等差數(shù)列前項和的公式

關(guān)于等差數(shù)列前項和的公式第1頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三復(fù)習(xí)回顧(1)等差數(shù)列的通項公式:

已知首項a1和公差d,則有:

an=a1+(n-1)d

已知第m項am和公差d,則有:

an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）

(2)等差數(shù)列的性質(zhì):

在等差數(shù)列﹛an﹜中,如果m+n=p+q

(m,n,p,q∈N),那么:an+am=ap+aq第2頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲飾，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑。你知道這個圖案一共花了多少寶石嗎？問題呈現(xiàn)

問題1第3頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

問題2：對于這個問題，德國著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時曾很快求出它的結(jié)果。（你知道應(yīng)如何算嗎？）

這個問題，可看成是求等差數(shù)列1，2，3，…，n，…的前100項的和。假設(shè)1+2+3++100=x,(1)那么100+99+98++1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101++101=2x,100個101所以x=5050.高斯第4頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

這是求奇數(shù)個項和的問題，不能簡單模仿偶數(shù)個項求和的辦法，需要把中間項11看成首、尾兩項1和21的等差中項。通過前后比較得出認識：高斯“首尾配對”的算法還得分奇、偶個項的情況求和。有無簡單的方法？

第5頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

借助幾何圖形之直觀性，使用熟悉的幾何方法：把“全等三角形”倒置，與原圖補成平行四邊形。第6頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三探究發(fā)現(xiàn)問題1：圖案中，第1層到第21層一共有多少顆寶石？

123212120191獲得算法：第7頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三問題3:求:1+2+3+4+…+n=?記:S=1+2+3+…+(n-2)+(n-1)+nS=n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1第8頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三設(shè)等差數(shù)列a1,a2,a3,…它的前n項和是

Sn=a1+a2+…+an-1+an(1)若把次序顛倒是Sn=an+an-1+…+a2+a1(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)

a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…由(1)+(2)得2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..

即

Sn=n(a1+an)/2

下面將對等差數(shù)列的前n項和公式進行推導(dǎo)第9頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三由此得到等差數(shù)列的{an}前n項和的公式即：等差數(shù)列前n項的和等于首末項的和與項數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫成由等差數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d解題時需根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。知三求二第10頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三迅速作答（2）1+3+5+…+（2n-1）=（1）1+2+3+…+n=（3）2+4+6…+2n=上面習(xí)題的答案在以后會經(jīng)常用到。n（n+1）/2n（n+1）n2=Sn==SnSn第11頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

1.將等差數(shù)列前n項和公式

看作是一個關(guān)于n的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點？當(dāng)d≠0時,Sn是常數(shù)項為零的二次函數(shù)則Sn=An2+Bn令第12頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三㈡【說明】①推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式的方法叫

；②等差數(shù)列的前n項和公式類同于

；③{an}為等差數(shù)列

，這是一個關(guān)于

的沒有

的“

”倒序相加法梯形的面積公式Sn=an2+bnn常數(shù)項二次函數(shù)（注意a還可以是0）第13頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例1

如圖，一個堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多一支，最上面一層放120支。這個V形架上共放著多少支鉛筆？解：由題意可知，這個V形架上共放著120層鉛筆，且自下而上各層的鉛筆數(shù)成等差數(shù)列，記為{an},其中a1=1,a120=120.根據(jù)等差數(shù)列前n項和的公式，得答：V形架上共放著7260支鉛筆。第14頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例2：在等差數(shù)列{an}中，（2）a1=14.5，d=0.7，an=32，求Sn（2）由等差數(shù)列的通項公式，得14.5+(n-1)0.7=32n=26（1）a3=-2，a8=12，求S10解：（1）a1+a10=a3+a8=10第15頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三由以上例題可以得出:在求等差數(shù)列的前n項的和時,當(dāng)知道首項和公差,或者是知道首項和末項,均可以得出.練一練已知等差數(shù)列an中,已知a6=20,求S11=?例3:已知等差數(shù)列an中a2+a5+a12+a15=36.

求前16項的和?解:由等差數(shù)列的性質(zhì)可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18sn=16/2×18=144

答:前16項的和為144。分析：可以由等差數(shù)列性質(zhì)，直接代入前n項和公式第16頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例4

等差數(shù)列-10，-6，-2，

2，…前多少項的和是54？

本題實質(zhì)是反用公式，解一個關(guān)于n的一元二次函數(shù)，注意得到的項數(shù)n必須是正整數(shù).第17頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三解：將題中的等差數(shù)列記為｛an｝，sn代表該數(shù)列的前n項和，則有a1=－10,d=－6－(－10)=4

根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式：解得n1=9,n２=－3(舍去)因此等差數(shù)列－10,－6,－2,2，．．．前9項的和是54.設(shè)該數(shù)列前n項和為54得第18頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例5

已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，求Sn.解：

S10=310，S20=1220第19頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三鞏固練習(xí)1、已知a6+a9+a12+a15=192,求S202、凸n邊形各內(nèi)角成等差數(shù)列，公差為10o，最小內(nèi)角為100o，則n等于（

）（A）7

（B）8

（C）9

（D）8或9a6+a9+a12+a15=192，a6+a15=a9+a12=a1+a20a1+a20=96由題意，得:解得n=8或n=9（舍）

B第20頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三3.一個項數(shù)為36的數(shù)列的前四項和是21，后四項和是67，求這個數(shù)列的和。第21頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三4

求集合M={m|m=7n,n是正整數(shù),且m<100}的元素個數(shù),并求這些元素的和.解:由7n<100得n<100／7,由于滿足它的正整數(shù)n共有14個,∴集合M中的元素共有14個.即7,14,21,…,91,98.這是一個等差數(shù)列,各項的和是答:

集合M中的元素共有14個,它們的和為735.=735第22頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三等差數(shù)列的前n項和公式：

熟練掌握等差數(shù)列的兩個求和公式并能靈活運用解決相關(guān)問題．

小結(jié)第23頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三2.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)性質(zhì)1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n,…也在等差數(shù)列,公差為在等差數(shù)列{an}中,其前n項的和為Sn,則有性質(zhì)2:(1)若項數(shù)為偶數(shù)2n,則

S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)(an,an+1為中間兩項),此時有:S偶－S奇=,n2dnd第24頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三性質(zhì)2:(2)若項數(shù)為奇數(shù)2n－1,則

S2n-1=(2n－1)an(an為中間項),

此時有:S奇－S偶=

,兩等差數(shù)列前n項和與通項的關(guān)系性質(zhì)4:若數(shù)列{an}與{bn}都是等差數(shù)列,且前n項的和分別為Sn和Tn,則性質(zhì)3:為等差數(shù)列.an第25頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=()A.63B.45C.36D.27B3.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用第26頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第27頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三第28頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三2.在等差數(shù)列{an}中,已知公差d=1/2,且a1+a3+a5+…+a99=60,a2+a4+a6+…+a100=()A.85B.145C.110D.90A3.一個等差數(shù)列的前12項的和為354,其中項數(shù)為偶數(shù)的項的和與項數(shù)為奇數(shù)的項的和之比為32:27,則公差為

.5第29頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例4.兩等差數(shù)列{an}、{bn}的前n項和分別是Sn和Tn,且求和.等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用第30頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例5.(09寧夏)等差數(shù)列{an}的前n項的和為Sn,已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38,則m=.例6.設(shè)數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-7,則|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|=

.10153等差數(shù)列{an}前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用第31頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)：已知在等差數(shù)列{an}中,a10=23,a25=-22,Sn為其前n項和.（1）問該數(shù)列從第幾項開始為負？（2）求S10（3）求使Sn<0的最小的正整數(shù)n.(4)求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a20|的值第32頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)5第33頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例題講解當(dāng)n>1時：①

當(dāng)n=1時：

也滿足①式.第34頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三變式訓(xùn)練當(dāng)n>1時：

①

當(dāng)n=1時：

不滿足①式.點評：分類討論思想第35頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例:若數(shù)列{an}的前ｎ項和Sn滿足Sn=an2+bn,試判斷{an}是否是等差數(shù)列。鞏固練習(xí)第36頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三

觀察上面的式子,我們可以看出它是關(guān)于n的二次函數(shù),從而等差數(shù)列的前n項和可以寫成形如:

將等差數(shù)列的前n項和公式寫成上述形式,有利于求其前n項和的極值:

a1<0,d>0

a1>0,d<0最大值無有最小值有無nsnnsna1<0,d>0,最小值

a1>0,d<0,最大值等差數(shù)列前n項和再認識:第37頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例6：已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=21，公差d=－2，求這個數(shù)列的前n項和Sn的最大值。等差數(shù)列的前n項的最值問題第38頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三等差數(shù)列的前n項的最值問題例7.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.第39頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三等差數(shù)列的前n項的最值問題例7.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.則Sn的圖象如圖所示又S3=S11所以圖象的對稱軸為7n113Sn第40頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三等差數(shù)列的前n項的最值問題例7.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得第41頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三∴a7+a8=0等差數(shù)列的前n項的最值問題例7.已知等差數(shù)列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值時,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴當(dāng)n=7時,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0第42頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例7的變式題一：等差數(shù)列{an}中，首項a1>０，S3=S11，問：這個數(shù)列的前幾項的和最大？例7的變式題二：等差數(shù)列{an}的首項a1>0,前n項和為Sn，Sm=Sl,問:n為何值時，Sn最大？第43頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三的前n項和為②當(dāng)n為何值時，最大，①數(shù)列的通項公式

已知求：變式3設(shè)等差數(shù)列第44頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三例8.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出數(shù)列{Sn}中數(shù)值最大的項,并說明理由.解:(1)由已知得a1+2d=1212a1+6×11d>013a1+13×6d<0第45頁，講稿共52頁，2023年5月2日，星期三法2∵∴Sn圖象的對稱軸為由(1)知由上得即由于n為正整數(shù),