總體均數(shù)和總體率

關(guān)于總體均數(shù)和總體率第1頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三第一節(jié)均數(shù)抽樣誤差與t分布欲了解總體的特征，最直接的方法是對總體中的每個觀察單位進行測量，通過整理分析得到總體參數(shù)，但這在醫(yī)學(xué)研究實際中往往是不可能實現(xiàn)的。通常應(yīng)用抽樣研究，通過樣本指標(biāo)來了解總體特征。第2頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三抽樣研究所得樣本均數(shù)會不會恰好等于未知的總體均數(shù)呢？如果固定樣本含量n從同一總體中進行多次抽樣，所得樣本均數(shù)又會如何呢？第3頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三假設(shè)已知某地30歲-40歲正常男性血清總膽固醇的均值為5.0mmol/L，標(biāo)準(zhǔn)差為0.6mmol/L?，F(xiàn)從該總體中進行隨機抽樣，每次抽取30名正常男子，并測得他們的血清總膽固醇水平，最終共抽取100份樣本，并計算出每份樣本的均數(shù)。第4頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三第5頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三由個體變異產(chǎn)生的，隨機抽樣引起的樣本統(tǒng)計量與總體參數(shù)之間的差異稱為抽樣誤差（samplingerror）。抽樣造成的樣本均數(shù)與總體均數(shù)間的差異就稱為均數(shù)的抽樣誤差。在抽樣研究中，抽樣誤差是不可避免的，但抽樣誤差分布具有一定的規(guī)律性。第6頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三圖3-1從正態(tài)分布總體N（5.0,0.62）中隨機抽樣所得樣本均數(shù)的分布第7頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三樣本均數(shù)大部分分布在總體均數(shù)5.0的左右，中間多、兩邊少，左右基本對稱，服從正態(tài)分布，并且樣本均數(shù)的變異范圍比原變量的變異范圍要小很多。第8頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差稱為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，簡稱標(biāo)準(zhǔn)誤，用符號表示。均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤說明各樣本均數(shù)圍繞總體均數(shù)的離散程度，可用來反映樣本均數(shù)的抽樣誤差大小。第9頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三中心極限定理從正態(tài)總體N(,2)中，隨機抽取例數(shù)為n的樣本，樣本均數(shù)也服從正態(tài)分布；即使從偏態(tài)總體隨機抽樣，當(dāng)n足夠大時(n≥50)，樣本均數(shù)近似正態(tài)分布。第10頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三從均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)或偏態(tài)總體中，抽取例數(shù)為n的樣本，樣本均數(shù)的總體均數(shù)也為，標(biāo)準(zhǔn)差與原標(biāo)準(zhǔn)差成正比，與樣本例數(shù)的平方根成反比。第11頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三第12頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三越大，樣本均數(shù)的分布越分散，樣本均數(shù)與總體均數(shù)的差別越大，抽樣誤差越大，由樣本均數(shù)估計總體均數(shù)的可靠性越小。反之，越小，樣本均數(shù)的分布越集中，樣本均數(shù)與總體均數(shù)的差別越小，抽樣誤差越小，由樣本均數(shù)估計總體均數(shù)的可靠性越大。第13頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三的大小與成正比，與成反比。當(dāng)固定不變時，樣本含量n增大，減小。因此，在實際工作中，可通過適當(dāng)增加樣本含量來減小抽樣誤差。第14頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三常未知，用S估計，因此均數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤的估計值為第15頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三t分布的演化第16頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三常未知，若用，這時對樣本均數(shù)進行的不是Z變換而是t變換統(tǒng)計量t不再服從N(0,1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布第17頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三英國統(tǒng)計學(xué)家W.S.Gosset于1908年以“Student”筆名發(fā)表論文，證明統(tǒng)計量t服從v=n-1的t分布第18頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三又稱為Studentt分布(Student’st-distribution)第19頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三t分布的圖形及特征第20頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三t分布的特征為：①以0為中心，左右對稱的單峰分布②越小，t值越分散，峰越矮，尾越高增大，t分布逐漸逼近Z分布，時，t分布即為Z分布第21頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三t

界值表橫標(biāo)目：自由度縱標(biāo)目：概率P(曲線下面積)表中數(shù)字：自由度為，概率P為時，所對應(yīng)的t界值，記為t,

第22頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三單側(cè)：或雙側(cè)：即第23頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三在相同自由度時，t的絕對值越大，P越小在相同P值時，自由度越大所對應(yīng)的t界值越小在相同t值時，雙側(cè)概率P為單側(cè)概率P的兩倍時，t界值即為Z界值第24頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三第二節(jié)總體均數(shù)的點估計與區(qū)間估計點估計（pointestimation）：將樣本統(tǒng)計量直接作為總體參數(shù)的估計值區(qū)間估計（intervalestimation）：按事先給定的概率，估計包含未知總體參數(shù)的一個可能范圍第25頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三區(qū)間估計的實質(zhì)假設(shè)某個總體的均數(shù)為，需要找到兩個量A和B，使得在一個比較高的可信度下(如95%)，區(qū)間(A,B)能包含

。即P(A<<B)=0.95第26頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三可信區(qū)間的定義按一定的概率或可信度(1-α)估計包含未知總體參數(shù)的可能范圍，該范圍通常稱為參數(shù)的可信區(qū)間或者置信區(qū)間(confidenceinterval，CI)，預(yù)先給定的概率(1-α)稱為可信度或者置信度(confidencelevel),常取95%或99%可信區(qū)間(CL,CU)為開區(qū)間，CL、CU稱可信限第27頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三總體均數(shù)可信區(qū)間的計算當(dāng)σ已知在總體中抽樣，樣本均數(shù)的Z變換值有95%可能性落在(-1.96,1.96)之間在總體中抽樣，樣本均數(shù)所計算的區(qū)間有95%可能包括總體均數(shù)第28頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三2.5%2.5%95%第29頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三

未知但n足夠大(n>50)第30頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三例6-3中，因n=120，，，試求該地正常成年男性血清膽固醇平均水平的95％可信區(qū)間。即（3.55，4.17）mmol/L第31頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三例6-1從某地隨機抽取120名30歲-40歲正常男性，得其血清總膽固醇水平的均數(shù)為4.95mmol/L，標(biāo)準(zhǔn)差為0.64mmol/L，試估計該地30歲-40歲正常男性血清總膽固醇平均水平的95%可信區(qū)間。第32頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三因n=120，屬于未知但n足夠大，又均數(shù)為4.95mmol/L，標(biāo)準(zhǔn)差為0.64mmol/L，故該地30歲-40歲正常男性血清總膽固醇平均水平的95%可信區(qū)間為即（4.84，5.06）mmol/L第33頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三當(dāng)σ未知n較小-t/2,v0t/2,v

第34頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三可信區(qū)間的涵義從總體中作隨機抽樣，每個樣本可以算得一個可信區(qū)間。如95%可信區(qū)間意味著做100次抽樣，算得100個可信區(qū)間，平均有95個估計正確。在實際研究中，一般只進行一次抽樣，算得一個可信區(qū)間，對于這個可信區(qū)間來說，我們就認(rèn)為該區(qū)間包含了總體均數(shù)，把握度為95%。第35頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三圖6-5從N（0,1）中隨機抽樣算得的100個95％可信區(qū)間（n=10）第36頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三可信區(qū)間的兩個要素可信度：可靠性，即1-α。一般取90%、95％，可人為控制區(qū)間的寬度：區(qū)間的大?。▍^(qū)間的長度），越小越好必須二者兼顧第37頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三均數(shù)的可信區(qū)間與參考值范圍的區(qū)別第38頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三第三節(jié)總體率的點估計與區(qū)間估計第39頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三一、二項分布如某實驗中小白鼠染毒后死亡概率P為0.8,則生存概率為=1-P=0.2，1、對一只小白鼠進行實驗的結(jié)果為：死（概率為P）或生（概率為1-P）2、對二只小白鼠（甲乙）進行實驗的結(jié)果為：甲乙均死（概率為P2）、甲死乙生[概率為P(1-P)]、乙死甲生[概率為(1-P）P]或甲乙均生[概率為(1-P）2]，概率相加得P2+P(1-P)+(1-P）P+(1-P）2=[P+(1-P)]23、依此類推，對n只小白鼠進行實驗，所有可能結(jié)果的概率相加得Pn+cn1P(1-P)n-1+...+cnxPx(1-P)n-x+...+(1-P)x=[P+(1-P)]n其中n為樣本含量,即事件發(fā)生總數(shù)，x為某事件出現(xiàn)次數(shù),cnxPx(1-P)n-x為二項式通式，cnx=n!/x!(n-x)!,P為總體率。因此，二項分布是說明結(jié)果只有兩種情況的n次實驗中發(fā)生某種結(jié)果為x次的概率分布。其概率密度為：

P(x)=cnxPx(1-P)n-x,x=0,1,...n。：第40頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三二項分布的圖形第41頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三當(dāng)=0.5時，分布對稱；當(dāng)

0.5，分布呈偏態(tài)；當(dāng)<0.5時分布呈正偏態(tài)；當(dāng)>0.5時分布呈負(fù)偏態(tài)；特別是當(dāng)n值不是很大時，偏離0.5愈遠(yuǎn)，分布愈偏第42頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三隨著n的增大，二項分布逐漸逼近正態(tài)分布。如

=0.30，n=5和n=10時，圖形呈偏態(tài)，當(dāng)n=30時，圖形已接近正態(tài)分布。一般地說，如果n或n(1-)大于5時，?？捎谜龖B(tài)近似原理處理二項分布問題第43頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三二項分布的性質(zhì)：累積概率（1）二項分布的概率之和等于1第44頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三（2）單側(cè)累積概率至多有m例陽性的概率（下側(cè)累積概率）至少有m例陽性的概率（上側(cè)累積概率）第45頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三二項分布的性質(zhì)：均數(shù)和方差陽性結(jié)果發(fā)生數(shù)X的總體均數(shù)總體方差總體標(biāo)準(zhǔn)差第46頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三二項分布的抽樣分布及其性質(zhì)二項分布的隨機抽樣性質(zhì)仍然被中心極限定理所反映在n足夠大時，樣本率近似服從正態(tài)分布樣本率p的均數(shù)等于π樣本率p的標(biāo)準(zhǔn)差（率的標(biāo)準(zhǔn)誤）第47頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三二、Poisson分布當(dāng)二項分布中n很大，p很小時，二項分布就變?yōu)镻oisson分布，Poisson分布實際上是二項分布的極限分布法國數(shù)學(xué)家SimeonDenisPoisson(1781-1840)1837年在《關(guān)于判斷的概率之研究》一文中提出的描述隨機現(xiàn)象的一種常用分布第48頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三Poisson分布也是一種重要的離散型概率分布，用于研究單位時間、單位人群、單位空間內(nèi)，某稀有事件發(fā)生次數(shù)的分布單位體積水中細(xì)菌數(shù)單位體積空氣中粉塵數(shù)單位時間內(nèi)放射性物質(zhì)放射出的質(zhì)點數(shù)單位空間中某些昆蟲數(shù)一定人群中惡性腫瘤或罕見非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)第49頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三可以認(rèn)為滿足以下三個條件的隨機變量服從Poisson分布：平穩(wěn)性：X的取值與觀察單位的位置無關(guān)，只與觀察單位的大小有關(guān)獨立性：在某個觀察單位上X的取值與前面各觀察單位上X的取值獨立（無關(guān)）普通性：在充分小的觀察單位上X的取值最多為1第50頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三Poisson分布的概率函數(shù)若隨機變量的概率函數(shù)為：則稱此變量服從Poisson分布，記為第51頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三Poisson分布的累計概率第52頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三Poisson分布的圖形第53頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三Poisson分布的性質(zhì)均數(shù)和方差Poisson分布的均數(shù)和方差相等，均為λ

；即第54頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三Poisson分布中均數(shù)的抽樣分布及其性質(zhì)在λ足夠大時，Poisson分布的平均計數(shù)近似正態(tài)分布平均計數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤n=1時(1個單位)，第55頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三三、總體率的估計根據(jù)樣本率，也可以對總體率做出點估計和區(qū)間估計。我們用樣本率p作為總體率π的點估計值?？傮w率的點估計亦未考慮其抽樣誤差大小，而總體率的區(qū)間估計克服了點估計的缺陷。第56頁，講稿共62頁，2023年5月2日，星期三利用樣本資料可估計二項分布總體率的1-α可信區(qū)間，α取0.05或0.01。對于，且接近于0或1