濱州學(xué)院常微分方程期末考試復(fù)習(xí)題庫(kù)

第/\*Arabic1頁(yè)2023年上學(xué)期常微分方程期末考試題庫(kù)一、單項(xiàng)選擇題1.

是某個(gè)初值問(wèn)題的唯一解，其中方程是,則初始條件應(yīng)該是(

).(1分)A.B.C.D.答案：A2.滿足初始條件和方程組的解為(

).

(1分)A.;B.;C.;D..答案：C3.設(shè)，及是連續(xù)函數(shù)，和是二階變系數(shù)齊次線性方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,

則以常數(shù)變易公式作為唯一解的初值問(wèn)題是(1分)A.B.C.D.答案：B4.常微分方程的基本解組是(1分)A.B.C.D.答案：D5.已知,和是某一三階齊次線性方程的解,則和的朗斯基行列式(

).(1分)A.3B.6C.9D.12答案：A6.

是某個(gè)初值問(wèn)題的唯一解，其中方程是,則初始條件應(yīng)該是(

).(1分)A.B.C.D.答案：C7.初值問(wèn)題,

的第二次近似解可以寫(xiě)為(

).(1分)A.5

B.C.D.+答案：D8.設(shè)和是方程組的兩個(gè)基解矩陣,則(1分)A.;B.;C.存在某個(gè)常數(shù)方陣C使得,

其中;D.存在某個(gè)常數(shù)方陣C使得,

其中.答案：C9.設(shè)，及是連續(xù)函數(shù)，和是二階變系數(shù)齊次線性方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,

則以常數(shù)變易公式作為唯一解的初值問(wèn)題是(1分)A.B.C.D.答案：B10.

已知是某一三階齊次線性方程的解,則和的朗斯基行列式(1分)A.;B.;C.;D..答案：A11.設(shè)，及是連續(xù)函數(shù)，和是二階變系數(shù)齊次線性方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,

則以常數(shù)變易公式作為唯一解的初值問(wèn)題是(1分)A.B.C.D.答案：B12.可將一階方程化為變量分離方程的變換為(

).(1分)A.;B.;C.;D..答案：A13.微分方程

是(

).(1分)A.n階常系數(shù)非齊次線性常微分方程;B.n階常系數(shù)齊次線性常微分方程;C.n階變系數(shù)非齊次線性常微分方程;D.n階變系數(shù)齊次線性常微分方程.答案：C14.滿足初始條件和方程組的解為

(1分)A.;B.;C.;D..答案：B15.可將四階方程

化為一階方程的變換是(

).(1分)A.B.C.D.答案：B16.設(shè)，及是連續(xù)函數(shù)，和是二階變系數(shù)齊次線性方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,

則以常數(shù)變易公式作為唯一解的初值問(wèn)題是(1分)A.B.C.D.答案：B17.微分方程的一個(gè)解是(

).(1分)A.B.C.D.答案：D18.一階常微分方程是恰當(dāng)方程的充分必要條件是(1分)A.B.C.D.答案：D19.微分方程的一個(gè)解是(

).(1分)A.B.C.D.答案：C20.設(shè)，及是連續(xù)函數(shù)，和是二階變系數(shù)齊次線性方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解,

則以常數(shù)變易公式作為唯一解的初值問(wèn)題是(1分)A.B.C.D.答案：A21.初值問(wèn)題,

的第二次近似解可以寫(xiě)為(

).(1分)A.+B.C.D.3

答案：A22.微分方程

是(

).(1分)A.n階常系數(shù)非齊次線性常微分方程;B.n階變系數(shù)齊次線性常微分方程;C.n階變系數(shù)非線性常微分方程;D.n階常系數(shù)非線性常微分方程.答案：B23.設(shè)有四個(gè)常微分方程：(i),

(ii),(iii),

(iv).(1分)A.線性方程有一個(gè);B.線性方程有兩個(gè);C.線性方程有三個(gè);D.線性方程有四個(gè).答案：C24.微分方程的一個(gè)解是(

).(1分)A.B.C.D.答案：D25.初值問(wèn)題,

的第二次近似解可以寫(xiě)為(

).(1分)A.6;

B.;C.;D.+.答案：D26.可將六階方程

化為二階方程的變換是(

).(1分)A.B.C.D.答案：D27.設(shè)有四個(gè)常微分方程：(i),

(ii),(iii),

(iv)

(1分)A.四階方程有一個(gè);B.四階方程有兩個(gè);C.四階方程有三個(gè);D.四階方程有四個(gè).答案：D28.微分方程的一個(gè)解是(

).(1分)A.;B.;C.;D..答案：D29.設(shè)是n階齊次線性方程的解,其中是連續(xù)函數(shù).則(1分)A.一定線性無(wú)關(guān);B.的朗斯基行列式恒為零,

或恒不為零;C.的朗斯基行列式可正可負(fù);D.一定線性相關(guān).答案：B30.設(shè)和是方程組的兩個(gè)基解矩陣,則(1分)A.存在某個(gè)常數(shù)方陣C使得,

其中;B.存在某個(gè)常數(shù)方陣C使得,

其中;

C.存在某個(gè)常數(shù)方陣C使得,

其中;D.存在某個(gè)常數(shù)方陣C使得,

其中.答案：A31.初值問(wèn)題,

的第二次近似解可以寫(xiě)為

(1分)A.;B.;C.+;D..答案：C32.設(shè)是n階齊次線性方程的線性無(wú)關(guān)的解,其中是連續(xù)函數(shù).則(1分)A.的朗斯基行列式一定是正的;B.的朗斯基行列式一定是負(fù)的;C.的朗斯基行列式可有零點(diǎn),但不恒為零;D.的朗斯基行列式恒不為零.答案：D答案解析：因?yàn)橛深}設(shè)所給的解組是線性無(wú)關(guān)的,故其朗斯基行列式必恒不為零!33.可將五階方程

化為一階方程的變換是(

).(1分)A.B.C.D.答案：C34.常微分方程有形如的積分因子的充分必要條件是(1分)A.只是的函數(shù)B.只是的函數(shù)C.只是的函數(shù)D.只是的函數(shù)答案：B35.可將一階方程化為變量分離方程的變換為(

).

(1分)A.;B.;C.;D..答案：D36.設(shè)和是方程組的兩個(gè)基解矩陣,則(1分)A.存在某個(gè)常數(shù)方陣C使得,

其中;B.存在某個(gè)常數(shù)方陣C使得,

其中;

C.;D..答案：A37.已知是某一三階齊次線性方程的解,則和的朗斯基行列式(1分)A.B.C.D.答案：B38.微分方程

是(

).(1分)A.n階常系數(shù)非齊次線性常微分方程;B.n階常系數(shù)齊次線性常微分方程;C.n階變系數(shù)非齊次線性常微分方程;D.n階變系數(shù)齊次線性常微分方程.答案：C39.設(shè)和是方程組的兩個(gè)基解矩陣,則(1分)A.

(T表示矩陣的轉(zhuǎn)置);B.;C.存在非奇異常數(shù)矩陣C使得;D..答案：C40.已知是某一三階齊次線性方程的解,則和的朗斯基行列式(

).(1分)A.B.C.D.答案：C41.可將四階方程

化為二階方程的變換是(

).

(1分)A.B.C.D.答案：B42.初值問(wèn)題,

的第二次近似解可以寫(xiě)為(

).

(1分)A.4

B.C.D.+答案：D43.設(shè)和是方程組的兩個(gè)基解矩陣,則(1分)A.對(duì)任意的n

階常數(shù)方陣C，也是基解矩陣;B.對(duì)任意的n

階常數(shù)方陣C，也是基解矩陣;C.對(duì)任意的n

階非奇異常數(shù)方陣C，也是基解矩陣;

D.對(duì)任意的n

階非奇異常數(shù)方陣C，也是基解矩陣.答案：C44.已知是某一三階齊次線性方程的解,則和的朗斯基行列式(1分)A.B.C.D.答案：D45.設(shè)有四個(gè)常微分方程：(i),

(ii),

(iii),

(iv).

(1分)A.非線性方程有一個(gè);B.非線性方程有兩個(gè);C.非線性方程有三個(gè);D.非線性方程有四個(gè).答案：B46.微分方程的一個(gè)解是(

).(1分)A.B.C.D.答案：B47.

是某個(gè)初值問(wèn)題的唯一解，其中方程是,則初始條件應(yīng)該是(1分)A.;B.;C.;D..答案：A48.可將一階方程化為變量分離方程的變換為(1分)A.;B.;C.;D.;答案：C49.下列四個(gè)微分方程中,三階常微分方程有幾個(gè)?

(i),

(ii),(iii),

(iv).

(1分)A.一個(gè)B.兩個(gè)C.三個(gè)D.四個(gè)答案：C二、多項(xiàng)選擇題50.對(duì)于方程,以下證明步驟中哪些是正確的:(1分)A.這個(gè)方程的任何兩個(gè)解的差是對(duì)應(yīng)齊次方程的解,

B.對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根是,

C.

對(duì)應(yīng)齊次方程的基本解組是,D.=0,

=0,E.原方程的任何兩個(gè)解的差是

且當(dāng)

x

趨向于正無(wú)窮大時(shí)趨向于零.

答案：ABCDE51.如下求解三階常系數(shù)線性方程的過(guò)程中,下劃線所指出的部分哪些計(jì)算有錯(cuò)誤或敘述有錯(cuò)誤:解答：(i)先求對(duì)應(yīng)齊方程的通解：對(duì)應(yīng)齊方程的特征方程及特征根分別為(A),

,

,

.故對(duì)應(yīng)齊方程的通解為(B).

(ii)因?yàn)橛刑卣鞲橇?C),故應(yīng)設(shè)原方程的特解有形如,這里a,b是待定常數(shù).代入原方程可得.利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等便得到代數(shù)方程組:.由此可解得(D),

故.

(iii)原方程的通解可以表示為(E).(1分)A.AB.BC.CD.DE.E答案：ABCDE52.設(shè)有方程:,以下步驟中正確的是:(1分)A.利用變量變換,B.由，有,C.代入原方程得到,D.整理后可得,E.分離變量得到.

答案：ABCDE53.以下利用參數(shù)法求解一階隱方程的過(guò)程中,下劃線所指出的部分哪些有錯(cuò)誤:解答：引入?yún)?shù)(A)，則原方程可以寫(xiě)為,

將此方程兩邊對(duì)p求導(dǎo)(B),

可得:,

或(C).

這是一個(gè)關(guān)于p和x的方程,且是未知函數(shù)p的導(dǎo)數(shù)可以解出的一階常微分方程,進(jìn)而還是變量分離型方程.因此我們將這個(gè)方程分離變量:

.(D)

兩邊積分并求出積分可以得到（C是任意常數(shù)）:,因此,將此式和參數(shù)的表達(dá)式聯(lián)立,即得原方程的參數(shù)形式解,其中C是參數(shù):(E).(1分)A.AB.BC.CD.DE.E答案：BE54.利用降階法求解二階方程的過(guò)程中,下劃線所指出的那些步驟中,哪些是正確的:

解答：這是不顯含自變量的二階方程,因此可以用第二種降階法。令(A),則.代入到原方程中可將原方程化為如下的一階方程:(B).這是一個(gè)變量分離型的方程.如果,可得是原方程的解,故不妨假設(shè)(C),因此可以約掉一個(gè)z,分離變量后有:,兩邊積分可得:,又由,代入上述方程,再次分離變量(D),在等式兩邊積分可得原方程的通解(E):.

(1分)A.AB.BC.CD.DE.E答案：ABCDE55.設(shè)為方程（A為常數(shù)矩陣）的一個(gè)基解矩陣，試指出如下的斷言中哪些是錯(cuò)誤的:(1分)A.是原方程組的解矩陣,B.因?yàn)?

故還是原方程組的基解矩陣,C.存在奇異的常數(shù)矩陣C,

使得,D.取,

可得到.E..答案：CDE56.以下是一階微分方程的求解過(guò)程,請(qǐng)說(shuō)明下劃線所指出那些步驟中,哪些是有錯(cuò)誤的:解答：記,則(A),

注意到(B)，因此方程是恰當(dāng)方程(C).可以計(jì)算,

因而方程有只與y

有關(guān)的(D)積分因子，并且該積分因子可以求出為：.將該積分因子乘在原方程的兩端：,分項(xiàng)組合為,或可整理為(E),

最后得到原方程的通解:

.(1分)A.AB.BC.CD.DE.E答案：CD57.請(qǐng)查出求解一階線性微分方程的過(guò)程中有錯(cuò)誤的步驟(1分)A.

先求解對(duì)應(yīng)齊方程：，分離變量可得,B.兩邊積分求出積分可以得到（C是任意常數(shù)）：,C.再將常數(shù)C

變易為函數(shù)：.D.代入到原方程中可以得到：,E.原方程的通解（C

是任意常數(shù)）：.

答案：ABCDE58.試求齊次方程組的基解矩陣，并求滿足初始條件的解其中,.

判斷哪些步驟所得到的結(jié)果是正確的：(1分)A.齊次線性方程組的特征方程是,B.矩陣

A

的特征根為,

對(duì)應(yīng)的特征向量可分別取為,

.C.原方程組基解矩陣可取為:

.D.標(biāo)準(zhǔn)基解矩陣為=.E.原方程組滿足所給初始條件的解為答案：ABCDE59.求解方程時(shí),以下的解題步驟中哪些是正確的

:(1分)A.因?yàn)?B.所以原方程是恰當(dāng)方程;C.將方程中的重新分項(xiàng)組合,D.湊出全微分：,E.得到通解：,其中c是任意常數(shù).

答案：ABCDE三、判斷題60.是一階線性微分方程。

(1分)答案：錯(cuò)誤61.微分方程的通解中應(yīng)含的獨(dú)立常數(shù)的個(gè)數(shù)為4。(1分)答案：錯(cuò)誤62.微分方程的階數(shù)是4。

(1分)答案：錯(cuò)誤63.是可分離變量的微分方程。

(1分)答案：正確64.所滿足的微分方程是。

(1分)答案：正確65.當(dāng)用比較系數(shù)法求方程的一個(gè)特解時(shí),可將這個(gè)待定系數(shù)的特解設(shè)為.(1分)答案：錯(cuò)誤66.，其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為。(1分)答案：正確67.利用變換可將伯努利方程化為線性方程.(1分)答案：錯(cuò)誤68.2．微分方程的通解是為任意常數(shù))。

(1分)答案：正確69.的通解是。(1分)答案：正確70.3階微分方程的通解為。(1分)答案：正確71.微分方程的通解中包含了它所有的解。(1分)答案：錯(cuò)誤72.的通解中應(yīng)含3個(gè)獨(dú)立常數(shù)。(1分)答案：正確73.對(duì)于初值問(wèn)題可判定其解在的某鄰域內(nèi)存在且唯一,

理由是在整個(gè)平面上連續(xù)并且關(guān)于y滿足李普希茨條件.(1分)答案：正確74.方程的通解為。

(1分)答案：正確75.的通解為。(1分)答案：正確76.歐拉方程的一個(gè)基本解組為.(1分)答案：正確77.2．函數(shù)是微分方程的解。

(1分)答案：錯(cuò)誤78.任意微分方程都有通解。(1分)答案：正確79.2．函數(shù)是微分方程的解。

(1分)答案：正確80.平面上過(guò)點(diǎn)的曲線為,該曲線上任一點(diǎn)處的切線與切點(diǎn)和原點(diǎn)的連線的夾角為,

則這個(gè)曲線應(yīng)滿足的常微分方程是,初始條件為.(1分)答案：正確81.不是一階線性微分方程。(1分)答案：正確82.的特征方程為。

(1分)答案：正確83.的通解為。

(1分)答案：正確84.的通解是。

(1分)答案：正確四、填空題85.利用變換(

)可將伯努利方程化為線性方程(

).(1分)答案：<imgalt="z=y^{4\over5},{5\over4}{dz\overdx}=z\cos5x+\lnx"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=z%3Dy%5E%7B4%5Cover5%7D%2C%20%7B5%5Cover4%7D%7Bdz%5Cover%20dx%7D%3Dz%5Ccos5x%20%2B%5Cln%20x"/>86.對(duì)于初值問(wèn)題,,可判定其解在的某鄰域內(nèi)存在且唯一,理由是(

).(1分)答案：<imgalt="f(x,y)=\ln(4+\sinx+y^2)"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=f%28x%2Cy%29%3D%5Cln%284%2B%5Csin%20x%2By%5E2%29"/>連續(xù)且關(guān)于y滿足局部利普希茨條件87.平面上過(guò)點(diǎn)的曲線為,

曲線上任意一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的向徑之間夾角為,

則這個(gè)曲線應(yīng)滿足的常微分方程及初始條件分別為(

，

).

(1分)答案：<imgalt="{dy\overdx}={y+x\tan\gamma\overx-y\tan\gamma},y(5)=\pi"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7By%2Bx%5Ctan%5Cgamma%5Cover%20x-y%5Ctan%5Cgamma%7D%2C%20y%285%29%3D%5Cpi"/>88.對(duì)于初值問(wèn)題,,可判定其解在的某鄰域內(nèi)存在且唯一,理由是(

).(1分)答案：<imgalt="f(x,y)=\ln(6+\cosx+y^2)"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=f%28x%2Cy%29%3D%5Cln%286%2B%5Ccos%20x%2By%5E2%29"/>在整個(gè)平面上連續(xù)并且關(guān)于y滿足局部里普希茨條件<p><br/></p>89.利用變換(

)可將伯努利方程化為線性方程(

).(1分)答案：<imgalt="z=y^{3\over4},{4\over3}{dz\overdx}=z\sinx+\ln(4+x^2)"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=z%3Dy%5E%7B3%5Cover4%7D%2C%20%7B4%5Cover3%7D%7Bdz%5Cover%20dx%7D%3Dz%5Csin%20x%20%2B%5Cln%284%2Bx%5E2%29"/>90.當(dāng)求方程的一個(gè)待定系數(shù)特解時(shí),可將這個(gè)特解設(shè)為(

).

(1分)答案：<imgalt="y^*=(Ax+B)\sinx+(Cx+D)\cosx"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=y%5E*%3D%28Ax%2BB%29%5Csin%20x%2B%28Cx%2BD%29%5Ccos%20x"/>91.利用變換(

)可將伯努利方程化為線性方程(

).(1分)答案：<imgalt="z=y^{2\over3},{3\over2}{dz\overdx}=3z\tanx+e^x"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=z%3Dy%5E%7B2%5Cover3%7D%2C%20%7B3%5Cover2%7D%7Bdz%5Cover%20dx%7D%3D3z%5Ctan%20x%20%2Be%5Ex"/>92.平面上過(guò)點(diǎn)的曲線為,

曲線上任意一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的向徑之間夾角為,

則這個(gè)曲線應(yīng)滿足的常微分方程及初始條件分別為(

，

).(1分)答案：<imgalt="{dy\overdx}={y+\sqrt3x\overx-\sqrt3y},y(e)=3"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7By%2B%5Csqrt3x%5Cover%20x-%5Csqrt3y%7D%2C%20y%28e%29%3D3"/>93.平面上過(guò)點(diǎn)的曲線為,

曲線上任意一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的向徑之間夾角為,

則這個(gè)曲線應(yīng)滿足的常微分方程及初始條件分別為(

，

).(1分)答案：<imgalt="{dy\overdx}={y+x\tan\beta\overx-y\tan\beta},y(2)=e"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7By%2Bx%5Ctan%5Cbeta%5Cover%20x-y%5Ctan%5Cbeta%7D%2C%20y%282%29%3De"/>94.歐拉方程的一個(gè)基本解組為(

).

(1分)答案：<imgalt="x^2,x^{-2}"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=x%5E2%2Cx%5E%7B-2%7D"/>95.平面上過(guò)點(diǎn)的曲線為,

曲線上任意一點(diǎn)的切線與該點(diǎn)的向徑之間夾角為,

則這個(gè)曲線應(yīng)滿足的常微分方程及初始條件分別為(

，

).

(1分)答案：<imgalt="{dy\overdx}={3y+\sqrt3x\over3x-\sqrt3y},y(6)={\pi\over6}"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=%7Bdy%5Cover%20dx%7D%3D%7B3y%2B%5Csqrt3x%5Cover3%20x-%5Csqrt3y%7D%2C%20y%286%29%3D%7B%5Cpi%5Cover6%7D"/>96.利用變換(

)可將伯努利方程化為線性方程(

).(1分)答案：<imgalt="z=y^{1\over2},2{dz\overdx}=2z\cosx+\ln(1+x^2)"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=z%3Dy%5E%7B1%5Cover2%7D%2C2%7Bdz%5Cover%20dx%7D%3D2z%5Ccos%20x%2B%5Cln%281%2Bx%5E2%29"/>97.當(dāng)求方程的一個(gè)待定系數(shù)特解時(shí),可將這個(gè)特解設(shè)為(

).

(1分)答案：<imgalt="y^*=(Ax+B)\sinx+(Cx+D)\cosx"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=y%5E*%3D%28Ax%2BB%29%5Csin%20x%2B%28Cx%2BD%29%5Ccos%20x"/>98.當(dāng)求方程的一個(gè)待定系數(shù)特解時(shí),可將這個(gè)特解設(shè)為(

).

(1分)答案：<imgalt="y^*=(Ax+B)\sinx+(Cx+D)\cosx"type="2"style="vertical-align:middle"src="/formula?latex=y%5E*%3D%28Ax%2BB%29%5Csin%20x%2B%28Cx%2BD%29%5Ccos%20x"/>五、證明題99.證明方程

的任何兩個(gè)解之差當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大時(shí)趨向于零.(1分)答案：證明：根據(jù)線性方程解的疊加原理這個(gè)方程的任何兩個(gè)解的差是如下對(duì)應(yīng)齊次方程的解：.對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根為,因此通解可以表示為：.其中兩個(gè)C是任意常數(shù),令x趨向于正無(wú)窮大,即容易證明所需的結(jié)論.100.證明方程

的任何兩個(gè)解之差當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大時(shí)趨向于零.(1分)答案：證明：根據(jù)線性方程解的疊加原理這個(gè)方程的任何兩個(gè)解的差是如下對(duì)應(yīng)齊次方程的解：對(duì)應(yīng)齊次方程的特征根為,因此基本解組可以表示為：.通解為：其中兩個(gè)C是任意常數(shù),令x趨向于正無(wú)窮大,即容易證明所需的結(jié)論.101.證明方程

的任何兩個(gè)解之差當(dāng)x趨向于正無(wú)窮大時(shí)趨向于零.(1分)答案：證明：根據(jù)線性