第二講多項(xiàng)式原卷版

第二講 多項(xiàng)式

【知識(shí)概述】 多項(xiàng)式理論是代數(shù)學(xué)的重要組成部分，它在理論上和方法上對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)都有深刻的影響．與多項(xiàng)式有關(guān)的問(wèn)題除了出現(xiàn)在函數(shù)、方程、不等式等代數(shù)領(lǐng)域中，還涉及到幾何、數(shù)論等知識(shí)，是一個(gè)綜合性的工具，也是自招與競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問(wèn)題．

本講共分為三個(gè)模塊，分別介紹了多項(xiàng)式的除法、余式與因式定理和有理根定理及其應(yīng)用．這些定理是代數(shù)理論中十分重要的工具，能夠有效地解決因式分解和代數(shù)式化簡(jiǎn)求值等問(wèn)題，需要學(xué)生熟練應(yīng)用與掌握．

【知識(shí)結(jié)構(gòu)】

模塊一多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式【知識(shí)精要】多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式：

兩個(gè)多項(xiàng)式相除，可以先把這兩個(gè)多項(xiàng)式按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個(gè)多位數(shù)相除的計(jì)算方法，用豎式進(jìn)行計(jì)算．

多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的一般步驟：

（1）把被除式、除式按某個(gè)字母作降冪排列，并把所缺的項(xiàng)用零補(bǔ)齊；

（2）用除式的第一項(xiàng)去除被除式的第一項(xiàng)，得商式的第一項(xiàng)；

（3）用商式的第一項(xiàng)去乘除式，把積寫(xiě)在被除式下面（同類(lèi)項(xiàng)對(duì)齊），從被除式中減去這個(gè)積；

（4）把減得的差當(dāng)作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)為止，被除式除式商式余式．

如果一個(gè)多項(xiàng)式除以另一個(gè)多項(xiàng)式，余式為零，就說(shuō)這個(gè)多項(xiàng)式能被另一個(gè)多項(xiàng)式整除．例：計(jì)算

所以商式為，余式為．

注意以下幾點(diǎn)：

（1）列豎式計(jì)算時(shí)，按某一個(gè)字母作降冪排列，所缺的項(xiàng)需要用零補(bǔ)齊；

（2）目前我們所學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式情況均為一元多項(xiàng)式相除．

當(dāng)除式、被除式都按照降冪排列時(shí)，各項(xiàng)的位置就可以表示所含字母的次數(shù)．因此，計(jì)算時(shí)只需寫(xiě)出系數(shù)，算出結(jié)果后，再把字母和相應(yīng)的指數(shù)補(bǔ)上去．這種方法叫做分離系數(shù)法．按照分離系數(shù)法，上面例題的計(jì)算過(guò)程如下：于是得到商式為，余式為．

【典型例題】用列豎式的方法計(jì)算：

（1）；

（2）．

（1）已知能被整除，求k的值；

（2）若能被整除，試求的值；

（3）當(dāng)a、b為何值時(shí)，多項(xiàng)式有因式和．

已知關(guān)于x的三次多項(xiàng)式除以時(shí)，余式是；除以時(shí)，余式是，求這個(gè)三次多項(xiàng)式．

求被除所得的余式．

模塊二 余式與因式定理【知識(shí)精要】

形如（n為非負(fù)整數(shù)，）的代數(shù)式叫做關(guān)于x的一元n次多項(xiàng)式．稱(chēng)為多項(xiàng)式的系數(shù)，n稱(chēng)為此多項(xiàng)式的次數(shù)． 對(duì)于任意兩個(gè)多項(xiàng)式，（），總存在兩個(gè)多項(xiàng)式和，使得，其中叫做被除式，叫做除式，叫做商式，叫做余式，余式的次數(shù)小于除式的次數(shù)．當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)稱(chēng)作被整除，或被整除，和叫做的因式．

如果是一次式，則的次數(shù)小于1，因此，只能是常數(shù)（0或非零常數(shù)），這時(shí)，余式也叫余數(shù)，記為r，即有；

令得，；因此，有以下重要定理：

余數(shù)定理 多項(xiàng)式除以所得的余數(shù)等于．

由上述可知，如果能被整除，那么必有，反之，如果，那么能被整除，因此，得到以下重要定理：

因式定理 如果多項(xiàng)式能被整除，亦即有一個(gè)因式，那么，反之，如果，那么必為多項(xiàng)式的一個(gè)因式．

幾個(gè)推論：

（1）若是整系數(shù)多項(xiàng)式，則除以所得的商也是整系數(shù)多項(xiàng)式，余數(shù)為整數(shù)；

（2）若為整系數(shù)多項(xiàng)式，a、b為不同整數(shù)，則；

（3）除以（）的余數(shù)為．

【典型例題】若可被整除，求．

設(shè)a，b，c，d是4個(gè)不同實(shí)數(shù)，是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式，已知：

（1）除以的余數(shù)為a；

（2）除以的余數(shù)為b；

（3）除以的余數(shù)為c；

（4）除以的余數(shù)為d；

求多項(xiàng)式除以的余式．

設(shè)式中各系數(shù)（）都是整數(shù)，今設(shè)有四個(gè)不同的整數(shù)使（）都等于2，試證：對(duì)于任何整數(shù)x，決不等于1，3，5，7，9中的任何一個(gè)．

已知有整系數(shù)的多項(xiàng)式，又已知存在四個(gè)不同的整數(shù)a，b，c，d，使得，證明沒(méi)有整數(shù)k，使得．

模塊三 有理根定理及其應(yīng)用【知識(shí)精要】 有理根定理 若是一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式，而是的一個(gè)有理根，其中r、s互質(zhì)，那么必有，；特別地，如果的首項(xiàng)系數(shù)，那么的有理根都是整根，而且是的因子．

推論：若是一個(gè)次數(shù)n大于0的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果是的一個(gè)有理根，其中r、s是互質(zhì)的整數(shù)，那么，．

有理根定理的一個(gè)常見(jiàn)應(yīng)用即是利用這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行試根，結(jié)合因式定理對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，具體步驟如下：對(duì)于一個(gè)整系數(shù)一元高次多項(xiàng)式，找到的所有因數(shù)；將所有因數(shù)依次代入多項(xiàng)式，若存在一個(gè)因數(shù)a，使得，則a為多項(xiàng)式的一個(gè)根；由因式定理可知，必有一個(gè)因式為，因此可寫(xiě)為；對(duì)于多項(xiàng)式可以繼續(xù)利用試根法進(jìn)行因式分解，也可利用其它方法進(jìn)行因式分解，最終將因式分解．

【典型例題】分解因式：．

已知定理：設(shè)，是整系數(shù)多項(xiàng)式，且的系數(shù)互質(zhì)，如果，其中是有理系數(shù)多項(xiàng)式，那么一定是整系數(shù)多項(xiàng)式，請(qǐng)證明有理根定理及其推論．

設(shè)為n次整系數(shù)多項(xiàng)式，若、和都為奇數(shù)，證明：無(wú)有理根．

證明：若整系數(shù)多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)為奇數(shù)，而q為偶數(shù)，則（p、q為整數(shù)）不是的有理根．

求整系數(shù)多項(xiàng)式的全部有理根．

【課堂練習(xí)】（20分）已知多項(xiàng)式有一個(gè)因式是，求m的值． （20分）分解因式：．

（20分）（1）求多項(xiàng)式除以的商式和余式；

（2）求多項(xiàng)式除以的商式和余式．

（20分）已知能被整除，求a、b的值．（20分）已知關(guān)于x的方程的左邊能被整除，而被除所得余數(shù)為72，則這個(gè)方程的所有的解（按從小到大的順序）是_______________．

【課后作業(yè)】（10分）（1）已知能被整除，求m的值；

（2）已知能被整除，