專題7 4直線平面垂直判定及性質2020年高考數學一輪復習對點提分文理科通用教師版紙間書屋

a?α0°的角.

l⊥α l?β使用線面垂直的定義和線面垂直的判定定理，不要誤解為“如果一條直線垂直于平面內的無數條直線，就垂直于這個平面”.(1)直線l與平面α內的無數條直線都垂直，則l⊥α.( 【答案】 【解析】(1)lαl⊥αl與αl?αl∥α，故(1)錯誤.【衍化2.(必修2P66練習改編)已知直線a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，則b與α的位置關系為( D.b與α相【答案】【解析】3.(2P672改編)P為△ABCPA，PB，PC 【答案】【解析】如圖，因為PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝PPB?PBC，PC?PBCPA⊥平PBC.BC?PBCPA⊥BCPB⊥AC，PC⊥AB，故①②③正確.【體驗4.(2019靜安區(qū)質檢)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是( A.α⊥β且 B.m⊥n且C.m∥n且 D.m⊥n且【答案】【解析】由線線平行性質的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確.5.(2017Ⅲ卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則( 【答案】【解析】如圖，由題設知，A1B1BCC1B1BC1?BCC1B16.(2018·安陽二模)已知a，b表示兩條不同的直線，α，β表示兩個不同的平面，下列說法錯誤的是 α∩β＝a，a∥bb∥α【答案】【解析】對于Aa⊥α，α∥βa⊥β，又b⊥βa∥bA正確；Ba⊥α，a⊥bb?α或b∥αm?α，m∥b，b⊥β，∴m⊥β，∴α⊥β.B正確；Ca⊥α，a⊥bb?α或b∥αα∥βb?βb∥β，故C錯誤；Dα∩β＝a，a∥bb∥αb∥βD正確.考點一【例1】(2018Ⅱ卷)如圖，在三棱錐P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O為AC的 因為AP＝CP＝AC＝4，O為AC的中點OP⊥ACOP＝2＝2＝2

，所以△ABC

1(2)解CH⊥OMCHPOM.CHCPOM的距離

4＝3BC＝3＝3所以 ＝3 4 ＝5的距離為5所以點C到平面 4的距離為5【規(guī)律方法 (1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)面面平行的性質面面垂直的性質證明線面垂直的是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質.因此，判定定理與性質定【訓練1】(2019·青島調研)如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB⊥側面(2)ECC1E－ABC的體積為3CE的長 BC2＝BC2＋CC2－2BC·CC·cos∠BCC＝12＋22－2×1×2cos60°＝3，∴BC＝ (2)解∵AB

·1＝

＝3 ＝

3

4

2考點二【例2】如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，EFCDPC的中點，求證：【解析】證 ∴PAABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，ECD的中點，ABED為平行四邊形∴BE∵EFCDPC【規(guī)律方法 2.已知兩平面垂直時，一般要用性質定理進行轉化，在一個平面內作交線的垂線，轉化為線面垂直，然后進一步轉化為線線垂直.2(2018·瀘州模擬)S－ABCDABCD (2)若∠SDA＝120°S－BCD的體積為6SAB的面積 設BC＝a，則CD＝a，AB＝2a，由題意知△BCD是等腰直角三角形，且∠BCD＝90°，則BD＝2a，∠CBD＝45°，在△ABDAD＝AB2＋DB2－2AB·DB·cos45＝2a，BDSAD，BD?平面SBDSBD(2)解由(1)AD＝SD＝2a，在△SAD中，∠SDA＝120°，SA＝2SDsin60°＝＝作SH⊥AD，交AD的延長線于點H，則SH＝SDsin60° 6a＝SHS－BCD的高，

666

a×2×a＝12SB＝SD2＋BD2＝2＋2＝2.AB＝2，SA＝SBA邊SA上的高

10151015

10的面積為2×10

考點三角度 【例3－1】(2018卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面PA⊥PD，PA＝PD，E，FAD，PB的中點 (1)因為PA＝PD，E為AD的中點，所以PE⊥AD.ABCD為矩形，BC∥AD.ABCD為矩形，AB⊥AD.ABPAD.PABPCD.F，GPB，PC所以 ABCDEAD

DEFG為平行四邊形.EF∥DG.EFPCD.【規(guī)律方法 角度 3－2P－ABC中，PA

3＝ 2＝PAABCPAP－ABC的高PA＝1P－ABC

·PA＝6(2)ABCBBN⊥ACN.PACNMN∥PAPCM，連接6PAABCPA⊥ACBM?平面MBN

從而 由MN∥PA，得 故存在滿足條件的點M，且 【規(guī)律方法】1.求條件探索性問題的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通2.涉及點的位置探索性問題一般是先根據條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據相似知識建點.角度 3－3P－ABCD中，AD【解析】(1) 如圖，由已知AD∥BC，故∠DAP或其補角即為異面直線AP與BC所成的角AD⊥PD.Rt△PDAAP＝AD2＋PD2＝

5.＝AP＝所以，異面直線AP與 5.證明由(1)PDPBC.解DDF∥ABBCFPFDFPBCABPBC所成PDPBCPFDFPBC上的射影，所以∠DFPDFPBC所成的角.AD∥BC，DF∥ABBF＝AD＝1.Rt△DCFDF＝CD2＋CF2＝2Rt△DPF

5.所以直線AB與平面 5.【規(guī)律方法】1.AD∥BC，AD⊥PDPD⊥BC，進而利用線PD⊥PBC.利用綜合法求空間線線角、線面角、二面角一定注意“作角、證明、計算”是完整統(tǒng)一過程，.(2)二面角的大小用它的平面角來度量.平面角的作法常見的有：①定義法；②垂面法.注意利用等腰、等邊三角形的性質.3PDCABCD點E是CD邊的中點，點F，G分別段AB，BC上，且PAFG所成角的余弦值 因為PD＝PC且點E為CD的中點FG?ABCDPE⊥FG.解由(1)PEABCD，∴PE⊥AD，AD⊥CD，PE∩CD＝E，∴∠PDCP－AD－C的平面角，Rt△PDE中，PD＝4，DE＝3，＝∴PE＝16－9＝ 7.＝ 故二面角 7.解PAFGPAACRt△PDA中，PA2＝AD2＋PD2＝25，∴PA＝5.PC＝4.AC2＝CD2＋AD2＝36＋9＝45，∴AC＝35. 55

＝

＝2525PAFG所成角的余弦值為925【與感悟

面面垂直的性質定理在使用時易忘面內一線垂直于交線而盲目套用造成在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直的定義、判定定理和性質定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的相互轉化.【素養(yǎng)提升【直觀想象、邏輯推理】——直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養(yǎng).一般是根據線、面垂直，線、面平行的判定定理和性質定理，結合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡理科還可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程3【例1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點M、N分別是直線CD、AB上的動點，點P是△A1C1D內的動點(不包括邊界)，記直線D1P與MN所成角為θ，若θ的最小值為π，則點P的軌跡是( 3 【答案】【解析】MNA1B1C1D1D1PMNθD1PMN3D1PA1B1C1D1D1PA1B1C1D1所成角為πP3A1B1C1D1的投影為圓的一部分，因為點P是△A1C1D內的動點(不包括邊界)，所以點P的軌跡是橢圓的一部分.B.2(2018·石家莊一模)P－ABCD2的正方形，PAABCD＝4，M是PB上的一個動點(不與P，B重合)，過點M作平面α∥平面PAD，截棱錐所得圖形的面積為y，若平面α與平面PAD之間的距離為x，則函數y＝f(x)的圖象是( 【答案】【解析】MMN⊥ABABNMN⊥ABCDNNQ∥ADCDQQQH∥PDPCH

2＝

QHQH＝5(2－x)，5，由CD＝PD5

2HHE⊥NQRt△HEQ中，EQ＝ 【例3】如圖，在棱長為2的正四面體A－BCD中，E、F分別為直線AB、CD上的動點，且|EF|＝3.若記EF中點P的軌跡為L，則|L|等于 【答案】【解析】EAB中點時，FC，D處，滿足|EF|＝3EFPEC，ED的P1，P2的位置上；FCD中點時，EA，B處，滿足|EF|＝3EFPBF，AFP3，P4的位置2P1P2，P3P4OP1，P2，P3，P4O，圓的半徑為1EFP2L

為圓心，以2其測度 【例4】已知ABCD⊥平面ADEF，AB⊥AD，CD⊥AD，且AB＝1，AD＝CD＝2，ADEF是正方形，在正方形ADEF內部有一點M，滿足MB，MC與平面ADEF所成的角相等，則點M的軌跡長度為(

B. 【答案】【解析】DDA，DC，DEx，y，z角分別為∠AMB，∠DMC，均為銳角，且∠AMB＝∠DMCsin∠AMB＝sin∠DMCAB＝CD2

，整理得－3＋z＝9MADEF內的軌跡是以點O8，0，0為圓心，半徑為4的圓弧M1M2，如圖2所示 圓心角 【基礎鞏固題組】(建議用時：40分鐘已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則( 【答案】【解析】α∩β＝ll?βn⊥β已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個互相垂直的平面，則下列命題正確的是 α∩β＝m，n⊥m，則【答案】【解析】對于Am?αmβA錯誤；B：若m?α，n?βmnB錯誤；C：若m?α，m⊥βm∥α，C正確；D：α∩β＝m，n⊥mnαD錯誤3.(2019模擬)在下列四個正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均為所在棱的中點，過E，F，G作正方體的截面，則在各個正方體中，直線BD1與平面EFG不垂直的是( 【答案】【解析】如圖，在正方體中，E，F，G，M，N，Q均為所在棱的中點，E，F，G，M，N，Q六個DBD1EFGD.4.(2019·濟南一模)設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是 【答案】【解析】α⊥β，m∥α，n∥βmnA又∵n∥β，∴α⊥β，故Bm⊥n，m?α，n?βαβC錯誤；α∥β，m?α，n?β，則m∥nm，n異面，D錯誤5.(2018·贛州模擬)如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點H在( 直線AC B.直線ABC.直線BC D.△ABC內【答案】【解析】AC1，如圖∴AC⊥ACABC內，∴ABC⊥ABC1C1ABCAB上.故選如圖，已知∠BAC＝90°，PCABC，則在△ABC，△PACPC ；與AP垂直的直線 【答案】AB，BC，ACPCABCPCAB，BC，AC.AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝CABPACAP?PACAB⊥APAPAB.P－ABCD中，PAABCD，且底面各邊都相等，MPC滿 【答案】DM⊥PC(AC，BDAC⊥BDPA⊥ABCDPA⊥BD.PA∩AC＝ABD⊥MBD⊥PCD. 【答案】3【解析】A1C1，則∠AC1A1AC1A1B1C1D1所成的角.AB＝BC＝2A1C1＝AC＝22， (2019·石家莊摸底)如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD和CDPE(2)OBD的中點，求證：BD【解析】證 (1)如圖，取PD的中點為G，連接∵FCE的中點，∴FGCDPE∴BF(2)AOCDM∵BA⊥AD，CD⊥DA，AB＝AD，OBDABMDP－ABCD中，PC 證明因為AB∥CD，DC⊥ACPC⊥AB.解PBFPAPBFEF，CE，CFEABEF∥PA.PA?平面CEFEF?CEF，PA【能力提升題組】(建議用時：20分鐘形中必有() 【答案】【解析】AH⊥HE，AH⊥HFHE∩HF＝H，∴AH⊥EFH，B正確AEFH垂直，∴A不正確AEFHAG內，∴C不正確.HG⊥AEF，∴D不正確.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，將△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置為D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面體D1ABC的四個面中，有n對平面相互垂直，則n等于( 【答案】【解析】D1ABCED1ED1E⊥∵D1E?平面AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BCABD1.BC?平面BCD1BCD1∵BC⊥平面ABD1，AD1?3對平面相互垂直.ABC－A1B1C12，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，DA1B1的中點，FBB1上的動點，AB1，DF交于點E，要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長 【答案】2【解析】A1B1＝2222＋(22＋(又2×2× 3所以 23＝3，DE＝2－ 2 2－ 2 3＝666

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