映山紅盛開夜亦是紅色-2022年高考數(shù)學(xué)試題解題分析公開課

。中國3阜噴

中國數(shù)學(xué)教育2022年高考專題系列講座

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?中國家學(xué)率滴

惠映山缸盛開，夜亦是紅色

一“22年富?敷學(xué)試題解題分事

匯報(bào)人：郭慧清

?④中國弟學(xué)教滴

01百里青禾0S優(yōu)秀試題剖析

02試題特點(diǎn)分析04童習(xí)得考建議

F

?④中國家學(xué)率淆

oOo

PARKOI

百里青索

。中國期那滴oO引言。。

今年高考數(shù)學(xué)試題聚焦高中數(shù)學(xué)的“四基”“四

能”與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，試題力求反映數(shù)學(xué)的本

質(zhì)特征，要求考生在解題時(shí)更多地關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)

系性與綜合性，重視模型的應(yīng)用與結(jié)果的估算，注重

解題過程中數(shù)學(xué)思想（如數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、

等價(jià)轉(zhuǎn)換思想、方程思想與元思想）的運(yùn)用.

④中國羲學(xué)挈滴OO2022?新高考I卷-7oO

設(shè)。=0.18"力=1，c=-ln0.9,貝ij().

Aa<b<cBc<b<aC.c<a<bDa<c<b

(1)/al+x,(2)ln(l+x)?x,

”0.1(1+0.1)=0.1100,

c=-ln(l+(-0.1))x-(-0.1)=0.1000,

c<a<b

④中國蜘諄滴OO2022?新高考I卷-7oO

設(shè)。=0.18"力=一，c=-ln0.9,貝ij().

9

Aa<b<cBc<b<aC.c<a<bDa<c<b

(1)e'?I4-x+—,(2)ln(l+x)ax--,

"0.1(l+0.1+/)=0.1105,

6二90.1111,

c=-ln(l+(-0.1))?-[-0.1--=0.1050,

c<a<b

勺中國家學(xué)挈滴OO2022?新高考I卷-7oO

如果仔細(xì)想想，上面這個(gè)試題是可以不用上述方法求解的,

但不容易.因此這里就自然會引出這樣的問題月

(1)如果不能像上面這樣做，我們的學(xué)生應(yīng)該怎樣做？

(2)高考試題是否應(yīng)該出這樣型?吐涉

(3)我們平時(shí)教學(xué)到底應(yīng)該給學(xué)生講些什么？要講的數(shù)學(xué)內(nèi)

容到底講到什么程度？

(4)對于數(shù)學(xué)水平不一的學(xué)生，我們是否要限制他們在高中

階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容？

(5)怎樣引導(dǎo)學(xué)生在高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？

勺中國家學(xué)挈滴OO2022?新高考I卷-7oO

如果仔細(xì)研究《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》/我們

會發(fā)現(xiàn)以上問題都不難回答，也能更深入地理解為什

么課標(biāo)在設(shè)置了必修內(nèi)容、選擇性必修內(nèi)容后，還要

設(shè)置一個(gè)選修內(nèi)容，促使我們更深入地理解“因材施教

的教學(xué)原則，思考數(shù)學(xué)內(nèi)容中的思想方法與數(shù)學(xué)素養(yǎng)

到底是什么，并由此進(jìn)一步思考高考試題的特點(diǎn)和我

們現(xiàn)在教學(xué)中存在的缺陷.

④中國蜘諄滴OO輸入您的標(biāo)題。。

我曾遇見

百里春采R

這是見過的

最美景色

④中國蜘諄滴OO輸入您的標(biāo)題。。

那隨風(fēng)攥曳

察結(jié)著空W

和溫土的綠

④中國蜘諄滴OO輸入您的標(biāo)題。。

串越所有想象

和全部的蜉

④中國蜘諄滴OO輸入您的標(biāo)題。。

蕤健憬從世

春夏秋蜜G

百里青禾

I④中國家學(xué)率淆

oOo

PARK02

試題特點(diǎn)分析

④中國期那滴ooi.amaiioo

數(shù)學(xué)試題雖然千變?nèi)f化，但不變的是數(shù)學(xué)的基本

知識、基本技能、基本思想和基本數(shù)學(xué)活動，因此，

，，基礎(chǔ)性”仍是今年試題的顯著特點(diǎn).

④中國期那滴ooi.amaiioo

例1(2022?新高考版2,單選題)若i(l-z)=l,則z+彳二().

A-2B-1C.1D2

試題分析：試題考查復(fù)數(shù)的基本概念、基本運(yùn)算以及解方程的基本思想.

通常的做法是解出N,從而求z+彳，即由題設(shè)有1一二二!,通過移項(xiàng)及計(jì)算得二二1弋，

故z+3=(l+i)+(l-i)=2

如果清史解方程的基本思想是把未知數(shù)的系數(shù)變?yōu)?,那么條件式兩邊同乘以i比同除i要

簡單，那么過程將變得更簡單.

當(dāng)然，如果能理解二+亍的意義是復(fù)數(shù)實(shí)部的兩倍，那么我們只需求z的實(shí)部，而由

i(l-z)=1知1一二必為純虛數(shù)，從而z的實(shí)部必為I.

G中國晶學(xué)教育ooi.oo

例1(2022?新高考版2,單選題)若i(l-z)=l,則z+彳二().

A-2B-1C.1D2

解：(方法一)在i(l-z)=l兩邊同乘i得到二一1二「從而二=l+i，故二+5=2

故答案為D00sl

(方法二)由i(l-z)=l知1-3必為純虛數(shù)，從而z的實(shí)部必為I,故二+5=2.

答案為D

后記：即使是簡單的數(shù)學(xué)問題，弄清其背后的教學(xué)概念、原理、方法與思想才是最終目

的.

④中國蜘諄滴OOi.amattoo

例2（2022?新高考H卷多選題）如圖，四邊形ABC。為正方形,

七。_1平面/88,FB〃ED,AB=ED=2FB,記三棱錐￡一48,

F-ABC,E—4CE的體積分別為匕題,匕，則（）

B

於中國熱海清ooi.oo

試題分析：試題考查基本幾何體的假念、計(jì)算幾何體體積的基本方法，以及模型思想與“補(bǔ)

集'，思想.

在4%匕三個(gè)體枳中，難點(diǎn)是求匕.通常的做法是把廠一4CE分拆來計(jì)算.即

匕=^4-￡FA/+限AE”.

如果我們把所給的幾何體看作是由正方體切割而來，那么可以把匕的計(jì)算轉(zhuǎn)化為當(dāng)算的體枳

間接地計(jì)算出來，這要求學(xué)生對基本幾何體（特別是正方體）的切割有基本了解.

如果日常教學(xué)中對《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的案例11加以重視，那么這個(gè)問題的解決

就會容為很多.：

④中國蜘諄滴ooi.amattoo

解：（方法一）設(shè)AB=ED=2FB=2a,因?yàn)槠矫妫跙CD.FB//ED，則

匕=；?片"風(fēng)⑺二；?2“?；(2a)2=1a\

連接8。交47于點(diǎn)M,連接易得B01/C.

又行平面月BCD，ACc^ihiABCD,則ED1/C.

又￡。PlBD=D.ED8￡>u平面8/）EF,則.ici平面BDEF

因?yàn)锽M=DM=；BD=Ea,過尸作FG_LOEFG，易得四邊形MG廣為矩彬,

則FG=BD=2jia,EG=a，所以

EM="2af+(缶『==卜+(0"=6a.

防=卜+(2&。丫=3a.A

1

2

故EMrFM'l*.則1FM,5^,=-2EM-IM=—2a.AC=2也

所以匕=匕-皿+凄皿=；4。?S訪/=2",從而匕=冽，2匕=31\,匕=匕+匕

所以正確答案為CD.

④中國蜘諄滴OOi.amattoo

（方法二）所設(shè)與「，匕的計(jì)算同方法一.

將原幾何體“補(bǔ)成”如圖所示的正方體，則

匕=&Z3—匕一匕一%■陽4尸-l’E~CC祗F

=婷-2/-22?2"（2"+02〃

32

=2".

從而匕=%2匕=*,匕=乂+匕,

所以正確答案為CD

后記：基本數(shù)學(xué)模型是解決問逋的基礎(chǔ)，將問邂中的北雜對象向基本數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化是解題關(guān)

鍵.

④中國期那滴ooi.amaiioo

例3（2022?全國乙（理）H0,單選期）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽:盤，各盤

比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為四,外，，「且

P3>P2>Pi>°?記該棋手連勝兩盤的概率為P，則（）?-

A.P與該根手和甲、乙、丙的比賽次序無關(guān)B.該棋手在第二盤與甲比賽，P最大

C.該棋手在第二盤與乙比賽，P最大D.該棋手在第二盤與丙比賽，P最大

④中國蜘諄滴OOi.amattoo

試題分析：試題考查隨機(jī)事件的互斥性、獨(dú)立性、條件幅率等基本概念及相應(yīng)的概率計(jì)算,考

查學(xué)生的數(shù)學(xué)表示能力與分類思想.

該棋手連勝兩盤的必要條件是第二盤為必勝盤.因此，只要將該棋手第二盤取勝分類用基本事

件表示出來，并分別計(jì)算出該棋手第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率百小該棋手在第二盤與乙比賽

且連勝兩盤的初率比、該棋手在第二盤與兩比賽且連勝兩盤的概率。得，就可以通過比較大小解決

問題

以下解答，將本試題中的“連勝兩盤”理解為“連勝兩盤或連勝三盤”，若將“連勝兩盤”理解為

“連勝兩盤但非連勝三盤”，答案均選擇D.

④中國蜘諄滴OOi.amattoo

解：該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤.

設(shè)該棋手第二盤與甲比賽且連勝兩盤的概率為"嚴(yán)，該棋手在第二盤與乙比賽且連勝兩盤的概率

為P乙,該棋手在第二盤與丙比賽且連勝兩盤的概率為小.

先計(jì)算小?出i

設(shè)￡=”在第二盤勝甲的情況下連勝兩盤”：

X="在第二盤與甲比賽情況卜\第一盤與乙比賽”，了=”在第二盤與甲比賽情況3第

?盤與丙比賽”；

力=”該棋手勝甲”，8="該棋手勝乙二C=”該棋手勝丙”，則

P(A)=R,P(B)=%，P(C)=分尸(彳)=I一八P(月)=I-p2,P(C)=1-8，

P(X)=P(T)」〔所以，

圻=尸(E)=\X)+P(X)P(E|X)

=P(X)P(必+BAC)+P{X}P(CA+G4B)

=；[P(B4)+P(BAC)+尸((N)+P(CAB)]

④中國蜘諄滴OOi.amattoo

=g[p2Pl+a-pip。+pm+（i-PJP1P2I

=PI（P2+PJ-PIP?PT:

同理可得CcrLl3

PLPzS+pJmPy

P/=P《P\+P2）-P\P?PT

所以，我們有

PL&=IPi（P2+Pj-RPml-加（R+PJ-PMPj=（Pi-外）凸＜0，

P「Pg=[夕2（月+PJ-PMWJ-[P式PI+P2）-P/HJ=（P2-PJPI＜。

故如＜生，比＜小

所以該棋手在第二盤與丙比賽，P最大.

正確選項(xiàng)為

后記：如果不把隨機(jī)事件用字母表示出來，很難理清事件之間的關(guān)系，并由此獲得正確客

案.因此，數(shù)學(xué)表示是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功.

④中國蜘諄滴OOi.amattoo

例4（2022?新高考1卷-I8）記A/WC的內(nèi)角4反。的對邊分別為qb,c,已知

cosJ_sin2A

1+sin/1l+cos28

(1)若C=T，求民

(2)求二的最小值.

④中國蜘諄滴OOi.amattoo

試題分析：試題考查學(xué)生對三角公式的認(rèn)識程度，三角恒等變形的能力，以及對三角彩基本

元素(簡稱元)的獨(dú)立性及元思想的理解.>

三角彩六個(gè)元(邊與角)最多有三個(gè)獨(dú)立，因此我們可以把三角形叫做3元數(shù)學(xué)對象,在本

題中，題設(shè)只給出一°s“=_sm2,一個(gè)條件,此時(shí)三角形是一個(gè)可變的二元對象.

1+sinJ1+cos2B

對于(I),增加了條件。=與，三南形成為一元對象了，但仍然是一個(gè)可變的教學(xué)對象,

而角8是可變對象的不變量,解決問題的方向是將條件式轉(zhuǎn)化為8的方程來求解.

對于(2),關(guān)犍是對正弦定理的不同表現(xiàn)形式要有深入了解,認(rèn)識到在題設(shè)下"1：本

質(zhì)上是一元教學(xué)對象，關(guān)鍵是如何選取變“元”，將其化為一元的數(shù)來求最值.這里，最重要的是要

由題設(shè)得出。=色+3,從而由三角形內(nèi)角和定理得出力=4-28,這樣匚U二就成為8的

22c2

一元函數(shù)了，即使不能由基本不等式等方式解決問題，也可以用導(dǎo)數(shù)幫助求出最小值.

④中國期那滴ooi.amaiioo

例4(2022?新高考1^-18)記A48C的內(nèi)角48c的對邊分別為，已知

cos/1_sin28

1+sin/Il+cos2月

(1)若C=---.求B；

(2)求標(biāo)+』的最小值.

E“sin252sinBcosBsinB,

解:(1)因?yàn)?-----------=---------；------=-------,所以

l+cos282cos-BcosB

cosJ_sinB

1+sinAcosB

故sinB=cosJcosJ?-sinJsinB-cos(//+^)=-cosC=—,

而0<8〈色，所以8哈

④中國蜘諄滴OOi.amattoo

（2）由（D知，sinB=-cosC>0,所以］<<'<兀,0<

而sin/^=-cosC=sinfc-^,

所以C=1+B,從而力=色-28.

所以工

a2+b2_sin2A+sin2B_cos'2月+I—cos2B

c2sinlC

（2cos:H-l）+l-cos:B2

B+―=--522

cos"B

當(dāng)且僅當(dāng)COS2B=—時(shí)取等號，所以/:戶的最小值為4g-5.

2-

④中國期那滴ooi.amaiioo

例4（2022?新高考1^-18）記A4BC的內(nèi)角48,C的對邊分別為"Ac,已知

cos4_sin2B

1+sinJl+cos28

（1）若C=,求B；

（2）求/：-的最小值.

后記：當(dāng)我們將巴一一裊示成某個(gè)變量的一元函數(shù)后，即使不能用上基本不等式來求最

小值，我們?nèi)钥梢杂脤?dǎo)致幫助求出最小值.所以，分析清楚所研究的教學(xué)對象中所含變量的獨(dú)立

性非常重要.

④中國蜘諄滴OOt.XlBitfittoo

高考試題是在學(xué)習(xí)完高中數(shù)學(xué)后，站在整體角度

命制的選拔性試題，因此綜合性就成為試題的重要特

征.由于圓錐曲線試題與函數(shù)試題綜合性強(qiáng)，所以高

考試題也通常將這方面的試題放在壓軸的位置.

④中國期那滴oOt.OO

例5(2022?全國乙卷?理科20)己知橢圓￡的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸、y軸，且

過4(0,-2),8但,一11兩點(diǎn).

(1)求E的方程：

(2)設(shè)過點(diǎn)尸(1,-2)的直線交E于M,N兩點(diǎn)，過M且平行于K軸的直線與線段他交于

點(diǎn)T，點(diǎn)〃滿足MT=7H.證明：直線HN過定點(diǎn).

/中國晶涔啜言oO1.XIBMeitOO

試題分析：試題考查橢圓知識的綜合運(yùn)用，數(shù)形盤合思想，從特殊到一般的思想，數(shù)學(xué)運(yùn)算

能力.

對于(I),從試題條件，可以判斷出所求的橢圓方程是標(biāo)準(zhǔn)方程，但不知是哪種形式，如果

2222

分類討論，則費(fèi)時(shí)費(fèi)力.因此，要避肥分類討論，需要平時(shí)學(xué)習(xí)時(shí)注意將=+A=i與4+==i

/h2a2b2

(a>b>0)壕合為用/+〃./=1.

對于(2),需要作出圖杉幫助理清直線與相關(guān)點(diǎn)、直線的關(guān)系，并在運(yùn)動變化中觀察直

線"N所過定點(diǎn)這一不變性,我們知道，直線AW在斜率存在時(shí)由其斜率〃確定，從而M,N兩

點(diǎn)的坐標(biāo)可以由斜率A表示出來,進(jìn)而將7；〃的坐標(biāo)用斜率A表示，最終得到直線“N的以A

為“元”(參數(shù))的方福，并由此得到直線“N恒過定點(diǎn)力(0,-2),但這樣做運(yùn)算量巨大，一般難

以在短時(shí)間內(nèi)解決問題.

令中國攀逑故言oot.xMaeit

如果我們在運(yùn)動狀態(tài)下觀察直線A視的特殊位置，可

以發(fā)現(xiàn)：

當(dāng)點(diǎn)N位于點(diǎn)(0,2)時(shí)，直線HN的方程為x=0;

當(dāng)點(diǎn)N趨向于點(diǎn)4時(shí)，直線.HN的極限位置/乂的方

程為y=-2.

因此，若直線HN過定點(diǎn)，該定點(diǎn)應(yīng)為點(diǎn)力(0,—2).所

以，當(dāng)我們把直線”N的方程表示出來后，只需證明點(diǎn)

4(0,-2)的坐標(biāo)滿足方程即可.

解：⑴設(shè)橢IO的方程為q+獷=],由于點(diǎn)力(0,-2),噌,一1卜橢圓上，則

4"=123

,9，解得第〃=一.所以橢圓￡的方程為：匕+工=1.

—w+w=13443

④中國蜘諄滴OO1.xmatitoo

32

證明：(2)由4(0,-2),8(一,一1)得直線45:?+2=一》.

(i)若過點(diǎn)尸化-2)的內(nèi)線斜率不存在,

2

M(y-.結(jié)合的方程y=*x-2,

3

由MT=TH得到7/(5-2瓜-

V=(2+^^)x-2,

從而知直線過點(diǎn)(0,-2).

④中國蜘諄滴oot.XlBitfittoo

(ii)若過點(diǎn)P(l,-2)的直線斜率A存在，則直線的方程為

kx-y-(k+2)=0.

Ax-y—(A+2)=0

設(shè),聯(lián)立

34

得(3k2+4)xz-6k(2+k)x+3k(k+4)=0,

64(2+4)

x+x,=——；------

3^+4

從而有①

3“4+〃)

N=M3

聯(lián)立《2、，可得/(二4+3,兇).H(3y}+6-玉,必).

=-x-22

3

④中國蜘諄滴OOt.XlBitfittoo

可求得此時(shí)~~**——(x-毛)，

3K+6-$f

將(0,-2),代入上方程整理得

2(x,+x2)-6(v,+必)+xty2+啊必―3%>2-12=0，

又必=kxt-(A+2),8=5-(A+2),

222

所以(3k-^)(X|+x2)+(2k-3k)x]x2-3k=0,②

將①代入②得(3公一外坐上?+(2%-3〃)當(dāng)*一3公=o,

34+43A+4

所以直線，N過點(diǎn)(0,-2).

綜上，可得直線”N過定點(diǎn)(0,-2).

,中國期那滴oot.xitttattoo

后記：在具有聯(lián)系的多變量的運(yùn)算中，很多時(shí)候可以將其

中一個(gè)變量去表示其余變量，但若開始就這樣做會使運(yùn)算變得

復(fù)雜.因此，注意將變量適當(dāng)分類，選擇適當(dāng)時(shí)機(jī)將一類變量

向另一類變量轉(zhuǎn)化，再將最后一類變量用某一個(gè)變量表示出來,

這是簡化運(yùn)算的重蕤虱

類題賞析：2020?全國I卷?理20.

Q中國晶學(xué)教滴oot.xmaaitoo

例6（2022?新高考II卷22）已知函數(shù)/（%）=%€仆一2二

（1）當(dāng)4=1時(shí)，討論/（X）的單調(diào)性：

（2）當(dāng)X〉0時(shí)，/（X）<-1,求〃的取值范圍：

（3）設(shè)〃wN"證明：~/4=+]、+…+/、>ln（〃+1）.

VI2+1V22+2W+n

試題分析：試題考查求導(dǎo)運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)，將求變量變化范圍向求函數(shù)最值轉(zhuǎn)化

的能力，以及運(yùn)用的數(shù)及性質(zhì)證明不等式：考查分類討論思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化思想：考查邏輯推理素

養(yǎng)，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

對于（1）,原型見人教A版《普通高中教科書?選擇性必修2》⑶第95頁例7,按照教科書

給出的思路就可以解決問題.

④中國蜘諄滴OOt.siiutattoo

對于(2),令力(x)=xeR-ex+l,關(guān)犍是求出力(x)在(0.+8)上的最大值.在求出

“卜)=(1+公)十一廿后，困難的是〃'(x)=0解不出來.因此，充分利用〃(0)=0,把

力(x)w0等價(jià)轉(zhuǎn)化為/f(x)<0：在研究函數(shù)h,(x)=(\+ax)eax-e"時(shí),利用

//(A-)=eat+ln<,+ar,-e\可以將力'(x)40轉(zhuǎn)化為ar+ln(l+ar)4x來處理，而這可聯(lián)系不等式

ln(l+x)<x來解決問題

對于(3),關(guān)鍵是處理不等式左邊的和.基于對稱性，可以考慮把不等式右邊拆成

ln(/7+1)=In2-In1+ln3-ln2+-+ln(n+l)-inA?

的冊式.把問題轉(zhuǎn)橫為證明不等式+//在(2)的結(jié)論中令，_Qb則可獲

Qtr+nf=e*

博結(jié)論

當(dāng)然，第(3)小題也可以用教學(xué)以納法證明.

④中國蜘諄滴OOt.XlBitfittoo

解：(1)略：

(2)設(shè)力(x)=xe"'-e*+l,則方(0)=0.,"

又力'(工)=(1+奴/皿—e',設(shè)g(x)=(l+or)es-e,,則

g，(x)=(2a+42X卜"*-ex.

若則g'(0)=2"l>0.

因?yàn)間'(x)為圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，故存在小€(。,+8),使得Vxw(0,x0),總有

g?x)>0,故g(x)在(0,、oj為增函數(shù),故g(x)>g(O)=O,即“(x)>0,故"(x)在(0,%)

為增函數(shù)，故〃(工)>〃(0)=0,這與題設(shè)矛盾.

?中國融學(xué)赧滴oot.siiutattoo

若。則〃'(x)=(l+at)eRv-6

我們先證明：對任意x>0,總有l(wèi)n(l+x)<x成立.

設(shè)3(.r)=ln(l+.r)-x(xNO),則S'(x)=」一一1=—^0(等號當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成

l+x1+X

立)，故S(x)在［0,x)上為減函數(shù)，從而當(dāng)K>0時(shí)s(x)<s(o)=o,所以ln(l+x)<x.

由上述不等式有ewMS-e'</"?"-er<0.

故〃(x)40總成立,即〃(%)在(0,+8)上為減函數(shù)，所以力")<%(0)=0.

當(dāng)“so時(shí).有“卜)=鏟-/+。隹6<1-1+0=0,所以。(工)在(0,e)上為讖函數(shù)，所

以//(x)<〃(0)=0.

綜上可得a的變化范圍為(-8,；］.

④中國蜘諄滴OOt.XlBitfittoo

證明：（3）（方法一）取〃由（:2)知：Vx>0，總有泥$_^+]<0成立，

令/=e＞，則=ex,x=21ni,則2/ln/<--l，即2ln/</-y對任意的，>1

恒成立.

所以對任意的〃GK,有21ng卜1/〃+11n

(從而〉

整理得到ln（〃+l）lnw＜廠—,

\Jn~十〃

./二；'1#+JV?+2'十6=^=>ln2-lnl+ln3-ln2+---+ln(//+l)-)nw

=ln（n+l）,

所以不等式成立.

④中國蜘諄滴OOt.siiutattoo

(方法二)用數(shù)學(xué)歸納法證明

當(dāng)〃=1時(shí)，J>ln2<=>es2>2<=>e、’>4,

Vl2+1

因?yàn)?,77>1046>l024=45=>e7>45<^>e14>4=ea>4,

所以〃=1時(shí)原不等式成立.

設(shè)〃=*%￡N")時(shí)原不等式成立，則

-/4—/+???4—I----一：4—尸一一——，>]n(k+1)一

V4I+2+11\6)2+2+22dk、kJ((〃、+1l)2++(伏2+1l)J(、+l)2+/+1)，

F面證明：In("1)+7：-J===>ln(^+2),即證

q(〃+i廠+(A+I)

7--------->ln(l+----)

J(A+1)2+(A+1)A+]

④中國期那滴oOt.OO

令/=」一,m/e(0,l］,只需證明：-^=>10(1+/).

A+l2V/+I

令$")=T-ln(l+/),f€［O,-J,則

y/t+12

s\t)=(^/+1-lr>0(等號當(dāng)且僅當(dāng)z=o時(shí)成立)，

2(/+l)V/+l

所以5(/)在［0,；］單調(diào)遞增.當(dāng)/€(0,；］時(shí)，§。)>$(0)=0,所以①成立，即〃=%+1時(shí)

原不等式成立.

由數(shù)學(xué)歸納法，知原不等式對任意〃CN?均成立.

后記：本試題綜合性強(qiáng)，解決問題的困難主要發(fā)生在尋找(3)與(2)之間的聯(lián)系，而運(yùn)用

數(shù)學(xué)信納法證明(3)是接脫這種困難的較自然的方法，因此，對于有學(xué)習(xí)潛力的學(xué)生，可以在

高二時(shí)選修數(shù)學(xué)歸納法.

類題賞析:2020?全國【塔?理21?

度中國4^^OOOO

沒有聯(lián)系就沒有數(shù)學(xué).

因?yàn)槁?lián)系，數(shù)學(xué)才產(chǎn)生美與力量.

所以，聯(lián)系不僅是數(shù)學(xué)本身的重要特征，也是解

答高考試題的重要途徑與方法.

電中國攀逑教育oOS.OO

例7(2022?新高考n卷12,多選題)對任意x,y,jc+y2-xy=\^WJ().

A.x+y<\B.x+y>-2C.x2+y2<2D.胃+/21

④中國蜘諄滴OOOO

試題分析：試題考查不等式基本性質(zhì)，利用不等式求最值：考查方程思想，教形結(jié)合思想與

轉(zhuǎn)化思想；考查邏輯推理、直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

令〃?=x+y,n=x24-y2?在條件/+丁2一9二|下，加，〃本質(zhì)上都是某個(gè)變量的一元

函數(shù)，而問題則可轉(zhuǎn)化為求一元函數(shù)〃八〃的最值.

當(dāng)然，我們可以從胃+爐一9=1中解出、代入股，〃的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出加，〃的最

值以解決問題.這雖然是一種通法，但由于表達(dá)式較復(fù)雜，此法不簡單.因此，我們可以基于

—9=1的二次特點(diǎn)，聯(lián)系三角函數(shù)，通過三角代換解決問題.

由于求最值與求變量變化范國通?？梢韵嗷マD(zhuǎn)化，因此.也可以設(shè)法獲取ZW,〃的不等式以

求得m,〃的變化范圍并解決問題.

當(dāng)然，試題本質(zhì)上還是關(guān)于不等式的問題，所以，利用不等式的性質(zhì)或重要不等式解決問題

是不應(yīng)忽略的基本方法.

Q中國卻涕滴OOS.BflKMiOO

解：（方法一）因?yàn)槲?，一中=1,所以X-2]+-y2=1

<2J4

,R?2

設(shè)x-g=cos6,-^-y=sin。，則x=cos'+^rsinO,y=,所以

22(

m=cos8+百sin8=2sin(6+—)?

因此一2V/WW2,所以A錯誤，B正確.

5i11I

又〃=cos?+—sin?9+"^sinJcos。=1+-^=sin2^--cos2^+—

所以C正確，D錯誤.

所以正確答案為BC.

④中國蜘諄滴OOOO

(方法二)令〃z=x+y,則y=〃LX,代入W+y2-9=i整理得到

3x2-3mx+m2-1=0,

上面關(guān)于x的方程有解，故9病一12(ni-1)>0<=>-2<w<2.

令〃二丁+/，x=〃cosa,y=〃sina,代入W+V-vnl整理得到

2-sin2a

所以，正確答案為BC.

④中國蜘諄滴OOOO

z.\222A

(方法三)因?yàn)閤y?一±24LI匕(X,ylR),又一v=l，所以

k2J2

(x+y)2-1=3xy<3'；?,

解得-24x+y42,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=-l時(shí)，x+y=-2.當(dāng)?shù)﹥H當(dāng)x=y=l時(shí)，x+y=2.

所以A錯誤，B正確：

2X

由X+,一9=1可得(/+j?)_]=Xy—*

解汨/+/42,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=±l時(shí)取等號，所以C正確：

當(dāng)x=gj=_曰時(shí)滿足W+/一中=1，但f+，N1不成立，所以D錯誤.

所以，正確答案為BC.

Q中國卻涕滴OOS.BflKMiOO

后記：一個(gè)數(shù)學(xué)對象所含有的“元”（關(guān)鍵要素）可能不只一個(gè)（如本試題中的〃7=X+J

與〃=/+，2）,但在給定的條件下，通常可以轉(zhuǎn)化為只有一個(gè)獨(dú)立元的數(shù)學(xué)對象，這是高考試

題的重要特征.

類題賞析：2020?山東卷。1.

④中國期那滴oOI.OO

例8（2022?新高考II卷?16）已知橢圓二+己=1,直線/與橢圓在第?象限交于48兩點(diǎn),

63

與x軸,v軸分別交于M,N兩點(diǎn)，且|M4目g|JMV|=26，則直線/的方程為.

④中國蜘諄滴OOOO

試題分析：試題考查直線與橢圓的方程，直線與橢圓的位置關(guān)系及其代數(shù)表示；考查方程的

思想，數(shù)形結(jié)合思想與等價(jià)轉(zhuǎn)換思想，直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

通常的解法是設(shè)直線/的方程為j，=h+，〃，由MM=2百可以得到一個(gè)關(guān)于〃，〃/的方程；

由條件|及俏|="用,得.口+.7=%=—/,我立直線和橢圓的方程，再利用韋達(dá)定理得到關(guān)于

k,膽的第二個(gè)方程.

如果與三角和向量知識聯(lián)系起來，則可更方便獲得答案：設(shè)直線/的傾斜角為a,點(diǎn)M(qO),

直線/上任一點(diǎn)為，(x，M,則M/；=“cosa.sma),由此可以得到直線/的參數(shù)方程以解決問題.

④中國蜘諄滴OOOO

解：（方法一）令48的中點(diǎn)為E，因?yàn)橛蓔=|泗|,所以阿=|啊.

設(shè)力（芭，必），8（.刈,必），則

工+^-=1,2+—

6363

所以

（芭-0）（E+與）?（必+必）（必一必）

即

（必+乃）（乂-必）二?冏

所以

&-與）（8+、2）2'

KkOE八k.3=-1,

④中國蜘諄滴OOOO

設(shè)直線484=履+，〃，k<0,ni>0.

令x=o得y=〃7:令歹=0得、=-：.

所以.卜藍(lán),0、,N（0,〃?,從而后（-治,一；故

m

,?1解得左=一上或々=正（舍去）.

kx---=—,

m222

~2k

由河二26,得/〃/+（及"力?=2百，解得〃7=2或〃?二一2（舍去）.

所以直線/的方程為y=_學(xué)x+2,即x+與-20=0.

心中國攀逑教育oOS.oo

(方法二)設(shè)直線/的傾斜角為。，點(diǎn)A/(a,0),N(0/)(“>0,/>>0),直線/上任一點(diǎn)為J),

則而*=“cosa.sina),由此可以得到:

(x-a,>')=z(cosa,sina)

x=a+/cosa.

所以

y=/sina.

x-a------=

。?b2J3

因?yàn)閏osa=——產(chǎn)、sina=—產(chǎn)，所以,

2V32V3

22

以上式代入三+工=1祭理得到

63

(tr+2A)1-4\/3o,/+(12a'-72)-0,

4>/3a:

所以1+/8=-------；

A"a2+2b2

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后記：在直線與圓錐胸線的問題中，若涉及直線上的線段長，用直線的參數(shù)方程解決問題通

常較為便捷.因此，在學(xué)習(xí)了三角、向量與直線方槎后，可將直線的參數(shù)方程作為選學(xué)內(nèi)容，讓

學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，并以此體會數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系性.

類題賞析：2016?全國履理20.

④中國蜘諄滴OOOO

Q中國卻涕滴OOS.BflKMiOO

試題分析：試題聯(lián)系知識廣，考查雙曲線知識，直線的元（要素）對直線的影響及直線方

程的形式選擇：考查方程思想，教形結(jié)合思想，極限思想，等價(jià)轉(zhuǎn)換思想和元思想：考查迂輯

推理素養(yǎng)，直現(xiàn)想象素養(yǎng)和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).八一

對于（1）,由于力尸，力。關(guān)于直線x=2對稱，知道直線/的極限往更為雙曲線在點(diǎn)。處的

切線.由、_一丁2=1解得y=-