平方可積函數(shù)

平方可積函數(shù)二次積分函數(shù)01定義希爾伯特空間柯西序列性質(zhì)原理目錄03050204基本信息在數(shù)學(xué)中，平方可積函數(shù)是絕對值平方的積分為有限值的實值或復(fù)值可測函數(shù)，又稱二次積分函數(shù)。一個等價的定義是，函數(shù)本身的平方（而非它的絕對值）是勒貝格可積的。要想使其為真，實部的正和負(fù)的部分的積分都必須是有限的，虛部也是如此。定義定義若，則我們說在實直線上是平方可積的。平方可積一詞也可以用于有限區(qū)間如[0,1]

。一個等價的定義是，函數(shù)本身的平方（而非它的絕對值）是勒貝格可積的。要想使其為真，實部的正和負(fù)的部分的積分都必須是有限的，虛部也是如此。通常這個術(shù)語不是指某個特定函數(shù)，而是指幾乎處處相等的一組函數(shù)。性質(zhì)性質(zhì)平方可積函數(shù)（這里的“函數(shù)”實際上意味著幾乎處處相等的一組函數(shù)）通過內(nèi)積構(gòu)成一個內(nèi)積空間，其中（1）和都是平方可積函數(shù)；（2）是的復(fù)共軛；（3）是積分區(qū)間——在定義的第一種情況中，就是，第二種情況中，是。由于，平方可積性之要求也即可以證明，平方可積函數(shù)在上述定義的內(nèi)積導(dǎo)出的度量下構(gòu)成一個完備度量空間。完備度量空間也被稱柯西空間，因為在這樣的度量空間中，數(shù)列收斂當(dāng)且僅當(dāng)其為柯西序列。由一個范數(shù)導(dǎo)出的度量下的完備空間是巴拿赫空間。因此，平方可積函數(shù)的空間是由該范數(shù)導(dǎo)出的度量下的巴拿赫空間，而范數(shù)又是由內(nèi)積導(dǎo)出的。由于內(nèi)積的補(bǔ)充性質(zhì)，這（空間）其實就是一個希爾伯特空間，因為空間在由內(nèi)積導(dǎo)出的度量下是完備的。希爾伯特空間應(yīng)用定義希爾伯特空間定義在數(shù)學(xué)中，希爾伯特空間是歐幾里德空間的一個推廣，其不再局限于有限維的情形。與歐幾里德空間相仿，希爾伯特空間也是一個內(nèi)積空間，其上有距離和角的概念（及由此引申而來的正交性與垂直性的概念）。此外，希爾伯特空間還是一個完備的空間，其上所有的柯西序列等價于收斂序列，從而微積分中的大部分概念都可以無障礙地推廣到希爾伯特空間中。希爾伯特空間為基于任意正交系上的多項式表示的傅立葉級數(shù)和傅立葉變換提供了一種有效的表述方式，而這也是泛函分析的核心概念之一。希爾伯特空間是公式化數(shù)學(xué)和量子力學(xué)的關(guān)鍵性概念之一。

應(yīng)用一個抽象的希爾伯特空間中的元素往往被稱為向量。在實際應(yīng)用中，它可能代表了一列復(fù)數(shù)或是一個函數(shù)。例如在量子力學(xué)中，一個物理系統(tǒng)可以被一個復(fù)希爾伯特空間所表示，其中的向量是描述系統(tǒng)可能狀態(tài)的波函數(shù)。詳細(xì)的資料可以參考量子力學(xué)的數(shù)學(xué)描述相關(guān)的內(nèi)容。量子力學(xué)中由平面波和束縛態(tài)所構(gòu)成的希爾伯特空間，一般被稱為裝備希爾伯特空間（riggedHilbertspace）。原理原理在一個實向量空間或復(fù)向量空間H上的給定的內(nèi)積<x,y>可以按照如下的方式導(dǎo)出一個范數(shù)（norm）：如果其對于這個范數(shù)來說是完備的，此空間稱為是一個希爾伯特空間。這里的完備性是指，任何一個柯西序列都收斂到此空間中的某個元素，即它們與某個元素的范數(shù)差的極限為0。任何一個希爾伯特空間都是巴拿赫空間，但是反之未必。任何有限維內(nèi)積空間（如歐幾里德空間及其上的點積）都是希爾伯特空間。但從實際應(yīng)用角度來看，無窮維的希爾伯特空間更有價值。內(nèi)積可以幫助人們從“幾何的”觀點來研究希爾伯特空間，并使用有限維空間中的幾何語言來描述希爾伯特空間。在所有的無窮維拓?fù)湎蛄靠臻g中，希爾伯特空間性質(zhì)最好，也最接近有限維空間的情形。傅立葉分析的一個重要目的是將一個給定的函數(shù)表示成一族給定的基函數(shù)的和（可能是無窮和）。這個問題可以在希爾伯特空間中更抽象地描述為：任何一個希爾伯特空間都有一族標(biāo)準(zhǔn)正交基，而且每個希爾伯特空間中的元素都可以唯一地表示為這族基中的元素或其倍數(shù)的和。柯西序列部分性質(zhì)定義柯西序列定義設(shè){xn}是距離空間X中的點列，如果對于任意的ε>0，存在自然數(shù)N，當(dāng)m,n>N時，|xn-xm|<ε，稱{xn}是一個Cauchy列。部分性質(zhì)1.對于在某度量空間內(nèi)的柯西序列