最佳平方逼近多項式

關(guān)于最佳平方逼近多項式第1頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三本節(jié)內(nèi)容1.內(nèi)積空間2.兩類特殊的函數(shù)族3.函數(shù)的最佳平方逼近4.舉例5.MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)§5.2最佳平方逼近多項式第2頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三1.內(nèi)積空間權(quán)函數(shù)：考慮到在區(qū)間[a,b]上各點的函數(shù)值比重不同,常引進加權(quán)形式的定義，設(shè)在區(qū)間[a,b]上的非負函數(shù)滿足條件：1）存在；2）對非負的連續(xù)函數(shù)，若則在[a,b]上，，即不恒為0。就稱為[a,b]上的權(quán)函數(shù)。它的物理意義可以解釋為密度函數(shù)。第3頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三1.內(nèi)積空間內(nèi)積：設(shè)是[a,b]上的權(quán)函數(shù)，則稱積分

為函數(shù)與在[a,b]上的內(nèi)積,有下列性質(zhì)：1）2）為常數(shù);3）4）當且僅當時，第4頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三1.內(nèi)積空間內(nèi)積空間：滿足內(nèi)積定義的函數(shù)空間稱為內(nèi)積空間。如在連續(xù)函數(shù)空間上定義了內(nèi)積就形成了一個內(nèi)積空間。向量的模：在n維歐氏空間中，內(nèi)積就是兩向量的數(shù)量積，即向量的模（范數(shù))的定義為：第5頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三1.內(nèi)積空間歐式范數(shù)：若,則量稱為的歐式范數(shù)。對任何,有以下結(jié)論：（1），又稱柯西-施瓦茨不等式；（2），又稱三角不等式；（3），又稱平行四邊形定律。第6頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三2.兩類特殊的函數(shù)族正交：若為[a,b]上的權(quán)函數(shù)且滿足則稱與在[a,b]上帶權(quán)正交。正交函數(shù)族：若函數(shù)族滿足關(guān)系則稱是[a,b]上帶權(quán)的正交函數(shù)族；若，則稱為標準正交函數(shù)族。第7頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三2.兩類特殊的函數(shù)族可以證明，三角函數(shù)族滿足上述條件，是在上的正交函數(shù)族。線性無關(guān)：若函數(shù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，如果當且僅當時成立，則稱在[a,b]上是線性無關(guān)的。第8頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三2.兩類特殊的函數(shù)族線性無關(guān)函數(shù)族：若函數(shù)族中的任何有限個線性無關(guān)，則稱為線性無關(guān)函數(shù)族。充要條件：

在[a,b]上線性無關(guān)的充要條件是它的Gramer行列式，其中第9頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三3.函數(shù)的最佳平方逼近最佳平方逼近函數(shù)：對于及中的一個子集若存在使下式成立:則稱是在子集中的最佳平方逼近函數(shù)，其中是一組線性無關(guān)函數(shù)族，函數(shù)第10頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三3.函數(shù)的最佳平方逼近對函數(shù)s*(x)的求解：等價于求以下多元函數(shù)

的最小值。令則引入內(nèi)積定義，可得即第11頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三3.函數(shù)的最佳平方逼近上式是關(guān)于的線性方程組，稱為法方程。用矩陣形式可表示為簡記為。其中第12頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三3.函數(shù)的最佳平方逼近由于線性無關(guān)，故其系數(shù)矩陣H的行列式非奇異，即，該法方程有唯一解為

則最佳平方逼近函數(shù)為令，則平方誤差第13頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三3.函數(shù)的最佳平方逼近

特別地，取，，求其最佳平方逼近多項式。此時，第14頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三3.函數(shù)的最佳平方逼近又稱為希爾伯特矩陣。則方程

的唯一解即為所求多項式s*(x)的系數(shù)。第15頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例1.求在區(qū)間[0,1]上的一次最佳平方逼近多項式。解：取由得則由第16頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例得解得：故所求一次最佳平方逼近多項式為：所求最佳一次逼近多項式為：第17頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例第18頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例Matlab求定積分（int函數(shù)）d0=(2*2^(1/2))/5-(6*ellipticF(asin(1/(3/2+(3^(1/2)*i)/2)^(1/2)),-(3/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))*(-1/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2))/5+(6*(3/2+(3^(1/2)*i)/2)*(2/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((-1/2+(3^(1/2)*i)/2)/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*((1/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)*ellipticF(asin((2/(3/2+(3^(1/2)*i)/2))^(1/2)),-(3/2+(3^(1/2)*i)/2)/(-3/2+(3^(1/2)*i)/2))*(-1/(2*(-1/2+(3^(1/2)*i)/2)*(1/2+(3^(1/2)*i)/2)))^(1/2))/5第19頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例第20頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例第21頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例二次第22頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例三次第23頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例四次第24頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例第25頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例第26頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例第27頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三4.舉例第28頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三5.MATLAB編程實現(xiàn)functionA=ZJPFBJ(f,n,a,b)C=zeros(n+1,n+1);var=findsym(f);f=f/varfori=1:n+1C(1,i)=(power(b,i)-power(a,i))/i;f=f*var;d(i,1)=int(sym(f),var,a,b);endfori=2:n+1C(i,1:n)=C(i-1,2:n+1);f1=power(b,n+i);f2=power(a,n+i);C(i,n+1)=(f1-f2)/(n+i);endA=C\d;A=real(double(A));