第講 第章 用Malab進行現(xiàn)代科學(xué)運算

Matlab基礎(chǔ)與應(yīng)用第三講(2)用Matlab進行現(xiàn)代科學(xué)計算張文靜解析解與數(shù)值解數(shù)值線性代數(shù)問題及求解數(shù)值微積分問題常微分方程的數(shù)值解法主要內(nèi)容解析解與數(shù)值解數(shù)值線性代數(shù)問題及求解數(shù)值微積分問題常微分方程的數(shù)值解法主要內(nèi)容5.1解析解與數(shù)值解在實際的工程技術(shù)中，一般通過數(shù)值解法來獲得問題的解。至少有兩個原因： 1)解析解不存在如圓周率的值就沒有解析解，超越積分也沒有解析解。在這種情況下，就必須采用數(shù)值解技術(shù)。2)解析解存在但不實用如求解n元一次代數(shù)方程組的問題，從理論上講，總可以把多元一次方程組簡化成解析可解的形式。然而當(dāng)n較大時，需要的基本運算次數(shù)是非常驚人的，對于求解實際問題所需要的計算成本是根本無法接受的，只能采用數(shù)值解法。5.1解析解與數(shù)值解解析解與數(shù)值解數(shù)值線性代數(shù)問題及求解數(shù)值微積分問題常微分方程的數(shù)值解法主要內(nèi)容5.2.1特殊矩陣的MATLAB輸入

零矩陣：zeros(m,n);

(m,n)

定義矩陣維數(shù)幺矩陣：ones(m,n);

單位矩陣：eye(m,n);

隨機元素矩陣：rand(m,n);[0,1]上均勻分布

randn(m,n);

正態(tài)分布對角陣：diag(v);

v為對角元素組成的向量5.2.2矩陣的特征參數(shù)運算矩陣的行列式：det(A)矩陣的跡：trace(A)，即對角線元素之和矩陣的秩：rank(A)，即線性無關(guān)的列數(shù)或行數(shù)矩陣的范數(shù)

norm(A,p)11-范數(shù)，A的最大列和，max(sum(abs((A)))22-范數(shù)，最大奇異值，norm(A)Inf無窮范數(shù)，A的最大行和，max(sum(abs(A')))'fro'Frobenius范數(shù)，sqrt(sum(diag(A'*A)))當(dāng)A為向量時，范數(shù)定義稍有不同：norm(A,p)sum(abs(A).^p)^(1/p)norm(A)norm(A,2)norm(A,inf)max(abs(A))norm(A,-inf)min(abs(A))5.2.2矩陣的特征參數(shù)運算矩陣投的特征屯多項訴式：c少=po泄ly應(yīng)(A扶)矩陣潑的特征冤值：特途征方蛙程的壤根ro妙ot兆s(錦po室ly倉(A莊))或ei亞g(弊A)若A為矩曠陣，摘則返廚回的c就是慚向量[1粥,c1,…盈,cn-散1,cn]降冪勁排列5.課2.篇2矩陣讓的特物征參伍數(shù)運腔算矩陣痕的特征毛值與編特征嫩向量[v錄,d吧]糞=ei揪g(A約)其中壇，矩捕陣v的各彈列為隊特征框向量將，矩銜陣d的對黨角元盈素為宴特征燦值>>姜a腔=[鼠1潮2令3;瓣4企5干6;膨7閣8篩0]廉;>>件[列v,罷d]猾=e覺ig劍(a絡(luò))v毒=-0誤.2某99狗8眠-0行.7莖47離1慎-0弓.2仗76恐3-0色.7佛07萬5技0捆.6邁58春2況-0陳.3流88喇4-0黑.6踢40磚0炊-0桐.0斧93據(jù)1迫0討.8努79仿1d東=12從.1充22修9趙0盤00燒-0就.3安88火4禾00拆0董-5啞.7抱34工55.泥2.洞2矩陣撲的特鼠征參槽數(shù)運警算矩陣糊求逆B=in區(qū)v(A婆)為求矩吼陣A的逆瘋矩陣>>升a癥=[已1忘2匙3;教4圣5墾6;都7眉8緊0衫];叔b夢=i憲nv移(a袖);畏c即=a傾*b蛙;弓d=肉b咬*a帝;皆[b感c班d督]an任s厘=-1姥.7輕77攻8植0.飲88販89滑-漢0.爛11扶11禿1胃.0片00鞭0牌0援-穗0.監(jiān)00美00贊1蔽.0密00漆0費0.斧00罰00埋01.丈55海56太-敘0.灣77納78牽0項.2用22蠟2疫-0碰.0懂00場0掏1.萬00剛00悟0揀-0紐奉.0拼00征0授1.復(fù)00脹00絞0-0效.1超11晌1化0.雞22垮22伐-侮0.四11骨11承0祥.0供00豪0巖-0拉.0商00這0調(diào)1.遙00壇00壁0久.0吳00驚0章0.書00圾00露1膠.0瞧005.糞2.使2矩陣逢的特爹征參掌數(shù)運救算多項張式及娘多項廣式矩餃陣求秀值多項吳式求蛛值B單=裁po欣ly股va貿(mào)l(坐aa霸,x攝)多項晴式矩浩陣求池值B視=欄po搏ly膠va黨lm餓(a枕a,諸A)其中aa為多談項式漏系數(shù)元降冪哥排列壩構(gòu)成求的向政量；x為指找定的輝標(biāo)量費，A為給椅定的槽方陣勢。5.咐2.踢2矩陣伴的特時征參代數(shù)運前算面向碎矩陣讀各個籠元素冠的函傷數(shù):B膜=函數(shù)石名(A汁)用命限令he油lp航e秩lf燈un可以辭查看困這些階命令覆列表鞏，主捆要有只：si劉n歌si伸nh蜘a先si始n鍬as扶in彎h趟co事s腿co次sh幅a覺co辣s家ac非os舒h艷ta肚n緩ta震nh喚a暴ta慮n矩at萄an獅2探at悔an球h陪se爬c王se滅ch想a烤se膊c荒as榴ec嶼h吩c判sc室c眠sc沾h頑ac何sc申a妙cs雄ch究c粉ot眠c撥ot僻h流ac潮ot怒a熄co求th戚e饞xp沉lo家g拋lo遺g1椅0輕lo石g2亡p詢ow使2料sq老rt蚊a剝bs示a易ng農(nóng)le蜻c奏om練pl貪ex碰co脅nj友i葡ma菊g尼re違al繼u貨nw蝕ra掀p薦is居re顫al置c命pl賊xp植ai雅r川fi窮x版f酸lo霸or蟻c悉ei評l逐ro租un販d弓mo踐d肝re指m肅si條gn5.盛2.少2矩陣敬的特綠征參沾數(shù)運腿算對矩刊陣進處行數(shù)競值分扁析的高函數(shù):B=函數(shù)豬名(A稅)用命產(chǎn)令he胞lp菜d約at帆af爛un可以傲查看突這些眉命令祥列表眾，主新要有攪：ma順x減mi么n桂me算an裙m篩ed筐ia候n壘st債d嫩va憶r踢so木rt見s釘or謊tr才ow附s尋su泛m預(yù)pr莖od慚h曬is熄t梁hi很st碑c宿tr偉ap痰z蘭cu憶ms瘦um休c玩um粥pr歷od濃c羊um啊tr廊ap斑z勢di宵ff網(wǎng)g原ra盯di澤en侍t鄰de倒l2串c技o(jì)r認(rèn)rc球oe曾f其co殿v功su綱bs寄pa賠ce研f風(fēng)il橡te滾r們fi蛾lt演er嫌2蹄co越nv及c掉on察v2撈c姓on熔vn棕d休ec近on柄v乳de毀tr狀en搏d褲ff蛾t蝦ff罵t2疫f老ft削n鄙if編ft膊i阻ff島t2躍i聽ff追tn帖f是ft厚sh啟if編t否if逆ft發(fā)sh奴if法t5.宏2.貫2矩陣溪的特亮征參飛數(shù)運轉(zhuǎn)算5.賢2.嗽3矩陣丟的相肢似變朵換與迫分解1)三角王形分列解最基冤本的姻分解童方法?？砂秧暼魏硒B一個方陣表示逝成兩崇個三孕角矩謠陣的寄乘積掏，其生中一禍個方狼陣是約換位咳的下劑三角繳矩陣焰，另極一個學(xué)是上如三角捎矩陣卷。這會種分禮解法獨常稱屋為LU分解偽或LR分解穴，其手算法踐多為高斯寸消去裳法。是求絮解線羊性方虜程組違、in夫v(塵)和de與t(草)的基揀礎(chǔ)。用lu花()函數(shù)遮可得涌到分篇解后識的兩安個三特角矩右陣，毫其調(diào)般用形猴式為[L徑,U蟻]=lu(A召)2)正交壩分解也稱需為“QR”分有解，煩將一棟個矩陣表示元成一嫩個正興交矩?fù)耜嚭秃弦粋€撐上三源角矩偽陣的狠乘積嶺，A=Q*增R用qr勁()函數(shù)篇可得頸到分巨解后靈的兩誤個矩閣陣，室其調(diào)奔用形愁式為[Q田,R族]=qr(A基)5.搖2.為3矩陣蛋的相蹦似變度換與興分解3)奇異衡值分往解[U膨,S皇,V牲]=sv有d(A鑼)其中山，U和V是正架交矩救陣，襪而S是對鞭角矩庫陣。五即A=U*S*V’奇異夜值分室解是臥矩陣停分析姻的有滅力工秘具。Ma璃tl領(lǐng)ab的一托些函混數(shù)也誘是基近于此裂實現(xiàn)案的，估包括惕求偽船逆函哲數(shù)pi鵝nv裝(A蛇)，求距秩函雅數(shù)ra暑nk棚(A皂)，求覽歐式狀范數(shù)no志rm更(A鮮,2云)，求初條件慶數(shù)co贊nd狠(A蹤蝶)5.盯2.代3矩陣章的相澡似變矛換與霉分解解析遣解與戶數(shù)值拒解數(shù)值役線性項代數(shù)央問題帶及求念解數(shù)值但微積災(zāi)分問水題常微偉分方拿程的唇數(shù)值斥解法主要縱內(nèi)容MA開TL娘AB提供斯了計婆算給麻定向劣量差氏分的安函數(shù)di只ff慣()，其準(zhǔn)調(diào)用枯方法鴨是dy頁=d稻if營f(倦y)(按列能運算院，行殊數(shù)減1）。5.吳3.汪1數(shù)值蛾差分消運算di話ff遲()>>滋y榴=m譜ag溉ic濃(6繭)y碑=35曬1周6怎26識19井243錘3那2談7筑2慰1舊2泡3扭2棋531李9斑2午22涌27灰208璃2爺8鑰3職3嶼1它7非1齊0都1斥530敘5朗34麻12蒜14堂164灶3毒6哪2金9炸1奏3嗚1衛(wèi)8臘1搏1>>嗚d話if挪f(典y)an蹲s盒=-3幼2螺3尿1蔥1逝-玻5勺4量128框-珍23增-5震1己4推-5-2美3霉1衰9射3糞1敘-殘5雨-1郊7聾-余522憶-壺23汁1孔-5咱4責(zé)1-2社6抗3定1吐-尸5運1爆4臟-伴55.輕3.貢1數(shù)值控差分聚運算5.震3.料2數(shù)值臣積分求解孔函數(shù)妻定積馬分的文數(shù)值唐方法壯是多座種多床樣的萬，如仿梯度藍(lán)法，Si劃mp攏so稅n法、Ro睜mb腸er潑g法等掌都是具經(jīng)常叛采用楊的方乏法。基本糾思想：將隆整個工積分怪空間紹分割銅成若茅干個兄自空店間，游而每桑個小僅空間譽上的楚函數(shù)棟積分臥可求拾，因盈而整賴個空援間函很數(shù)積陽分可時求。[y螞,n洋]=庭su游m(簽F,銹a,慣b);等寬壞矩形蟻法求忽定積辮分[y扇,n腿]=攏tr夏ap坐z(往F,謙a,述b);梯形迷法求虎定積漏分[y澇,n絲式]=qu宰ad(F忘,a倡,b竭,t魂ol竿);自適批應(yīng)辛經(jīng)普森威積分[y認(rèn),n億]=qu百ad縣l(F主,a癥,b隙,t件ol扛);自適搞應(yīng)Lo蓄ba誰tt忠o積分,牛頓8段積饞分（紹替代qu尤ad教8）其中F為描戀述被牢積函飄數(shù)的婦字符妻串變天量，徐一般遙為一熄個F.愚m函數(shù)稍文件嬌名（坡加引塊號）散；還樸可用in視li掀ne醬()來定食義一賄個函畏數(shù)。a,b為積徐分上情下限膚，to點l為變直步長旨積分功用誤母差限漲，y為積逢分結(jié)視果，n為被桿積分罪函數(shù)買的調(diào)胞用次乎數(shù)。常見檢的一忙元函摔數(shù)數(shù)唉值積車分指晴令：5.提3.奶2數(shù)值難積分例：求求無帖窮定敬積分>>占f愿=in據(jù)li隔ne('孔1/墓sq沿rt直(2膀*p予i)許*e萬xp(-佩x.園^2筍/2要)'巾,'單x'劍);>>針[流y,素kk冤]=旺qu斃ad邁(f形,-抬8,匠8)y士=弊1.跪00格00量01敗97賭53政34減30kk遇=外81>>粗[微y1午,k旦k1獄]=配qu鹽ad序l(哄f,碼-8額,8攜)y1虧=個1工.0彩00爪00密00前00竿00蠢02幸3kk境1層=暴16胞1>>后[腿y,寶kk底]=應(yīng)qu繩ad伸(f鎮(zhèn),-坐15暖,1系5)y六=踏0.府99掉99斷99司20漏87漿95洲63kk啟=晨89>>拋[繭y1牲,k汁k1步]=減qu樹ad紀(jì)l(懲f,墳-1瓜5,測15俱)y1既=向0掘.9吊99扇99燒99酸99哄99賤99也9kk途1反=負(fù)76捉9,該無奧窮定笑積分邁的理憂論值車為1。5.苗3.谷2數(shù)值砍積分例子件：>>薦f舌=英i屆nl宗in飯e(編'e平xp情(-欲x.握^2識/2渡).要*s誰in葉(x清.^柳2+昂y)漲/(鑰2*抄pi危)'珠,'輸x'礙,'勤y'繳);>>座y巖=其d期bl癥qu晌ad即(f起,-團2,趨2,嘴-1美,1籮)y幅=麗0.技25初06雙重間積分論函數(shù)售：db叔lq液ua輛d(F依,x胃_m泊,x村_M墾,y商_m警,y機_M勿,t乎ol釘)三重噸積分車函數(shù)織：tr崇ip銹le技qu地ad(F敢,x慮_m烤,x籃_M訓(xùn),境y_例m,y_閃M,川z_診m,紀(jì)z_釣M,撲to愿l)5.英3.桑2數(shù)值犯積分解析躬解與棵數(shù)值頸解數(shù)值妖線性脖代數(shù)毒問題濕及求擁解數(shù)值警微積祝分問蔑題常微嗽分方捐程的彩數(shù)值上解法主要蹤蝶內(nèi)容通常汗把含漸有自迫變量t、未塊知的違一元滴函數(shù)x(t)及其犬導(dǎo)數(shù)久或微科分的罩方程蓬，叫荷做常赴微分振方程炒（OD厚E,淡Or瓦di棕na描ry權(quán)D送if吊fe斷re占nt章ia混l喉Eq寨ua淋ti膚on）。絡(luò)如一邁階常碑微分森方程救的初就值問探題：5.俊4.握1一般叨常微挺分方番程的嗽數(shù)值閑解法求解廉常微莫分方動程組鉆的數(shù)值真方法是多優(yōu)種多醫(yī)樣的耗，如倚常用厘的Eu本le摩r法、Ru餐ng并e-救Ku投tt靜a法、Ad鮮am捧s線性丘多步拉法、Ge然ar法等固。MA倚TL盟AB求解拉常微絞分方撐程的陷函數(shù)粘如下付：函數(shù)說明函數(shù)說明ode23低階法解非剛性微分方程ode45中階法解非剛性微分方程ode113變階法解非剛性微分方程ode23t梯形法解適度剛性O(shè)DE和DAEode15s變階法解剛性微分方程和DAE（微分代數(shù)方程）ode23sode23tb低階法解剛性微分方程5.思4.斑1一般燒常微陳分方為程的碎數(shù)值衣解法od召e2樸3(票)和od撿e4份5(個)最常贊用，總采用朽自適鋤應(yīng)變邀步長內(nèi)求解括方法[t曲,x酷]=od股e2激3(方程詢函數(shù)鍋名,[橫t0歷,t澡f]催,x圍0,健'選項')[t請,x哄]=od型e4挽5(方程訪函數(shù)徑名,[董t0舒,t斤f]張,x亞0,祝'選項')方程魯函數(shù)丈名為劃描述亮系統(tǒng)傘狀態(tài)寄方程鍛的M函數(shù)禾的名銜稱，股該函壓數(shù)名游應(yīng)該千用引壘號括塘起來格；t0和tf分別廟為起籠始和芝終止橡計算碎時間奔，x0為系媽統(tǒng)的蹤蝶初始賀狀態(tài)保變量蘋的值訓(xùn)；返回曾值為葛求解盛的時鑼間變憶量和耐相應(yīng)罵的狀唯態(tài)列慨向量坑構(gòu)成遇的矩己陣轉(zhuǎn)浮置。5.產(chǎn)4.擺1一般浮常微漢分方賓程的勉數(shù)值形解法方程輩函數(shù)剪名的路編寫另格式吵是固嗎定的辮：fu王nc俱ti童on冶xd死ot應(yīng)=方程申函數(shù)桑名(t讀,x降)其中t為時倦間變斗量，x為方垂程的茶狀態(tài)搭變量辜，xd覺ot代表銀狀態(tài)究變量塌的導(dǎo)匆數(shù)。注意歡，即桶時微慌分方塞程是唯非時舟變的襖，也俯應(yīng)該擇在函攀數(shù)輸貼入變喊量列赤表中本寫上t占位寸。5.香4.量1一般單常微黃分方丹程的萄數(shù)值租解法5.持4.屢1一般挎常微就分方舊程的咸數(shù)值秋解