圓錐曲線知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

二、圓錐曲線常見(jiàn)題型及解題思路方法。1.求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程先判斷焦點(diǎn)的位置，設(shè)出相應(yīng)圓錐曲線的方程，再根據(jù)已知條件和圓錐曲線的性質(zhì)列方程（組）（如求橢圓方程，就是根據(jù)條件和性質(zhì)列出關(guān)于Q、b、C的方程組），求出待定參數(shù)。在解方程（組）求Q，b時(shí)，要注意考題中經(jīng)常出現(xiàn)的幾種方程的形式，對(duì)于復(fù)雜的方程（組），常常是觀察一一猜想一一驗(yàn)證，得出q，b的值。求橢圓（或雙曲線）的離心率或離心率的取值范圍求離心率就是根據(jù)條件和圓錐曲線的性質(zhì)，尋找Q、b、Cc之間的等量關(guān)系，求出—的值。在橢圓中，有:在雙曲線中，有:a在雙曲線中，有:、、、b.，一一、

能求出_，也就求得了離a心率。在雙曲線中，還要注意漸近線與離心率的關(guān)系。求離心率的取值范圍就是根據(jù)條件和圓錐曲線的性質(zhì)尋找Q、b、C之間的不等關(guān)系。關(guān)于不等式的來(lái)源，通常是依據(jù)已知不等式，同時(shí)還要注意圓錐曲線中幾個(gè)常用的不等關(guān)系:①圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍；②在橢圓中，有ZF1BF2>ZF1PF2，（其中B為短軸的端點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)）a-c<PF<a+c（）=1,2）；③在雙曲線中，有|PF|>|AF|i（其中F為焦點(diǎn)P為雙曲線上任一點(diǎn)，A是同一支雙曲線的頂點(diǎn)）。解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要盡可能地結(jié)合圖形，依據(jù)定義，多從幾何角度思考問(wèn)題。如果涉及直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題，還要聯(lián)立方程，用坐標(biāo)法找關(guān)系。在圓錐曲線中判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系除常規(guī)方法外（比較點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大?。┩ǔＳ孟蛄糠?。例如，已知直線與圓錐曲線交于A、B兩點(diǎn)，要判斷點(diǎn)P與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，只需確定/人郁的大小，通過(guò)計(jì)算1\A-PB，確定其符號(hào)。證明定點(diǎn)，定值，定直線問(wèn)題可先取參數(shù)的特殊值（或圖形的特殊位置），對(duì)定點(diǎn)，定值，定直線進(jìn)行探求，然后證明當(dāng)參數(shù)變化時(shí)，結(jié)論成立。證明直線過(guò)定點(diǎn)，有兩種思路：①求出滿(mǎn)足條件的動(dòng)直線方程（只含一個(gè)參數(shù)［再根據(jù)方程求出定點(diǎn)；②先探求定點(diǎn)，再設(shè)出要證明的定點(diǎn)的坐標(biāo)（如設(shè)動(dòng)直線與x軸交于點(diǎn)（m,0）），把坐標(biāo)表示出來(lái)，表示式中，往往會(huì)含有x+x,xx1 2 12（或V+V, ），用所求得的結(jié)果代入，就可得出坐標(biāo)為定1 2 12值。證明定點(diǎn)、定值、定直線問(wèn)題，還可利用圓錐曲線中定點(diǎn)、定值、定直線的性質(zhì)，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題是平面解析幾何中的重點(diǎn)問(wèn)題，常涉及直線和圓錐曲線交點(diǎn)的判斷，弦長(zhǎng)，面積，對(duì)稱(chēng)，共線等問(wèn)題處理問(wèn)題的基本方法有兩種：(1)聯(lián)立方程法：解題步驟是：先設(shè)交點(diǎn)TOC\o"1-5"\h\zA(x,y),B(x,y)，再設(shè)直線方程，聯(lián)立直線方程與圓錐曲線1 1 2 2方程構(gòu)成方程組，消元，求x+x,xx，(或y+y,yy)，1 2 12 1 2 12令A(yù)>0(如果直線經(jīng)過(guò)曲線內(nèi)的點(diǎn)，可以省去這一步)，再根據(jù)問(wèn)題的要求或求距離，或求弦長(zhǎng)，或求點(diǎn)的坐標(biāo)，或求面積等。(2)點(diǎn)差法：設(shè)交點(diǎn)為A(x,y),B(x,y)及AB的中點(diǎn)1 1 2 2M(x0,y0)，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代人圓錐曲線方程，作差變形，可得:*y2=f(x,y)，即上=f(x,y)，再由題設(shè)條件，求中點(diǎn)x—x 00AB001 2坐標(biāo)M(x0,y0)，根據(jù)問(wèn)題的條件和要求列式。值得注意的是，用聯(lián)立方程法，設(shè)直線方程時(shí)，為簡(jiǎn)化運(yùn)算，可采用這種的策略，若直線過(guò)x軸上的定點(diǎn)P(a,0)，則直線方程可設(shè)為ky=x—a(此直線不包括x軸)，聯(lián)立方程，消去x，得到關(guān)于y的方程，求出y+y,yy備用。有時(shí)，還要1 2 12根據(jù)y+y,yy，求出x+x,xx。若直線過(guò)y軸上的定點(diǎn)1 2 12 1 2 12Q(0,b)，則直線方程可設(shè)為y=kx+b(此直線不包括y軸)，聯(lián)立方程，消去y。對(duì)于直線y=kx+m，無(wú)特殊交代時(shí)，通常注意分兩種情況：①直線的斜率存在，消元后，注意A>0；②直線的斜率不存在，即直線為x=t(teR)。在涉及到弦的中點(diǎn)及斜率時(shí)，求參數(shù)(如直線的斜率k)的取值范圍，通常采用點(diǎn)差法。最值問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題是從動(dòng)態(tài)角度研究解析幾何中的有關(guān)問(wèn)題，往往涉及求弦長(zhǎng)（或距離）、面積、坐標(biāo)（或截距X向量的模（或數(shù)量積）、參數(shù)等的最大（?。┲怠Ｆ浣夥ㄊ牵涸O(shè)變量，建立目標(biāo)函數(shù)。處理的方法有：（1） 利用基本不等式；（2） 考察函數(shù)的單調(diào)性；（3） 利用導(dǎo)數(shù)法；（4） 利用判別式法。在目標(biāo)函數(shù)的變形上有一定的技巧，關(guān)于弦長(zhǎng)，面積表達(dá)式的變形，常用到移入根號(hào)，分離常數(shù)，換元等方法，把目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)的形式，或用基本不等式，或利用函數(shù)的單調(diào)性求最值。求坐標(biāo)的最值時(shí)，可構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，利用A>0。求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題主要是根據(jù)條件建立關(guān)于參變量的不等式，或者把所求參數(shù)轉(zhuǎn)化關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，通過(guò)解不等式或求函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的取值范圍。具體解法如下：（1） 結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系。（2） 不等式（組）求解法：利用題意結(jié)合圖形列出所討論的參數(shù)適合的不等式（組），通過(guò)解不等式組得出參數(shù)的變化范圍。不等式的來(lái)源常有以下途徑：①已知不等式（含基本不等式）；②直線與圓錐曲線相交時(shí)，有△〉0；③點(diǎn)與圓錐曲線（以橢圓最為多見(jiàn)）的位置關(guān)系；④圓錐曲線（特別是橢圓）上點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍。（3） 函數(shù)值域求解法：把所討論的參數(shù)作為一個(gè)函數(shù)，用一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來(lái)表示這個(gè)函數(shù)，通過(guò)討論函數(shù)的值域來(lái)求參數(shù)的變化范圍。（4） 利用基本不等式：基本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)行巧妙的構(gòu)思。（5） 結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。圓、橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于：①通過(guò)參數(shù)。簡(jiǎn)明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來(lái)幫助求解諸如最值、范圍等問(wèn)題。（6） 構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式論0。求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是解析幾何中兩類(lèi)基本問(wèn)題之一，即根據(jù)動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件，求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系式。最基本的方法是直接法，步驟是：建系設(shè)點(diǎn)7條件立式—坐標(biāo)代換—化簡(jiǎn)方程T查漏除雜。此外還有定義法（主要是利用圓錐曲線的定義），相關(guān)點(diǎn)法，參數(shù)法，幾何法等。在涉及直線、圓的軌跡問(wèn)題時(shí)，常從幾何角度去探求動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系，選用幾何法；如果題目沒(méi)有直接給出動(dòng)點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件，而是給出了與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)的點(diǎn)所滿(mǎn)足的條件，先設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為（尤，y），再把相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)用動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，根據(jù)相關(guān)點(diǎn)的條件列式，此即為相關(guān)點(diǎn)法；參數(shù)法是求軌跡方程常用的方法，合理引入?yún)?shù)（通常是相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)）列式，消去參數(shù)得到關(guān)于x,y的方程，要求所列方程的數(shù)目要比引入的參數(shù)多一個(gè)，才能消去所有參數(shù)。錐曲線問(wèn)題中的條件及要求與韋達(dá)定理之間的聯(lián)系舉例:解決圓錐曲線問(wèn)題的基本方法是坐標(biāo)法，這就需要把問(wèn)題的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的關(guān)系，而把問(wèn)題的條件和要求用坐標(biāo)表示，特別是用x+x,xx或y+y,yy來(lái)表示，往往又是1 2 12 1 2 12打通問(wèn)題思路的關(guān)鍵。以下是問(wèn)題中一些條件的坐標(biāo)表示：設(shè)斜率為k的直線l與圓錐曲線C交于兩點(diǎn)A(x,y),B(x,，y聯(lián)立方程，可求出x+x,xx，以及1 1 2 2 1 2 12（1）弦AB的中點(diǎn)：x+xy+y、弦AB的中點(diǎn)坐標(biāo)可表示為M（_^^,12）4（2）弦AB的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)P（a,b）或PA=|PB|:弦AB的垂直平分線方程為：y-y1+y22弦ab的垂直平分線過(guò)定點(diǎn)P（a,b），則有:

(3)點(diǎn)M3°,七)與以ab為直徑的圓的位置關(guān)系,A A判斷MA-MB的符號(hào)：MAMA-MB〉0nZAMB為銳角n點(diǎn)在圓外n點(diǎn)在圓內(nèi)。-%)+("_)(MA-n點(diǎn)在圓內(nèi)。-%)+("_)(MA-MB<0nZAMB為鈍角TOC\o"1-5"\h\z其中M4-MB=(x-x)(x-x)+(y-y)(y-y)1 0 2 0 1 0 2 0—x(x+x)+x2+yy—y(y+y)+y20 1 2 0 1 2 0 1 2 0(4)垂直問(wèn)題：如 MA±MB , 貝|J 有MA-MB=(x一x)(x一x)+(y一y)(y一y)=01 0 2 0 1 0 2 0(5)A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線y=mx+n對(duì)稱(chēng)：k-m=-1<y+yx+x,(其中k為直線AB的斜率)_j_W=m■ 2+n〔2 2關(guān)于圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題，一般涉及到弦的斜率和中點(diǎn)，所以常采用“點(diǎn)差法”，用點(diǎn)差法處理問(wèn)題時(shí)，對(duì)于不同的圓錐曲線，有不同的表示方法：當(dāng)圓錐曲線分別為橢x2y2一、x2y2圓一+^--1、雙曲線—--^--1、拋物線y2=2px時(shí)，k的表示式有以下三種形式:TOC\o"1-5"\h\zy—y b2 x+x y—y b2 x+x①k= 2=-一. 2(橢圓)；②k= 2=一. 2.x一x Q2 y+y x一x Q2 y+y1 2 1 2 1 2 1 2(雙曲線)；③k=直一y2=2p(拋物線)x一xy+y1 2 1 2

(6)弦長(zhǎng)問(wèn)題:當(dāng)直線AB:y=kx+b時(shí)：AB=』1+k2-x-x=J1+k2?J(x+x)2-4xx當(dāng)直線AB:x=ky+a時(shí)TOC\o"1-5"\h\zAB=J1+k2?y-y=J1+k?/(y+y)2-4yy1 2 V1 2 12三角形的面積：_ 1①S=-AB?d； (d是點(diǎn)到直線AB的距離)2②S=1|MN?x-x|或S=1\MN?y-y,

2' 1 2' 2' 1 2其中M、N為x軸上兩定點(diǎn)，|mnI為定長(zhǎng)。三點(diǎn)共線問(wèn)題：遇三點(diǎn)共線問(wèn)題，常利用斜率相等列方程。設(shè) M(x°,y0)，若 A,M,B共線，則jjy—yy—y八TOC\o"1-5"\h\zk—k= o— o=0MAMBx-xx-x10 2 0利用直線方程將y，y換成x，x(或?qū),x換成1 2 1 2 1 2y『y2)，通分后令分子為0，可使所得方程中僅含有x+x,xx(或僅含有1 2 12y+y,yy)。1 2 12(9