直關(guān)系不變，則