2021年高考真題匯編：平面向量

2021高考真題分類匯編：平面向量

1.12012高考真題重慶理6】設(shè)x,yeR,向量a=(x,l),匕=(l,y),c=(2,~4)且a_Lc3〃c,則2

(A)#)(B)V10(C)2節(jié)(D)10

【答案】B

【解.析】因為4晨而又，所以有2x-4=0且2y+4=0,解得x=2,y=-2,即

%=(2,1),Z=(1,—2),所以1+3=(3,—1),a+b=V10,選B.

2.【2012高考真題浙江理5】設(shè)a,b是兩個非零向量。

A.若|a+b|二a'-|b|,則a_Lb

B.a±b,則|a+b若|a|-b

C.若|a+b=|aTb|,則存在實數(shù)人,使得b二入a

【答案】C

【解析】利用排除法可得選項C是正確的，??,|a+b|=|a|一網(wǎng)，則a,b共線,即存在實數(shù)九使得。=油.如

選項A：|a+b|=|a|—|b|時，cr,b可為異向的共線向量；選項B：若a_Lb,由正方形得|a+b|=|a|一出|

不成立；選項D：若存在實數(shù)九使得。=油，a,b可為同向的共線向量，此時顯然|a+b|=|a|一|b|不成

-X-

下列四個條件中，使g=2-

3.[2012高考真題四川理7】設(shè)￡B都是非零向量,成立的充分條件是

1?1聞

)

A、a=-bB、allbC、a=2bD、a//bS.\a\=\b\

【答案】C

-*-*->一

【解析】A.可以推得上-=--5為既不充分也不必要條件；B.可以推得￡=2

\a\\b\\a\\b\

或』-=-為必要不充分條件；C.為充分不必要條件：D同氏.

1?1聞

4.【2012高考真題遼寧理3】已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|o-b|,則下面結(jié)論正確的是

(A)a//b(B)a.Lb

(C){0,l,3}(D)a+b=a-b

【答案】B

【解析】一、由|a+b|=|a—b],平方可得。,b=0,所以a_Lb,故選B

二、根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|a-b|分別為以向量a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條

對角線的長，因為|a+b|=|a-b|,所以該平行四邊形為矩形，所以a_Lb,故選B

【點評】本題主要考查平面向量的運算、幾何意義以及向量的位置關(guān)系，屬于容易題。解析一是利用向

量的運算來解，解析二是利用了向量運算的幾何意義來解。

5.12012高考真題江西理7】在直角三角形A8C中，點。是斜邊的中點，點尸為線段CO的中點,

\PAf+\PBf

則

【答案】D

【解析】將直角三角形放入直角坐標系中，如圖設(shè)A(a,0),B(0,b),a^b>0，

則唱），P（衿，所以阿嗚）2+守

所以

29b29a2b210(土+生)=10|PC「，所以|呻+\PBf

HH=----+----+—=11=10，選D.

++1616161616

6.12012高考真題湖南理7】在△ABC中，AB=2,AC=3,AB?BC=1則BC=

A.y/3B.V?C.2V2D.V23

【答案】A

【解析】由下圖知福?分心=|礪『而卜os(%-B)=2x|8^x(—cosB)=l.

1AB2+BC2-AC2

cosB=又由余弦定理知cosB=解得BC=6.

-2BC2ABBC

A

【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算、余弦定理等知識.考查運算能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)

化思想等數(shù)學思想方法.需要注意AB,BC的夾角為的外角.

7.12012高考真題廣東理3］若向量麗=(2,3),G4=(4,7),則團=

A.(-2,-4)B.(3,4)C.(6,10)D.(-6,-10)

【答案】A

【解析】BC=BA-CA=(2,3)-(4,7)=(-2,-4).故選A.

a?/?

8.12012高考真題廣東理8】對任意兩個非零的平面向量a和B,定義。。尸=若平面向量a,

b滿足|a|e|b|>0,a與b的夾角6e(0,工)，且力。分和各?！┒荚诩希埂╡Z｝中，則=

42

135

A.—B.lC.—D.一

222

【答案】C

一f一r-—一f

【解析】因為。。很=^^=烏(：05夕2cos6>-^,boa=^-^=^-cos0<cos0<\,

b，b\b\2a，a\a\

且"。B和各。Z都在集合｛3〃￡Z｝中，所以=圖cos6=」，或1=—,所以

2|a|21al2cos。

aob=^-cos0=2coi0<2,因為6e(0,匹)，所以1<1。1<2,故有故選C.

聞42

9.【2012高考真題安徽理8】在平面直角坐標系中，0(0,0),尸(6,8),將向量而按逆時針旋轉(zhuǎn)至后，

4

得向量的，則點。的坐標是()

(A)(-70,-五)(B)(-772,72)

(C)(-476,-2)(D)(-476,2)

【答案】A

【命題立意】本題考查平面向量與三角函數(shù)交匯的運算問題。

―?34

【解析】【方法一】設(shè)。尸=(1085。,105m。)=＞以%6=—,5山夕=不，

3TT4TV.

則麗=(10cos(e+L)/0sin(e+L))=(—7V^,—3).

44

--37r

【方法二】將向量OP=(6,8)按逆時針旋轉(zhuǎn)把后得OM=(8,-6),則

2

麗=一擊(而+加)=(—7&,—a).

10.[2012高考真題天津理7】已知AABC為等邊三角形，AB=2,設(shè)點P,2滿足而=/1而，

—?—?—?—?3

AQ=(1-A)AC,2e/?,若5。?b=一]，則；I二

1±V2

2

i±Vio-3±2V2

22

【答案】A

【解析】如圖設(shè)AB^b,AC^c則b=c=2,b?c=2,又

--—"3

'BQ=BA+AQ^-b+(l-A)cCP=CA+AP=—c+Ab,由BQ^CP=--得

2

—*———i->i2I—?i2—?―3

[-b+(1-A)c]?(-c+AZ?)=(Z-l)|c|-/l|q+(2-A2+1)/??c=,即

3解得4='選A.

4(Z-l)-42+2(2-22+l)=一一,整理4》—44+1=0,即(24—1)2=0,

22

11.12012高考真題全國卷理6】Z^ABC中，AB邊的高為CD,若'"a?b=0,|a|=1,|b|=2,

則

11221?44.

..一?-A-...b一二??'""

(A)(B)i'(C)(D)

【答案】D

【解析】在直角三角形中，CB=1,CA=2,ABf則,所以

CD嗔

/----......-/4-4AD4—*4—?4**—4-4?*

AD^^CA2-CD2=14—2，所以*=h，即==—?=—選D.

V5V5AB55555

12.12012高考真題新課標理13】已知向量夾角為45°,且W=l,|2￡—q=可；則慟=

【答案】30

【解析】因為悔一q=M,所以（215）2=10，即乖『一4々?3+彳=1。，所以

4+網(wǎng)——4B|cos45。=10,整理得可--2行.一6=0,解得慟=3/或慟=-四（舍去）.

13.【2012高考真題浙江理15】在^ABC中，M是BC的中點，AM=3,BC=10,則福?前=.

【答案】T6

【解析】法一此題最適合的方法是特例法.

假設(shè)AA8C是以A8=AC的等腰三角形，如圖,

AM=3,BC=10,AB=AC—y/34.

34+34-1008—-—.I一I|—|

cos/8AC=——-————=--.AB-AC—|Afi|■|AC|COSZBAC=-16

—**1—**1*1-2?21co

法二：AB?AC=(--BC+AM)?(-5C+AM)=~~BC+AM=--xl02+32=-16.

TT

14.12012高考真題上海理12】在平行四邊形A5C0中，ZA=-,邊AB、A。的長分別為2、1,若

3

M.N分別是邊8C、8上的點，且滿足"竺則而?麗的取值范圍是一o

\BC\\CD\

【答案】[2,5].

(0W2W1),

則BM=ABC〃AD,DN=(1—A)DC=(1-A)AB,

則AM-AN(AB+BM)(AQ+DN)=(AB+AAD)[AD+(1

..------?2?2.

AB-AD+(l-A)AB+AAD+(1-A)ADAB,

(1jr-------2-------2

又：AO=2X1Xcos—=l,AB=4,AD=1,

3

4Wl,；.2WAM?ANW5,即AM?AN的取值范圍是[2,5].

15.12012高考真題山東理16】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一單位圓的圓心的初始位置在(0,1),

此時圓上一點尸的位置在(0,0),圓在x軸上沿正向滾動。當圓滾動到圓心位于(2,1)時,，麗的坐標為

【答案】(2-sin2,l-cos2)

【解析】因為圓心移動的距離為2,所以劣弧PA=2,即圓心角

rrTT

ZPCA=2,,則NPC4=2—F,所以PB=sin(2-y)=-cos2,

jr

CB=cos(2-y)=sin2,所以外=2—C8=2—sin2,l+PB=l-cos2,所以

OP=(2-sin2,1-cos2)o

【答案】1，1

DE-DC^DE\\DC\cosa=\DE|coscr,而|￡)￡|?cosa就是向量DE在。C邊上的射影，要想

讓最大，即讓射影最大，此時E點與B點重合，射影為。C,所以長度為1.

17.12012高考真題安徽理14】若平面向量滿足：—B卜3,