數列的概念與簡單表示法理

關于數列的概念與簡單表示法理第1頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三基礎知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引第2頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三基礎知識自主學習第3頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三1.數列的定義按照

排列的一列數叫作數列，數列中的每一個數叫作這個數列的

.知識梳理一定順序項第4頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三分類原則類型滿足條件按項數分類有窮數列項數______無窮數列項數______按項與項間的大小關系分類遞增數列an＋1

an其中n∈N＋遞減數列an＋1

an常數列an＋1＝an2.數列的分類有限無限><第5頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三3.數列的表示法數列有三種表示法，它們分別是

、

和

.4.數列的通項公式如果數列{an}的第n項與

之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫作這個數列的通項公式.列表法圖像法解析法序號n第6頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三1.若數列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，【知識拓展】第7頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三3.數列與函數的關系數列是一種特殊的函數，即數列是一個定義在非零自然數集或其子集上的函數，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數值，就是數列.第8頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三題組一思考辨析1.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)相同的一組數按不同順序排列時都表示同一個數列.(

)(2)所有數列的第n項都能使用公式表達.(

)(3)根據數列的前幾項歸納出數列的通項公式可能不止一個.(

)(4)1,1,1,1，…，不能構成一個數列.(

)(5)任何一個數列不是遞增數列，就是遞減數列.(

)(6)如果數列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.(

)基礎自測123456××√××√第9頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三答案解析123456√第10頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三3.根據下面的圖形及相應的點數，寫出點數構成的數列的一個通項公式an＝

.答案1234565n－4第11頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三題組三易錯自糾4.已知an＝n2＋λn，且對于任意的n∈N＋，數列{an}是遞增數列，則實數λ的取值范圍是

.答案123456解析(－3，＋∞)解析因為{an}是遞增數列，所以對任意的n∈N＋，都有an＋1>an，即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn，整理，得2n＋1＋λ>0，即λ>－(2n＋1). (*)因為n≥1，所以－(2n＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3.第12頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三5.數列{an}中，an＝－n2＋11n(n∈N＋)，則此數列最大項的值是

.解析答案12345630∵n∈N＋，∴當n＝5或n＝6時，an取最大值30.第13頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三6.已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則an＝

.解析答案123456解析當n＝1時，a1＝S1＝2，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，第14頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三題型分類深度剖析第15頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解析答案題型一由數列的前幾項求數列的通項公式自主演練√解析注意到分子0,2,4,6都是偶數，對照選項排除即可.第16頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解析答案第17頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三由前幾項歸納數列通項的常用方法及具體策略(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為特殊數列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數列)等方法.(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母各個擊破，或尋找分子、分母之間的關系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N＋處理.(3)如果是選擇題，可采用代入驗證的方法.思維升華第18頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三典例

(1)已知數列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1(n∈N＋)，則其通項公式為

.題型二由an與Sn的關系求通項公式師生共研答案解析解析當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式.第19頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三答案解析(－2)n－1兩式相減，整理得an＝－2an－1，∴a1＝1，∴{an}是首項為1，公比為－2的等比數列，故an＝(－2)n－1.第20頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三已知Sn，求an的步驟(1)當n＝1時，a1＝S1.(2)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1.(3)對n＝1時的情況進行檢驗，若適合n≥2的通項則可以合并；若不適合則寫成分段函數形式.思維升華第21頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三跟蹤訓練

(1)(2017·河南八校一聯(lián))在數列{an}中，Sn是其前n項和，且Sn＝2an＋1，則數列的通項公式an＝

.答案解析－2n－1解析由題意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以數列{an}是以a1＝－1為首項、2為公比的等比數列，所以an＝－2n－1.第22頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三(2)已知數列{an}的前n項和Sn＝3n＋1，則數列的通項公式an＝

.答案解析解析當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.顯然當n＝1時，不滿足上式.第23頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三典例

根據下列條件，確定數列{an}的通項公式.題型三由數列的遞推關系求通項公式師生共研解答第24頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1又a1＝2適合上式，故an＝2＋lnn(n∈N＋).第25頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三(2)a1＝1，an＋1＝2nan；解答第26頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.解答解∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，故數列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數列，∴an＋1＝2·3n－1，故an＝2·3n－1－1(n∈N＋).第27頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三引申探究答案解析第28頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三思維升華已知數列的遞推關系求通項公式的典型方法(1)當出現(xiàn)an＝an－1＋m時，構造等差數列.(2)當出現(xiàn)an＝xan－1＋y時，構造等比數列.(3)當出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解.(4)當出現(xiàn)

＝f(n)時，用累乘法求解.第29頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三跟蹤訓練(1)已知數列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，則數列{an}的通項公式an＝

.答案解析3×2n－1－2解析由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴數列{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項，2為公比的等比數列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴當n≥2時，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，將以上各式累加，得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(當n＝1時，也滿足).第30頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三(2)在數列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋

，則通項公式an＝

.答案解析第31頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三命題點1數列的單調性典例

已知an＝

，那么數列{an}是

A.遞減數列 B.遞增數列C.常數列 D.不確定題型四數列的性質多維探究答案解析√第32頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三命題點2數列的周期性典例

數列{an}滿足an＋1＝

，a8＝2，則a1＝

.答案解析第33頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.第34頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三命題點3數列的最值答案解析√第35頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三第36頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三(1)解決數列的單調性問題可用以下三種方法①用作差比較法，根據an＋1－an的符號判斷數列{an}是遞增數列、遞減數列還是常數列.②用作商比較法，根據(an＞0或an＜0)與1的大小關系進行判斷.③結合相應函數的圖像直觀判斷.(2)解決數列周期性問題的方法先根據已知條件求出數列的前幾項，確定數列的周期，再根據周期性求值.(3)數列的最值可以利用數列的單調性或求函數最值的思想求解.思維升華第37頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三答案解析第38頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三∴{an}為周期數列且T＝4，第39頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三答案解析(2)(2017·安徽名校聯(lián)考)已知數列{an}的首項為2，且數列{an}滿足an＋1＝

，數列{an}的前n項的和為Sn，則S2016等于

A.504 B.588C.－588 D.－504√第40頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三第41頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三典例

(1)數列{an}的通項公式是an＝(n＋1)·

則此數列的最大項是第

項.(2)若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N＋，都有an＋1>an成立，則實數k的取值范圍是

.思想方法指導答案解析解決數列問題的函數思想思想方法9或10(－3，＋∞)思想方法指導

(1)可以將數列看成定義域為正整數集上的函數；(2)數列的最值可以根據單調性進行分析.第42頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an；當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1<an，∴該數列中有最大項，且最大項為第9,10項.(2)由an＋1>an知該數列是一個遞增數列，又∵通項公式an＝n2＋kn＋4，∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，即k

>－1－2n，又n∈N＋，∴k

>－3.第43頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三課時作業(yè)第44頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三1.(2017·湖南長沙一模)已知數列的前4項為2,0,2,0，則依此歸納該數列的通項不可能是

基礎保分練12345678910111213141516答案解析√第45頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解析答案12345678910111213141516√第46頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解析答案12345678910111213141516√又an>0，所以a6＝4.故選B.第47頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解析答案12345678910111213141516√∴數列{an}具有周期性，且T＝6，∴a2018＝a336×6＋2＝a2＝3.第48頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三5.(2018·長春模擬)設an＝－3n2＋15n－18，則數列{an}中的最大項的值是

解析答案12345678910111213141516√第49頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解析答案12345678910111213141516√第50頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解析答案12345678910111213141516第51頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三8.已知數列{an}的前n項和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N＋)，則an＝

.解析答案12345678910111213141516解析當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當n＝1時，a1＝S1＝4≠2×1＋1，第52頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解析答案123456789101112131415164或5第53頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三12345678910111213141516又n∈N＋，所以n＝4或n＝5，第54頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三10.(2017·太原模擬)已知數列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N＋)，則an＝

.解析答案12345678910111213141516第55頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三12345678910111213141516第56頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解答1234567891011121314151611.已知Sn為正項數列{an}的前n項和，且滿足(1)求a1，a2，a3，a4的值；第57頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三12345678910111213141516同理，a3＝3，a4＝4.第58頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解答12345678910111213141516(2)求數列{an}的通項公式.①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0.由于an＋an－1≠0，所以an－an－1＝1，又由(1)知a1＝1，故數列{an}為首項為1，公差為1的等差數列，故an＝n.第59頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解答12345678910111213141516因為a1>0，所以a1＝1.第60頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三解答12345678910111213141516(2)求數列{an}的通項公式.第61頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三12345678910111213141516因為an＋1>0，所以3an＋1＝Sn＋1＋Sn＋2，

③所以3an＋2＝Sn＋2＋Sn＋1＋2，

④④－③，得3an＋2－3an＋1＝an＋2＋an＋1，即an＋2＝2an＋1，第62頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三12345678910111213141516所以數列{an}的通項公式為an＝2n－1，n∈N＋.第63頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三A.4×20152－1 B.4×20142－1C.4×20132－1 D.4×20132技能提升練解析答案12345678910111213141516√第64頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三12345678910111213141516＝4027×4025＝(4026＋1)(4026－1)＝40262－1＝4×20132－1.第65頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三答案解析123456789101112131415164第66頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三12345678910111213141516解析設數列為{an}，則所以當n≤3時，an＋1>an；當n≥4時，an＋1<an.因此，a1<a2<a3<a4，a4>a5>a6>…，故a4最大，所以k＝4.第67頁，講稿共75頁，2023年5月2日，星期三15.在數列{an}中，a1＝1，a2＝2，若an＋2＝2an＋1－an＋2