高中數(shù)學-絕對值三角不等式教學課件設(shè)計

絕對值三角不等式

問題1.在數(shù)軸上，你能指出|a|與|a-b|的幾何意義嗎？（a、b均為實數(shù)）|a|表示數(shù)軸上坐標為a的點A到原點 O的距離abxBAO問題引入|a-b|表示數(shù)軸上坐標為a、b的兩點A,B間的距離OaxA探究新知探究新知小組活動1：

如果a、b是任意實數(shù)，嘗試探究|a|+|b|、|a+b|之間的大小關(guān)系，各小組選代表發(fā)布探究結(jié)果.探究新知（1）a·b>0時，如下圖易得：|a+b|

|a|+|b|（2）a·b<0時，如下圖易得：|a+b|

|a|+|b|（3）a·b=0時，顯然有：|a+b|

|a|+|b|綜上可得：xabOa+bxabOa+bxabOa+bxabOa+b==<

定理1如果a,b是實數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|當且僅當ab≥0時，等號成立。問題3：若把a,b換為向量，,情形又怎樣呢？ab探究新知這個不等式稱為絕對值三角不式。小組活動2：根據(jù)前面的探究思路，你還能發(fā)現(xiàn)|a|+|b|、

|a|-|b|、|a+b|、|a-b|之間的關(guān)系嗎？各小組選代表發(fā)布探究結(jié)果.探究新知發(fā)現(xiàn)1.如果a,b是實數(shù)，那么|a|-|b|≤|a+b|≤

|a|+|b|左側(cè)當且僅當ab≤0時等號成立；右側(cè)當且僅當ab≥

0等號成立.

發(fā)現(xiàn)2.如果a,b是實數(shù)，那么||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|左側(cè)當且僅當ab≥

0時等號成立；右側(cè)當且僅當ab≤0時等號成立.定理1的推論：

如果a,b是實數(shù)，那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|探究新知|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|等號成立的口訣：同加同減，ab同號（≥

0）一加一減，ab異號（≤

0）例1求證：如果a,b,c是實數(shù)，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|當且僅當(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。證明：根據(jù)絕對值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|當且僅當(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。這個結(jié)論也有重要的作用，我們把它作為定理2.典型例題：利用絕對值不等式||a|－|b|||a±b|≤|a|＋|b|，進行證明題往往需要通過適當?shù)奶怼⒉痦?、重組、整體代換等.考題連線：（2014—江西）對任意x，y∈R，|x-1|+|x|+|y-1|+|y+1|的最小值為（）A．1B．2C．3D．4變式：對任意x∈R，|2x-1|+|2x+1|≥m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為________.（1）對于y=｜x-a｜+｜x-b｜或y=｜x+a｜-｜x-b｜型的函數(shù)最值求法，利用絕對值三角不等式更簡捷、方便.（2）含絕對值的不等式恒成立或存在性問題，往往可以將問題轉(zhuǎn)化為最值問題，再看能否構(gòu)造絕對值三角不等式求得最值．

（3）求最值時要注意等號成立的條件，它也是解題的關(guān)鍵．課堂小結(jié)：

定理1如果a,b是實數(shù)，則|a+b|≤|a|+|b|當且僅當ab≥0時，等號成立。定理1的推廣形式：如果a,b是實數(shù)，那么||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|定理2如果a,b,c是實數(shù)，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|當且僅當(a-b)(b-c)≥0時，等號成立。123一維角度擴展到二