晶體中電子的運(yùn)動特征

在我們了解了電子在晶體周期勢場中運(yùn)動的本征態(tài)和本征能量之后，就可以開始研究晶體中電子運(yùn)動的具體問題了，由于周期勢場的作用，晶體中的電子的本征能量和本征函數(shù)都已不同于自由電子，因而在外場中的行為也完全不同于自由電子，我們稱之為

Bloch電子。首先分析一下它和自由電子的區(qū)別及其一般特征。一.Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典描述波包與電子速度電子的準(zhǔn)動量電子的加速度和有效質(zhì)量見黃昆書5.1節(jié)p237第七篇

晶體中電子的運(yùn)動特征

一.Bloch電子的準(zhǔn)經(jīng)典描述：

當(dāng)外加場（電場、磁場等）施加到晶體上時，晶體中的電子不只是感受到外場的作用，而且還同時感受著晶體周期場的作用。通常情況下，外場要比晶體周期勢場弱得多。因?yàn)榫w周期場強(qiáng)度一般相當(dāng)于108V/cm。而外電場是難以達(dá)到這個強(qiáng)度的。因此，晶體中的電子在外場中的運(yùn)動必須在周期場本征態(tài)的基礎(chǔ)上進(jìn)行討論。采用的方法有兩種：

求解含外場的單電子波動方程?；蛘呤窃谝欢l件下，把晶體中電子在外場中的運(yùn)動當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理。通常情況下求解含外場的波動方程，但只能近似求解。含外場的波動方程外場較弱且恒定。不考慮電子在不同能帶間的躍遷。不考慮電子的衍射、干涉及碰撞。另一種方法是在：等條件下把晶體中電子在外場中的運(yùn)動當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理。這種方法圖像清晰，運(yùn)算簡單，我們樂于采用。

經(jīng)典粒子同時具有確定的能量和動量，但服從量子力學(xué)運(yùn)動規(guī)律的微觀粒子是不可能的，如果一個量子態(tài)的經(jīng)典描述近似成立，則在量子力學(xué)中這個態(tài)就要用一個“波包”來代表，所謂波包是指該粒子（例如電子）空間分布在r0附近的△r

范圍內(nèi)，動量取值在附近的范圍內(nèi)，滿足測不準(zhǔn)關(guān)系。把波包中心r0

看作該粒子的位置，把看作該粒子的動量。

晶體中的電子，可以用其本征函數(shù)Bloch波組成波包，從而當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子來處理。二.波包與電子速度：

在晶體中，電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動可以用Bloch函數(shù)組成的波包描述。由于波包中含有能量不同的本征態(tài)，因此，必須用含時間因子的Bloch函數(shù)。首先考慮于一維情況。設(shè)波包由以k0為中心，在k的范圍內(nèi)的波函數(shù)組成，并假設(shè)k很小，可近似認(rèn)為不隨k而變。對于一確定的k

，含時間的Bloch函數(shù)為

把與k0相鄰近的各k’狀態(tài)疊加起來就可以組成與量子態(tài)k0相對應(yīng)的波包：波包令為分析波包的運(yùn)動，只需分析2，即幾率分布即可。令0波函數(shù)集中在尺度為的范圍內(nèi)，波包中心為：w＝0。有若將波包看成一個準(zhǔn)粒子，則粒子的速度為布里淵區(qū)的寬度：2/a，而假設(shè)k很小，一般要求即推廣到三維情況，電子速度為注意，這里給出了把Bloch波當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子處理的條件。由于Bloch波有色散，一個穩(wěn)定的波包所包含的波矢范圍△k應(yīng)是一個很小的量。Bloch波有獨(dú)立物理意義的波矢被限制在第一布里淵區(qū)內(nèi)，因?yàn)闇y不準(zhǔn)關(guān)系這表明，如果波包的大小比原胞尺寸大得多，晶體中電子的運(yùn)動就可以用波包的運(yùn)動規(guī)律來描述。對于輸運(yùn)現(xiàn)象，只有當(dāng)電子平均自由程遠(yuǎn)大于原胞尺寸的情況下，才可以把晶體中的電子當(dāng)作準(zhǔn)經(jīng)典粒子，波包移動的速度（群速度）等于處于波包中心處粒子所具有的平均速度。附錄他：更暢簡明蓋的說激明：量子念力學(xué)半告訴不我們洋，晶渣體中捐處于哀狀態(tài)痰的電溉子，陵在經(jīng)典近琴似下歌，其般平均資速度蛋相當(dāng)啄于以k0為中銷心的文波包盾速度妖，而波包飾的傳予播速壟度是恰群速芽度：量子翠力學(xué)討中的號德布盛羅意蓋關(guān)系避：所以猴電子鈔的平遙均速蝦度：考慮圓到不嬌同能纏帶的區(qū)電子崇，晶持體中四電子土速度怨的一榴般表暫述：這個梅公式展表達(dá)場了一圣個非勿常重黑要的趴事實(shí)賄，那踐就是索：晶體錫中電融子的導(dǎo)平均速度歪只與煮能量拼和波破矢有少關(guān)，鄭對時食間和俗空間淡而言室，它殖是常沿數(shù)，爽因此魯平均疤速度梅將永借遠(yuǎn)保消持不透變而識不衰煉減。體也就瘡是說彈可以林一直槽流動麻下去譽(yù)而不宰衰減庸。這兔意味糊著：儲電子射不會溉被靜舒止的辟原子桌所散殖射，礎(chǔ)嚴(yán)格嚷周期繞性晶身體的沙電阻斥率為班零。這一誕點(diǎn)和損自由惠電子生論中婆離子杏是作征為散歇射中攝心對扶電子夫產(chǎn)生無散射矩而影艦響電竿子的充平均勿（漂父移）攜速度禿的概慢念完狀全不果同。下一戚節(jié)還根將仔意細(xì)分神析這轉(zhuǎn)種情腔況。換句刺話說稻：若電爸子處鐘于一鞋個確碑定的筑狀態(tài)究時，且只要嚇晶格兩的周期瞞性不蛙變，掩則永捐遠(yuǎn)處死于這弓個態(tài)呆，因乒此，杯只要織這種舅情況史不變付，則電奔子將娃以同貫樣的哄速度系在整輝個晶搜體中搭不斷稅運(yùn)動丑，而鈴不被艱任何劇晶格所圖阻礙，即彎電子帆速度婦是一哥個常參數(shù)，分因?yàn)榫Ц癜秾骰\播速招度的皮影響，蝴都已抬經(jīng)通盞過能洞量骨包括比在內(nèi)適了。當(dāng)然珠，晶捐格對管周期寸性的慰偏離梨會引無起電撇子的情散射閃，使奧它的歇速度發(fā)沿生變穩(wěn)化，蒼例如嬸，電敢子在吐熱振窄動的予晶格暮中運(yùn)恰動，期會和悔聲子嚼多次碰障撞，四對電猜子的回速度印產(chǎn)生途極大謀影響繼；此耗外，愛外加罩電場婚和磁谷場也會困對電絲式子運(yùn)姓動速餅度帶億來變箭化，叔以后滿將陸突續(xù)討勝論到骨這些披情況述。這個悟公式割還表慮明：電子叔速度頸的方皮向?yàn)閗空間額中能縱量梯卡度的喂方向腹，即腿垂直搞于等攜能面。因饅此，必電子坑的運(yùn)良動方俗向決梢定于蘆等能煤面的鳳形狀爹，在一般甘情況雹下，在k空間供中，泡等能灰面并汪不是雞球面堂，因周此，v的方勇向一丈般并瘦不是k的方硬向。下圖耽比較陰準(zhǔn)確稿地反偵映了Bl趁oc陷h電子蓋的這俘一特堅點(diǎn)。只有簽當(dāng)?shù)葼斈苊嫫鳛榍蛐Ｃ?，或在某暖些特柏殊方磚向上頁，v才與k的方向相寇同。電子禮運(yùn)動爬速度聽的大膚小與k的關(guān)皂系，據(jù)以一鼻維為處例說架明在能蛛帶底貿(mào)和能輸帶頂搜，E(k)取極竹值，因此群，在雁能帶霧底和勒能帶葡頂，催電子護(hù)速度v＝0。E(k)v(k)而在歷能帶海中的畜某處械：電子糊速度明的數(shù)孫值最大，爪這種雞情況與自柴由電筆子的驕速度掩總是準(zhǔn)隨能陷量的蜂增加兆而單滲調(diào)上挖升是侄完全駱不同翁的。上頁灘圖取塔自黃國昆書棒圖5-鞏2，右盆圖表專示的江更準(zhǔn)擊確，載一維攻晶格爺?shù)哪芎驇ЫY(jié)由構(gòu)（驕上圖偉）相售應(yīng)的汗電子苗速度罷（下驕圖）財，虛科線表揪示自奔由電穿子的桃速度擾。這種裳變化程可用NE務(wù)F模型黎來解冶釋：美在區(qū)廢心處翁，電份子可魚以用肺平面伍波描屈寫，仍因而右速度編成線獸性變洪化，蝴但隨節(jié)著k值的付增加脈，自些由波績受晶撈格散科射波碌的影朝響越雙來越浮大，冶散射啦波對藏入射沾波的互消弱慕越來旱越明袖顯，釀直到劫布里特淵區(qū)求邊界庫，強(qiáng)你的Br流ag矮g反射燭使散煩射波個和入只射波茅相等燈，所迫以波多速度娃為零叮。這獄個結(jié)撞果和仰一切恥幅射骨波在邁有周飄期性票的晶扮體中賺的傳殃播是竊一樣遙的。三.電子斤的準(zhǔn)館動量赤：在外成場中左，電魔子所股受的初力為F，在dt時間添內(nèi)，介外場歐對電磁子所遭做的兇功為Fvdt根據(jù)粥功能貼原理岡，有在平歪行于v的方簡向上敗，dk辮/d孫t和F的分隔量相掠等；婦當(dāng)F與速舌度v垂直勾時，測不能架用功檔能原雁理來末討論需電子浩能量狀磚態(tài)的秧變化殖，但弊是我滅們?nèi)話伩梢詰n證明砌在垂違直于彩速度的方溪向上哈，dk你/d趕t和外退力F的分圍量也辦相等滴。上式飽是電唐子在精外場和作用丹下運(yùn)賺動狀科態(tài)變彈化的擁基本鳳公式，具有誦與經(jīng)巴典力迅學(xué)中末牛頓囑定律殊相似分的形秘式。k是電應(yīng)子的豈準(zhǔn)動以量，準(zhǔn)動抹量不掠是嚴(yán)執(zhí)格意陽義上怖的Bl劣oc吼h電子鄉(xiāng)豐的動竊量，嚴(yán)格兆意義砌上的奇動量季的變館化率書等于歉作用外在電子紗上面再所有猴力的南和，媽而準(zhǔn)待動量刊的變莊化率鳴只是央外場縫力作用襲的結(jié)雷果，招這里承沒有饅包括遼晶格旁勢場才作用迫力。晶驚格勢場的撫作用膝被包秘含在仁準(zhǔn)動源量中挑。是Bl趨oc綿h電子陣準(zhǔn)動極量的猜另一晃種說打明：對于版自由礙電子壇，k=屢p就是禁電子唐的動話量。對于苗晶體曠周期禽場中高的電虜子用Bl肆oc懂h波描編述，誕動量孕算符脹作用嫌下：這表戰(zhàn)明Bl保oc務(wù)h波不豪是動跨量算丸符的歪本征策函數(shù)。描在晶肌體周酒期場中，搶k是動墾量概專念的鑼擴(kuò)展推，稱燈為準(zhǔn)動填量或電子教晶格芬動量。四.電子灘的加棉速度痛和有板效質(zhì)斷量晶體基中電估子運(yùn)廣動的賴準(zhǔn)經(jīng)孤典模般型為鐵，外斑場用愉經(jīng)典觸方式伐處理督，晶童體周按期場受用能瞎帶論萍的處上理，棍電子浮位置搏用Bl百oc蝴h波包嘉的中趟心位極置代廈替。準(zhǔn)經(jīng)劈燕典運(yùn)堡動的隊基本瓶關(guān)系香式：此外針，假攔定能拒帶指疲標(biāo)n是運(yùn)蹤蝶動常建數(shù)，代即電耕子總撐是呆銅在同漸一能絨帶中輩，忽偉略電璃子在乏能帶鑒之間喜的躍邪遷。相當(dāng)侮于牛痰頓第梨二定陽律從電舍子運(yùn)石動的壟基本見關(guān)系烤式可撐以直益接導(dǎo)消出在伴外力腔作用消下電子俗的加鎮(zhèn)速度畝。1.一維轉(zhuǎn)情況引入歸電子乒的有效緞質(zhì)量：由于稍周期傷場的扯作用辛，當(dāng)銜把加輕速度蛾在形蛋式上黨寫成赴僅由騾外力市引起餡的形貨式時渠，外竭力與刪加速欠度之裳間的魄關(guān)系乞顯然盼不是致由電看子的狡慣性濾質(zhì)量遺所聯(lián)旅系的搶，而近必須需引入品一個識有效種質(zhì)量奶的概黃念，它計荒入了汽周期標(biāo)場的宅影響。有由于聾周期割場中英電子召的能封量E(k)與k的函禽數(shù)關(guān)衛(wèi)系不兩是拋傷物線關(guān)系帶，因泛此，電子炭的有恥效質(zhì)蝕量不非是常六數(shù)，m*與k有關(guān)。在能嫂帶底阻，E(k)取極路小值描，這時兼，m*>0；E(k)取極挎大值座，所以監(jiān)，m*<0。在能匹帶頂2.三維姐情況其分釀量形劃式為＝1,袖2士,艘3矩陣幅形式與牛圣頓定狹律相比著可知告，現(xiàn)槳在是辮用一廳個二需階張量礙代替眨了稱為竭倒有注效質(zhì)范量張色量。只由于坊微商宿可以梳交換漠順序擔(dān)，倒擱有效劫質(zhì)量殃張量忍是一斷個對民稱張建量。忍同時閘，晶源體的斑點(diǎn)群舒對稱辜性也恒會使例張量鋤的獨(dú)亦立分脖量減染少，對于雖各向言同性秋晶體蔬，它乓退化歸為一腥個標(biāo)沸量。由于矩倒有矛效質(zhì)塊量張福量是類對稱濟(jì)張量繪，如習(xí)將kx、ky、kz取為秀張量歉的主瘦軸方計向，喝就可毒將其敘對角膜化。這時嚴(yán)有有效少質(zhì)量煉的作衡用在湖于它販概括分了晶厘體內(nèi)艷部周爪期場屆作用遵（把這剪個作創(chuàng)用用祥有效里質(zhì)量壺代替），灶使我屯們能達(dá)夠簡貴單地勿由外按場力用確定消電子穗的加暫速度籮。需要挪注意份電子層的加昂速度沿方向烘并不亮一定球與外茫場力煙的方腐向一丑致，盲這是燈由倒含有效夸質(zhì)量塌張量駐的性分質(zhì)所停決定嫌的。電子若有效繩質(zhì)量酷常用瞧電子柴比熱房誠數(shù)據(jù)骨計算講得到耳：其中0為自悅由電好子的高比熱汽系數(shù)鞏，ex占p為實(shí)杜驗(yàn)值歸。對于攪有些遠(yuǎn)材料舞，這工個比漁值可彩以很不大，10珠0～10出00倍，課即電娛子的街有效誕質(zhì)量光很大畝，稱我為重費(fèi)物米子，相歸應(yīng)材幟料稱弊為重厚費(fèi)米魔子材探料。叔這類書材料藝對應(yīng)奸于費(fèi)渠米能皺級處猴非常忘高的妨態(tài)密枕度。刑這一杏點(diǎn)我鞏們可頓以從熔自由擱電子鍵氣比悠熱系謊數(shù)中違看到γ∝N(敞EF)例如蒸，19丹75年發(fā)汽現(xiàn)化烤合物Ce徐Al3，其興低溫土電子跡比熱款系數(shù)γ高達(dá)16紫20扒m巡壽J/神mo晃l·萌K。通限常把γ值大瘦于40雪0敬mJ歷/m鐵ol墨·K的材蜂料稱痕為重劑費(fèi)米茫子系漫統(tǒng)。侮（掠見黃秒昆書p2放86）例：續(xù)求簡棉單立歡方晶已體s態(tài)電咱子的始有效武質(zhì)量谷。,宅1終,獨(dú)2,井3即kx,膝ky,伏kz為張差量的舊主軸弱方向鵲，由癢此可撞得這表降明有陰效質(zhì)燥量的促三個痕主分飽量均證與J1成反豪比，網(wǎng)若原縮慧子間頃距越大制，J1越小煤，則警有效弊質(zhì)量躁就越攪大。在能愈帶底點(diǎn)蓄：k=破(0封,側(cè)0,撇0悅)，這時宮有效容質(zhì)量號張量告退化弱為一袋個標(biāo)漂量。在能許帶頂R點(diǎn)：這表切明，在能暫帶底事和能景帶頂環(huán)電子角的有修效質(zhì)遙量是串各向碎同性割的，械退化鍋為一財標(biāo)量富，這拉是立羊方對賢稱的求結(jié)果紐奉。在X點(diǎn)：有效甲質(zhì)量信是一達(dá)個很稅重要溜的概猛念，庫它把梢晶體正中電復(fù)子準(zhǔn)則經(jīng)典挖運(yùn)動荒的加幸速度福與外說力聯(lián)環(huán)系起斥來。有效救質(zhì)量隆中包域含了福周期齒場對盛電子坊的作談用。劫在一降般情見況下塘，仔有葡效質(zhì)烤量是削一個損張量灶，在尸特殊傳情況存下也槳可以答退化鳳為標(biāo)廊量。扒有效朝質(zhì)量堵不僅陸可以睡取正停，也樣可以類取負(fù)泄。在能淋帶底兇附近跨，有噴效質(zhì)插量總豈是正噸的；瀉而在或能帶拖頂附莖近，禍有效傳質(zhì)量笨總是銅負(fù)的信。這煉是因牌為在泥能帶鹿底和槍能帶乖頂E(k)分權(quán)別取弄極大仆值和諒極小王值，秩分別變具有土正的妹和負(fù)煉的二海價微介商。補(bǔ)充期：有球效質(zhì)搶量的僑再理未解：電子診的運(yùn)擊動應(yīng)拿該同盟時受攤到晶難格力Fl和外正場力F,但在里實(shí)際士中，劃是難欠以表初示清敞楚的跌，因簽此可核將公