高斯定理的證明與簡單應(yīng)用-石宇20120341006-陳誠-20120341021

工程技術(shù)學(xué)院課程論文規(guī)范2-高斯定理的證明與簡單應(yīng)用石宇陳誠內(nèi)江師范學(xué)院工程技術(shù)學(xué)院2012級一班郵編641100摘要：高斯定理是電磁場中的重要定理了解高斯定理的證明對理解定理本身是非常重要的文中借助電場強度通量的概念對靜電場中高斯定理進行了推導(dǎo)。應(yīng)用高斯定理時,常把電荷或電場的對稱性作為應(yīng)用高斯定理求電場強度的數(shù)學(xué)條件,但實際并非如此,以高斯定理的表達式為基礎(chǔ)可以闡明:對稱性不是應(yīng)用高斯定理求場強的條件。關(guān)鍵詞：靜電場；高斯定理；證明方法；電場強度。Abstract：Gausstheoremisanimportanttheoremintheelectromagneticfieldtounderstandthegausstheoremprovedinunderstandingthetheoremitselfisveryimportantinthispaper,withtheaidoftheelectricfieldintensity,theconceptoffluxgausstheoremofelectrostaticfieldisderived.Applicationofgauss'theorem,oftentakechargeandelectricfieldsofsymmetryasgausstheoremisappliedtosolvethemathematicalconditionsoftheelectricfieldintensity,buttheactualisnotthecase,basedonthegausstheoremofexpressioncanclarify:symmetryisnotgausstheoremisappliedtofieldconditions.Keywords:electrostaticfield;Gausstheorem;methodofproof;Electricfieldstrength一.電場強度通量的概念借助于電場線的圖像，引入電場強度通量的概念。通過任意一曲面的電場強度通量如圖所示。(1)必須指出，對閉合曲面，面法線的正方向可以取曲面的任一側(cè)，對閉合曲面來說，通常規(guī)定自內(nèi)向外的方向為面積元法線的正方向，所以，在電場線從曲面之內(nèi)外穿出處，E通量為正；反之，在電場線從外部傳入曲面處，E通量則為負。二.高斯定理的證明1.正點電荷在球面中心在正點電荷q激發(fā)的電場中，通過以點電荷為中心，半0徑為r的球面上的E如圖所示。利用庫侖定律，在球面上任一點的電場為利用式（1）可求得通過該閉合球面的E通量為：2.正點電荷在球面外如圖所示，如果閉合曲面內(nèi)沒有包圍電荷，電荷在閉合曲面外面，那么進入閉合曲面的電場線等于穿出閉合曲面的電場線，所以總的E通量為0，即綜合以上討論，不難得出結(jié)論，在靜電場中，通過任一曲面的E通量，等于該曲面內(nèi)電荷量的代數(shù)和除以，一般寫為三.高斯定理的應(yīng)用1.問題的提出高斯定理是靜電學(xué)中的一個重要定理。其內(nèi)容為：通過一個任意閉合曲面S的電通等于該面所包圍的所有電荷電量的代數(shù)和除以與閉合曲面外的電荷無關(guān)。用公式表示則有：（2）式中表示沿任一閉合曲面S的積分，為閉合曲面S所包圍的所有電荷的電量的代數(shù)和。一般電磁學(xué)教材中認為，高斯定理的應(yīng)用有兩方面：一是在給定閉合曲面上，所有各點處E都已知時，可用高斯定理求該閉合面內(nèi)的電荷；二是如果電荷的分布很對稱，以致我們可以通過適當選擇高斯面，那么就可用高斯定理求電場強度E。[2].上述說法具有一定的片面性，不利于對高斯定理的掌握和理解。首先，上述第二點說法往往使人誤解為電荷或電場的對稱性是利用高斯定理求電場強度的條件，即電荷或電場分布具有對稱性時就一定能用高期定理求場強，而不具有對稱性時就一定不能用高斯定理求場強。甚至有些教材已明確說明：能夠直接運用高斯定理求出場強的情形，都必須具有一定的對稱性。[3].但實際情況并非如此，并非所有對稱情況都能應(yīng)用高斯定理；也并非所有不對稱情況均不能應(yīng)用高斯定理。只不過由于對稱性的存在可使能利用高斯定理的問題計算得以簡化。2.對稱性不是高斯定理求場強的條件如前所述,一般教材中認為:在電荷或電場具有對稱性的情況下,可用高斯定理求電場強度.這種說法是片面的、不恰當?shù)?容易使人誤解為對稱性是應(yīng)用高斯定理求場強的條件.但從下面兩方面可以清楚看出,實際情況并非如此。某些對稱性問題不能應(yīng)用高斯定律從高斯定理的數(shù)學(xué)表述式(2)可以看出,能否應(yīng)用高斯定理求電場強度E的關(guān)鍵取決于(2)式左邊的積分能否進行,這是一個數(shù)學(xué)問題.從數(shù)學(xué)的角度看,即使電荷或電場分布具有對稱性,但若(2)式左邊不能進行積分,則無法求出電場強度E。例題：兩點電荷,電量都是+q,相距為r,能否應(yīng)用主斯定理求兩點電荷聯(lián)線延長線上任一點A的場強?分析：在本例中,電荷及電場顯然對兩電荷中點O是對稱分布的.若以O(shè)為球心,以O(shè)A為半徑過A作一高斯球面(如圖所示),根據(jù)高斯定理有,但是,在高期面S上各點E的大小，方向不同,除了A、A點E和方向相同外,其余各點E和方向不同,所以另外,除了A、點的場強E的大小相等外,球面上其余各點的E的值不等,因而.因此,本例中雖然電荷和電場分布具有對稱性,但由于(2)式左邊的積分不能進行,因此,不能應(yīng)用高斯定理求電場強度。四.小結(jié)1.對高斯定理的理解（1）在等式左邊的積分中E是曲面Ｓ上各處的電場強度。閉合曲面即為高斯面。選取高斯面時，一般是根據(jù)對稱性，使曲面的法線平行于該處的E,或使法線垂直于該處的E.(2)是Ｓ內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和。事實上高斯面上各點的電場強度E是空間全部電荷激發(fā)的。面外電荷對通量無貢獻，但對高斯面Ｓ上的各點的電場強度是有貢獻的。(3)高斯面內(nèi)以及面外的電荷位置的改變對高,斯面上的通量沒影響，但對高斯面上的電場強度是有影響的。(4)在實際應(yīng)用中，高斯定理常用于電荷具有某種對稱分布時所激發(fā)的對稱的電場分布,即軸對稱、球?qū)ΨQ、面對稱。2.關(guān)于高斯定理的應(yīng)用,我們可以得出如下結(jié)論:(1)應(yīng)用高斯定理求電場強度的關(guān)鍵是能否進行積分,若積分能進行,則無論電荷或電場分布是否具有對稱性,均能應(yīng)用高斯定理求電場強度,即對稱性不是應(yīng)用高斯定理求場強的條件.(2)對于具有對稱性,具能應(yīng)用高斯定理求場強的問題,由于具有對稱性,總可選擇合適的高斯面而使計算較為簡便。五.參考文獻[1]高雁.引力場中的高斯定理[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版).2006(04)[2]王顯怡,劉大強.靜力場中的高斯定理及其應(yīng)用[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版).1997(01)[3]付靜，江廣軍，靜電場中高斯定理的