2022-2023學(xué)年湖南省邵陽市楊橋鎮(zhèn)楊塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

2022-2023學(xué)年湖南省邵陽市楊橋鎮(zhèn)楊塘中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知F1、F2分別是雙曲線（a＞0，b＞0）的左、右焦點，過點F2與雙曲線的一條漸近線平行的直線交叉雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（，2） D．（1，2）參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】確定M，F(xiàn)1，F(xiàn)2的坐標(biāo)，進(jìn)而由?＜0，結(jié)合a、b、c的關(guān)系可得關(guān)于ac的不等式，利用離心率的定義可得范圍．【解答】解：設(shè)直線方程為y=（x﹣c），與雙曲線（a＞0，b＞0）聯(lián)立，可得交點坐標(biāo)為P（，﹣）∵F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0），∴=（﹣，），=（，），由題意可得?＜0，即＜0，化簡可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e=＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故選：D．2.已知集合則

（

）A．B．C．D．參考答案：B3.若函數(shù)滿足，且時，，函數(shù)，則函數(shù)－g(x)在區(qū)間內(nèi)的零點的個數(shù)為 A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：C因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，又因為時，，所以作出函數(shù)的圖像：由圖知：函數(shù)－g(x)在區(qū)間內(nèi)的零點的個數(shù)為8個。4.已知關(guān)于x的方程的兩根分別為，則的取值范圍是

A．

B．

C．

D．參考答案：B5.下列說法不正確的是（

） A．“”的否定是“” B．命題“若x>0且y>0，則x+y>0”的否命題是假命題 C．滿足x1<1<x2”和“函數(shù)在[1，2]上單調(diào)遞增”同時為真 D．△ABC中，A是最大角，則<sin2A是△ABC為鈍角三角形的充要條件參考答案：C略6.若，則f(x)的定義域為

(

)A.

B.

C.∪

D.參考答案：C略7.一個盛滿水的密閉三棱錐容器S－ABC，不久發(fā)現(xiàn)三條側(cè)棱上各有一個小洞D，E，F(xiàn)，且知SD∶DA＝SE∶EB＝CF∶FS＝2∶1，若仍用這個容器盛水，則最多可盛原來水的()A.

B.

C.

D.參考答案：D8.如圖，F(xiàn)1、F2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點，若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是A.

B.

C.

D.參考答案：D9.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位

B．向右平移個單位C．向左平移個單位

D．向右平移個單位參考答案：A10.已知三棱錐的俯視圖與側(cè)視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側(cè)視圖是有一直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（

）參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知,滿足約束條件,若的最小值為,則_______參考答案：略12.對于☉A：x2+y2-2x=0，以點（，）為中點的弦所在的直線方程是___________。參考答案：y=x13.設(shè)集合，，記，則點集所表示的軌跡長度為

．參考答案：由題意，圓的圓心在圓上運(yùn)動，當(dāng)變化時，該圓在繞著原點轉(zhuǎn)動，集合表示的區(qū)域如下圖所示的環(huán)形區(qū)域，直線恰好與環(huán)形的小圓相切，所以所以表示的是直線截圓所得弦長，又原點到直線的距離為，所以弦長為．

14.已知，的取值如右表所示：若與線性相關(guān)，且，則_________參考答案：2.615.

；參考答案：答案：16.某中學(xué)共有1800人，其中高二年級的人數(shù)為600.現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取n人，其中高二年級被抽取的人數(shù)為21，則n=

．參考答案：63

17.已知是定義在R上且周期為3的函數(shù),當(dāng)時,.若函數(shù)在區(qū)間上有10個零點(互不相同),則實數(shù)的取值范圍是

▲

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，⊙與⊙相交于兩點，是⊙的直徑，過點作⊙的切線交⊙于點，并與的延長線交于點，點分別與⊙、⊙交于兩點證明：（1）；（2）．參考答案：證明：（1）因為分別是⊙割線，所以①又分別是⊙的切線和割線，所以②由①②得

………5分（2）連接，設(shè)與相交于點，因為是⊙的直徑，所以，所以是⊙的切線，由（1）得，所以，所以

………10分19.設(shè)函數(shù)f（x）=aex﹣xlnx，其中a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）若f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a≥，證明：f（x）＞0．參考答案：【分析】（Ⅰ）f'（x）=aex﹣（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)等價于f'（x）≥0恒成立．令f'（x）≥0，得，令（x＞0），求導(dǎo)得，令，，由此能求出a的取值范圍．（Ⅱ）f（x）＞0?．令F（x）=（x＞0），當(dāng)時，F(xiàn)（x）的最小值大于0．由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)時，總有f（x）＞0．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=aex﹣（1+lnx），f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)等價于f'（x）≥0恒成立．令f'（x）≥0，得，令（x＞0）．以下只需求g（x）的最大值．求導(dǎo)得，令，，h（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)，又h（1）=0，故1是h（x）的唯一零點，當(dāng)x∈（0，1），h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）遞增；當(dāng)x∈（1，+∞），h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）遞減；故當(dāng)x=1時，g（x）取得極大值且為最大值，所以，即a的取值范圍是．證明：（Ⅱ）f（x）＞0?．令F（x）=（x＞0），以下證明當(dāng)時，F(xiàn)（x）的最小值大于0．求導(dǎo)得=．①當(dāng)0＜x≤1時，F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)（x）≥F（1）=ae＞0；②當(dāng)x＞1時，，令，則G'（x）=ex，又=，取m∈（1，2）且使，即，則＜e2﹣e2=0，因為G（m）G（2）＜0，故G（x）存在唯一零點x0∈（1，2），即F（x）有唯一的極值點且為極小值點x0∈（1，2），又，且，即，故，因為，故F（x0）是（1，2）上的減函數(shù)．所以F（x0）＞F（2）=1﹣ln2＞0，所以F（x）＞0．綜上，當(dāng)時，總有f（x）＞0．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式、函數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、抽象概括能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類與整合思想，是中檔題．20.已知函數(shù)，（其中常數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)時，求的極大值；（Ⅱ）試討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（Ⅲ）當(dāng)時，曲線上總存在相異兩點、，使得曲線在點、處的切線互相平行，求的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）當(dāng)時，

…

…

…

…

…

1分當(dāng)，時，；當(dāng)時，

∴在和上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞減

…

3分故

…

…

…

…

…

……

4分（Ⅱ）5分①當(dāng)時，則，故時，；時，此時在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

…

…

…

6分②當(dāng)時，則，故，有恒成立，此時在上單調(diào)遞減；

…

…

…

…

…

…

7分③當(dāng)時，則，故時，；時，此時在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；

…

…

…

8分（Ⅲ）由題意，可得（，且）即

…

…

9分∵，由不等式性質(zhì)可得恒成立，又∴對恒成立

11分令，則對恒成立∴在上單調(diào)遞增，∴

…

12分故

…

…

…

…

…

……

…

13分從而“對恒成立”等價于“”∴的取值范圍為

…

…

…

…

…

…

…

14分21.（本小題滿分12分）設(shè)、是函數(shù)圖象上的兩點，且，點P的橫坐標(biāo)為．（Ⅰ）求證：P點的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個定值；（Ⅱ）若，求；（Ⅲ）記Tn為數(shù)列的前n項和，若對一切

都成立，試求a的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）證：，∴P是P1P2的中點

（Ⅱ）解：由(1)知，，，相加得

(n-1個1)

（Ⅲ）

，當(dāng)且僅當(dāng)n=4時，取“=”，因此，22.以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的單位，已知圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=，點P在l上．（1）過P向圓C引切線，切點為F，求|PF|的最小值；（2）射線OP交圓C于R，點Q在OP上，且滿足|OP|2=|OQ|?|OR|，求Q點軌跡的極坐標(biāo)方程．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）由同角的平方關(guān)系可得圓C的普通方程，由y=ρsinθ，x=ρcosθ，可得直線的普通方程，由勾股定理和點到直線的距離公式，可得切線長的最小值；（2）設(shè)P，Q，R的極坐標(biāo)分別為（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），代入圓C的極坐標(biāo)方程和直線的極坐標(biāo)方程，由同角公式和二倍角的正弦公式，計算即可得到所求軌跡方程．【解答】解：（1）圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），可得圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2=4，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=，即有ρsinθ+ρcosθ=4，即直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣4=0．由|PO|2=|PF|2+|OF|2，由P到圓心O（0，0）的距離d最小時，|PF|取得最小值．由點到直線的距離公式可