勾股定理學案

第十七章勾股定理

第一課時勾股定理（1）

授課時間

2015.3.12

教學目標

1.知道勾股定理的文化背景，體驗勾股定理的探索過程及定理的簡單應用

2.在定理的證明中培養(yǎng)學生的拼圖能力，提高學生的運算能力

教學重點

體驗勾股定理的探索過程及定理的簡單應用

教學難點

培養(yǎng)學生的拼圖能力，并通過解決問題，提高學生的運算能力

教學方法

自學探究法

教學用具

三角板

教學設計

一、情景引入

相傳2500年前，古希臘數學家畢達哥拉斯在朋友家做

客時，發(fā)現朋友家用磚鋪成的地面中反映了直角三角形

三邊之間的某種數值關系.我們也來觀察一下：

（1）大正方形的面積與小正方形的面積有什么關系？

（2）直角三角形的三邊之間有什么關系？

二、探究新知

等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否

也有這樣的特點？

類比上述方法在網格上探索兩條直角邊不相等的直角三角形三邊

的數量關系.

i.若網格中每一個小方格面積為i個單位面積，那么Y

正方形A、B、C的面積為多少？你能從中發(fā)現什么結論呢？\

總結b\

勾股定理：直角三角形兩直角邊的等于斜邊的L\

Ca

如圖，在aABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的對邊分別

為a、b、c,那么，

3.證明勾股定理(閱讀課本P71頁閱讀與思考，選擇一種方法證明)

練習:Rt^ABC中，ZC=90°,a、b、c是AABC的三邊，則c"=

a2=,b2=

三、達標練習

直角三角形的斜邊x長為正方形A面積為一

2.在RtZ\ABC,ZC=90°,(1)若a=3,b=4,則c=

(2)若a=6,c=10,則b=(3)若b=5,c=13,則a=

四、課堂小結：本節(jié)課你學到了那些知識？

五、課外作業(yè)：教科書28頁習題第1、2、3題.

板書設計

課題例1

勾股定理

證明例2

教學反思

第二課時勾股定理（2）

授課時間

2015.3.

教學目標

會直接運用勾股定理解決簡單問題

教學重點

會直接運用勾股定理解決簡單問題

教學難點

會直接運用勾股定理解決簡單問題

教學方法

自學探究法

教學用具

三角板

教學設計

一、前置鋪墊

如圖，直角AABC的主要性質是：ZC=90°,（用幾何語言表示）

1.兩銳角之間的關系：；

2.若NB=30°,則NB的對邊和斜邊：；

3.三邊之間的關系：.

二、例題講解

例1:在Rt^ABC,ZC=90°,(1)已知c=17,b=8,求a.

(2)已知a=l,c=2,求b.(3)已知a=b=5,求c.

(4)已知a：b=l：2,c=5,求a.(5)已知b=15,ZA=30°，求a,c.

對應練習

1.求出下列直角三角形中未知的邊

b=?x=10a=?

2.在Rt^ABC,ZC=90°，⑴如果a=7,c=25,則b=

⑵如果NA=30°,a=4,則b=.⑶如果NA=45°,a=3,則c=

3.⑴在Rt^ABC,ZC=90°,a=8,b=15,則c=

⑵在RSABC,ZB=90°,a=3,b=4,貝Uc=

⑶在RtaABC,ZC=90°,c=10,a：b=3：4,則a=,b=

例2:已知，如圖在△ABC中，AB=BC=CA=2cm,AD是邊BC上的高.

求①求BD與AD的長；②AABC的面積.

三、達標練習

1.下圖陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為

2.小雨用竹桿扎了一個長80cm、寬60cm的長方形框架，由于四邊形容易變形，需要用一

根竹桿固定A、C兩點將四邊形定形，則斜拉桿最短需cm.

3.⑴在直角三角形中，若兩直角邊的長分別為3cm,4cm,則斜邊長為.

(2)已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm,,則第三邊長為.

4.已知等腰三角形兩腰AB=AC=10,底邊BC=16,求這個等腰三角形的面積.

四、課堂小結：本節(jié)課你學到了那些知識？

五、課外作業(yè)：教科書29頁習題第9題，第10題.

板書設計

課題

例1例2

教學反思

第三課時勾股定理（3）

授課時間

2015.3.

教學目標

1.會直接運用勾股定理解決簡單實際生活問題.

2.通過解決問題，提高學生的運算能力、轉換能力及實際應用能力.

教學重點

會直接運用勾股定理解決簡單實際生活問題.

教學難點

通過解決問題，提高學生的運算能力、轉換能力及實際應用能力

教學方法

自學探究法

教學用具

三角板

教學設計

-、情景引入rrriT

-個門框的尺寸如圖所示.II|2“

①若有一塊長3米，寬0.8米的薄木板，問怎樣從門框通過？I|

②若薄木板長3米，寬1.5米呢？L_____二|

1m

③若薄木板長3米，寬2.2米呢？（注意解題格式）

二、例題講解

例1：長3米的梯子AB,斜著靠在豎直的墻A0上，這時AO的距離為2.5米.

①求梯子的底端B距墻角0多少米？

②如果梯的頂端A沿墻下滑0.5米至C,請同學們猜一猜，底端也將滑動0.5米嗎？

kOBD

對應練習

1.某樓房三樓失火，消防隊員趕來救火，了解到每層樓高3m,消防隊員取來6.5m長的

云梯，如果梯子的底部離墻基的水平距離是2.5m,請問消防隊員能否進入三樓滅火？

2.如圖，滑桿在機械槽內運動，NACB為直角，已知滑桿AB長100cm,頂端A在AC上運

動，量得滑桿下端B距C點的距離為60cm,當端點B向右移動20cm時，滑桿頂端A下滑

多長？

三、達標練習

1.如圖，帶陰影部分的半圓的面積是（萬取3）

2.課本68頁練習

四、拓展訓練

1.一種盛飲料的圓柱形杯，測得內部底面半徑為2.5cm,高為12cm,吸管放進杯里，杯

口外面至少要露出4.6cm,問吸管長度的取值范圍是cm.

2.小東拿著一根長竹桿進一個寬為3米的城門，他先橫著拿不進去，又豎起來拿，結果

桿比城門高1米，當他把桿斜著時，兩端剛好頂著城門的對角，問桿長多少米？

五、課堂小結：本節(jié)課你學到了那些知識？

六、課外作業(yè)：教科書28頁習題第4、5題

板書設計

課題

例1例2

教學反思

第四課時勾股定理(4)

授課時間

2015.3.

教學目標

會用勾股定理求實際生活中的最短距離問題.

教學重點

會用勾股定理求實際生活中的最短距離問題.

教學難點

會用勾股定理求實際生活中的最短距離問題.

教學方法

自學探究法

教學用具

三角板廠、B

教學設計、j,

一、情景引入_

如圖一個圓柱，底圓周長6cm,高4cm,一只螞蟻沿外壁爬行，要從1

A點爬到B點，則最少要爬行多少路程？

二、例題講解

例1：如圖一個圓柱，底圓周長24cm,高4cm,一只螞蟻沿外壁爬行，要從A點爬到B點,

則最少要爬行多少路程？

3

對應練習：如圖一個圓柱，底圓周長6cm,高4cm,D為BC的中點，一只螞蟻沿外

壁爬行，要從A點爬到D點，則最少要爬行多少路程？

D

AHe

例2：如圖一個長，寬都為6,高為5且四面封閉的長方體紙盒，一只昆蟲從頂點A爬到

頂點B,這只昆蟲爬行的最短距離是多少？

三、達標練習

1.如圖的一個正方體中，它的棱長為1,若一只小蟲從頂點A爬到頂點C,它爬行的最短

距離是多少？

四、拓展訓練

如圖,一只螞蟻從長，寬，高分別為3,3,8的長方體紙箱A點沿紙箱壁外側繞兩圈爬到8點,

那么

它所爬行的最短路程為.,

五、課堂小結：本節(jié)課你學到了那些知識？

六、課外作業(yè):如圖，已知長方體的長為2cm,寬為4cm,高為4cm,一只螞蟻如果沿長方體

的表面從點A爬到點C',那么最短的路程是多少？

板書設計

課題

例1

教學反思

第五課時勾股定理(5)

授課時間

2015.3.

教學目標

1.會用勾股定理在數軸上畫出表示無理數的點.

2.會利用直角三角形的面積進行等積式的推導和相關計算.

教學重點

會利用直角三角形的面積進行等積式的推導和相關計算.

教學難點

會利用直角三角形的面積進行等積式的推導和相關計算.

教學方法

自學探究法

教學用具

三角板圓規(guī)

教學設計

一、前置鋪墊

1.在數軸上表示出下列各數-2、3.5、!、4

2

2.在RtaABC,ZC=90°,(l)a=b=l,則c=；

(2)a=l,b=2,則c=；(3)a=l,b=V2,貝I]c=.

二、探究新知

知識點一：在數軸上表示無理數

我們知道數軸上的點有的表示有理數，有的表示無理數，你能在數軸上表示仃的點嗎?

步驟如下：

1.在數軸上找到點A,使0A=；升

2.作直線/垂直于0A,在/上取一點B,使AB=________

3.以原點0為圓心，以0B為半徑作弧，弧與數軸交于點C,

則點C即為表示仃的點.

對應練習

1.如圖，每個小正方形的邊長是1,在圖中畫出一個三角形，使三角形的三邊長分別是質,

2.在數軸上作出表示狡、6的點.

知識點二：利用直角三角形的面積進行等積式的推導和相關計算

例：已知：在Rt4ABC中，ZC=90°，CD_LAB于D,AC=6，BC=8,

求⑴求AABC的面積；（2）求線段AB的長；（3）求高CD的長.

三、達標練習

1.AABC中,AB=AC=25cm,高AD=20cm,貝ijBC=，SAABC-.

2.4ABC中，若NA=LNB=』NC,AC=2V3cm,則NA=度，ZB=度,

23------------------

NC=度，BC=，SAABC=.

3.4ABC中，ZC=90°，AB=4,BC=20，CD_LAB于D,

貝UAC=,CD=,BD=,AD=,S^ABC=?

4.已知：在RtaABC中，ZC=90°,CDLAB于D,ZA=60°,CD=V3,求線段AB的長.

四、課堂小結：本節(jié)課你學到了那些知識？

五、課外作業(yè)：教科書28頁習題第6、8題.

板書設計

1.在數軸上表示無理數2.直角三角形的面積等積式的推導

例：

教學反思

第六課時勾股定理的逆定理（1）

授課時間

2015.3.

教學目標

1.知道逆命題，逆定理的概念，知道原命題與逆命題的關系.

2.會寫出一個命題（或定理）的逆命題，并判斷其真假.

教學重點

知道逆命題，逆定理的概念，知道原命題與逆命題的關系.

教學難點

寫出一個命題（或定理）的逆命題，并判斷其真假.

教學方法

自學探究法

教學用具

三角板

教學設計

一、前置鋪墊

1.舉出一些你學過的命題？

2.用“如果……那么……”的形式寫出你舉出的命題.

二、探究新知

知識點一：互逆命題的概念

你能把上面命題的題設，結論互換嗎？

歸納：像上面那樣題設，結論正好的兩個命題叫做互逆命題.如果

把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做.

對應練習

寫出下列命題的逆命題

1.兩直線平行，同位角相等.

2.對頂角相等.

3.如果兩個實數相等，那么它們的絕對值相等.

4.等角的補角相等.(變式)等角的余角相等.

5.在角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

6.如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b2=c2

知識點二：互逆定理的概念

一般地，如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，它也是一個定理，稱這兩個定理

互為____________________________

對應練習

下列各定理中有逆定理的是()

A兩直線平行，同旁內角互補.

B若兩個數相等，則這兩個數的絕對值也相等.

C對頂角相等.

D如果a=b,那么a2=b

歸納：任何一個命題都有，但任何一個定理未必都有.

三、達標練習

1.說出下列命題的逆命題.這些命題的逆命題成立嗎？

(1)兩條直線平行，內錯角相等.

(2)全等三角形的對應角相等.

(3)在線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等.

四、課堂小結：本節(jié)課你學到了那些知識？

五、課外作業(yè)：教科書34頁習題第2題.

板書設計

1.互逆命題的概念2.互逆定理的概念

教學反思

第七課時勾股定理的逆定理(2)

授課時間

2015.3.

教學目標

1.記住勾股定理的逆定理.

2.能利用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形.

教學重點

記住勾股定理的逆定理.

教學難點

能利用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形.

教學方法

自學探究法

教學用具

三角板

教學設計

一、前置鋪墊

1.直角三角形的三邊之間有什么關系？

2.反之，一個三角形的三邊滿足什么關系是直角三角形？

3.在你準備的小木棒中任選三根拼出一個三角形，判斷是否為直角三角形？

二、探究新知

通過剛才的動手操作實驗，歸納得到如下結論

勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,

Ap---7

那么這個三角形是三角形。，,,/

例1：判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形

(1)a=15,b=8,c=17(2)a=13,b=14,c=15

例2如圖，四邊形ABCD中，AB=3cm,AD=4cm,BC=13cm,CD=12cm,且NA=90°,

求四邊形ABCD的面積.

三、達標練習

1.滿足下列條件的AABC,不是直角三角形的是（）

A.b2=c2-a2B.a：b：c=3：4：5

C.NC=NA-NBD.NA：ZB：NC=12：13：15

2、以下列各組線段為邊長，能構成三角形的是（填序號），能構成直角三角形的

是.（填序號）

①3,4,5②1,3,4③4,4,6@6,8,10

⑤5,7,2⑥13,5,12⑦7,25,24⑧3。，4；5?

3、若一個三角形的三邊長的平方分別為：32,42,x2,則此三角形是直角三角形的好的值

是（）

A.42B.52C.7D.5Z或7

4、三角形的兩邊長為3和5,要使這個三角形為直角三角形，則第三邊長是

四、拓展訓練

如圖所示，在汝AABC中，43=24,6。=26,/84。=9（1,。是243€1內的點，AD=6,CD=S

C

求陰影部分的面積.

五、課堂小結：本節(jié)課你學到了那些知識?

六、課外作業(yè):課本34頁習題第1題.

板書設計

勾股定理逆定理:例2

例1

教學反思

第八課時勾股定理的逆定理（3）

授課時間

2015.3.

教學目標

能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題.

教學重點

能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題.

教學難點

能運用勾股定理的逆定理解決簡單的實際問題.

教學方法

自學探究法

教學用具

三角板

教學設計

一、前置鋪墊

如圖，射線0%OB,0C,0D分別表示什么方向？

二、例題講解

“遠航”號，“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每

小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海

里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？

分析：我們根據題意畫出圖18.2-3.可以看到，由于“遠航”號的航向已知，如果求出兩

艘輪船的航向所成的角，就能知道“海天”號的航向了.

三、達標練習

LA、B、C三地兩兩距離如下圖所示，A地在B地的正東方向，C地在B地的方向.

2.同一時間內，在同一地點甲向東行走5千米，乙向南行走12千米，這時兩人相距多少

千米?

3.已知，如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)

向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從

港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，則兩船相距（）

A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里

4.小東為了測量海面上的兩艘船的距離，選擇了一個合適的地點A,測得甲船在東北方向

離A點8千米，乙船在西北方向離A點15千米.那么甲、乙兩船相距多少千米？

四、課堂小結：本節(jié)課你學到了那些知識?

五、課外作業(yè)：課本34頁習題第3題.

板書設計

例1例2

教學反思

第九課時小結與復習

一、知識點梳理

1、勾股定理的內容是：在aABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的對邊分別為a、

b、c,那么：這個三角形是三角形。

2、勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形

是______________________________

3、互逆命題是：題設和結論正好的兩個命題叫做互逆命題.如果把

其中一個叫做原命題，那么另一個叫做.

4、互逆定理是：一般地，如果一個定理的逆命題經過證明是正確的，它也是一個定理，

稱這兩個定理互為。

二、達標練習

1.在RtZ\ABC,ZC=90°

(1)已知c=17,b=8,則a=；(2)已知a=l,c=3,則b=；

(3)已知a=b=4,貝I]c=；(4)已知a：b=3：4,c=15,貝！Ja=,b=

(5)已知b=8,ZA=30°,貝I]a=,c=.

2.若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm,第三邊長為16cm,那么第三邊上的高

為，面積為.

3.等邊三角形的邊長為a,則其高為,其面積為.

4.一個圓柱狀的杯子，由內部測得其底面半徑為4cm,高為6cm,現有一支11cm的吸管

任意斜放于杯中，則吸管露出杯口至少cm.

5.下列幾組數中，不能作為直角三角形三邊長度的是()

A.a=7,c=24,b=25B.a=l.5,b=2,c=2.5

25

C.a=-,b=2,c=-D.a=15,c=8,b=17

3