高一下學(xué)期期中（4月）檢測模擬試卷2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與分階培優(yōu)練（人教A版2019必修第二冊）（解析版）

高一下學(xué)期期中（4月）模擬試卷(時間：120分鐘，分值：150分，范圍：必修二第6-8章)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．若向量，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)直接求解即可.【詳解】，，則.故選：D.2．若復(fù)數(shù)，則（

）A．-1 B． C． D．0【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A.3．已知在非中，，，且，則△ABC的面積為（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】首先由及不是直角三角形得出，再結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出，代入面積計(jì)算公式即可．【詳解】，，又不是直角三角形，，，即，又，，解得，，即，，，故選：C．4．如圖，是斜二測畫法畫出的水平放置的的直觀圖，是的中點(diǎn)，且軸，軸，，則（

）A．的長度大于的長度B．的面積為4C．的面積為2D．【答案】B【分析】根據(jù)斜二測畫法確定原圖形，由此判斷各選項(xiàng).【詳解】由圖象知：，，，為的中點(diǎn)所以，A錯誤；的面積，B正確；因?yàn)椋?，所以的上的高，的面積，C錯誤，，所以，D錯誤.故選：B5．在空間中，，表示平面，表示直線，已知，則下列命題正確的是（

）A．若，則與，都平行 B．若與，都平行，則C．若與異面，則與，都相交 D．若與，都相交，則與異面【答案】B【分析】對于A項(xiàng)，可能直線；對于B項(xiàng)用線面平行的性質(zhì)定理可得；對于C項(xiàng)不在，內(nèi)，與，其中一個不相交；對于D項(xiàng)，直線與相交.【詳解】對于A項(xiàng)，如圖直線，所以A錯誤；對于B項(xiàng)，如圖，過直線做平面，且，故B正確；對于C項(xiàng)，畫圖為：反例：不在，內(nèi)，與，其中一個不相交，故C不正確.對于D項(xiàng)，如圖，，則滿足與，都相交，但是與共面，故D錯誤.故選：B6．《九章算術(shù)》中所述“羨除”，是指如圖所示五面體，其中，“羨除”形似“楔體”．“廣”是指“羨除”的三條平行側(cè)棱之長、、，“深”是指一條側(cè)棱到另兩條側(cè)棱所在平面的距離、“袤”是指這兩條側(cè)棱所在平行直線之間的距離（如圖）．羨除的體積公式為，過線段，的中點(diǎn)，及直線作該羨除的一個截面，已知剛好將羨除分成體積比為的兩部分．若、，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【分析】根據(jù)梯形中位線求出，再根據(jù)所給“羨除”的體積公式表示出，，根據(jù)體積比得到方程，解得即可.【詳解】因?yàn)?、、，，為線段，的中點(diǎn)，所以且，所以，，即，，因?yàn)椋?，解?故選：B7．已知O為復(fù)平面內(nèi)的原點(diǎn)，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先利用復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，確定兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用向量數(shù)量積坐標(biāo)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以A的坐標(biāo)為，又B的坐標(biāo)為，所以．所以的取值范圍為.故選：B.8．在正方體中，，，分別為，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，，可得即為異面直線與所成角，設(shè)正方體的棱長為2，由余弦定理可得答案.【詳解】連接，，，則，則即為異面直線與所成角，設(shè)正方體的棱長為2，則，，則，即異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．如圖所示，四邊形為梯形，其中，，M，N分別為，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)給定條件，可得四邊形為平行四邊形，再結(jié)合向量線性運(yùn)算逐項(xiàng)分析計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)椋?，為的中點(diǎn)，所以四邊形為平行四邊形，對于A：，故A正確；對于B：，故B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D不正確，故選：AB.10．已知三個內(nèi)角的對邊分別是，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則為鈍角三角形C．若為銳角三角形，則D．若，則為銳角三角形【答案】ABC【分析】對于A：結(jié)合大角對大邊及正弦定理即可求解；對于B：由向量夾角公式即可判斷；對于C：由銳角三角形內(nèi)角的性質(zhì)與誘導(dǎo)公式即可求解；對于D：由余弦定理變形式即可求解.【詳解】對于A：由大角對大邊及正弦定理可知：，故A正確；對于B：因?yàn)?，所以，所以為鈍角，所以為鈍角三角形，故B正確；對于C：因?yàn)闉殇J角三角形，所以,所以，故C正確；對于D：因?yàn)?，由正弦定理得：，設(shè)，由余弦定理變形式得：，所以為鈍角，故D錯誤.故選：ABC.11．在中，角、、所對的邊分別為、、，且，且，則下列說法正確的是（

）A．的外接圓的半徑為B．若只有一個解，則的取值范圍為或C．若為銳角，則的取值范圍為D．面積的最大值為【答案】AD【分析】首先利用三角恒等變換求，再根據(jù)正弦定理判斷A；根據(jù)三角形的個數(shù)，建立不等式，判斷B；求角的范圍，利用正弦定理求，并求的取值范圍，判斷C；利用余弦定理，結(jié)合基本不等式求的最大值，即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，因?yàn)?，所以，解得：，故A正確；B.若只有一個解，則或，得或，故B錯誤；C.因?yàn)榻菫殇J角，，所以，所以，，所以，故C錯誤；D.，當(dāng)時，等號成立，所以，所以面積的最大值為，故D正確.故選：AD12．在直三棱柱中，，點(diǎn)P在線段上，則的（

）A．最小值為 B．最小值為C．最大值為 D．最大值為【答案】BD【分析】將平面與平面展平在一個平面上后可求的最值.【詳解】如圖展開，其中是斜邊為的等腰直角三角形，是斜邊為6的等腰直角三角形．當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值．當(dāng)P位于C點(diǎn)位置時，取得最大值．故選：BD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．已知向量，，若與共線且方向相反，則__________．【答案】##【分析】根據(jù)向量共線且方向相反可構(gòu)造方程求得，利用向量模長的坐標(biāo)運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】共線，，解得：或；又方向相反，，即，，，，.故答案為：.14．已知三棱錐的棱長均為4，先在三棱錐內(nèi)放入一個內(nèi)切球，然后再放入一個球，使得球與球及三棱錐的三個側(cè)面都相切，則球的表面積為__________.【答案】##【分析】由等體積法求得內(nèi)切球半徑，再根據(jù)比例求得球的半徑，則問題可解．【詳解】如圖所示：依題意得，底面的外接圓半徑為，點(diǎn)到平面的距離為，所以，所以設(shè)球的半徑為，所以則，得設(shè)球的半徑為，則，又得所以球的表面積為故答案為：.15．旅游區(qū)的玻璃棧道、玻璃橋、玻璃觀景臺等近年來熱搜不斷，因其驚險刺激的體驗(yàn)備受追捧某景區(qū)順應(yīng)趨勢，為擴(kuò)大營收，準(zhǔn)備在如圖所示的M山峰和N山峰間建一座空中玻璃觀景橋.已知兩座山峰的高度都是300m，從B點(diǎn)測得M點(diǎn)的仰角，N點(diǎn)的仰角以及，則兩座山峰之間的距離_________m.【答案】B【分析】首先求出的長度，進(jìn)而在中，結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，在中，結(jié)合余弦定理知即，故，所以，故選：B.16．已知的內(nèi)角所對的邊分別為，若，則的取值范圍為_____【答案】【分析】由正弦定理和余弦定理得到，從而得到異號，分和兩種情況，第一種情況不成立，第二種情況得到，結(jié)合得到的取值范圍.【詳解】由正弦定理得：，故，又，所以，即，由余弦定理得，因?yàn)闉榈囊粋€內(nèi)角，所以，由，知異號.若，則A為鈍角，為銳角，則，所以在上單調(diào)遞減，而為銳角，故，所以，不合題意；若，則為鈍角，為銳角，因?yàn)?，所以，由，得，即，因?yàn)闉殇J角，所以，方程兩邊同除以得：，故得，即，因?yàn)锳為銳角，所以，所以.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．．（10分)如圖，在平行四邊形ABCD中，，，H，M分別是AD，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上一點(diǎn)，且．(1)以，為基底表示向量與；(2)若，，，求與的夾角．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)圖形和平面向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）由（1）得，進(jìn)而，結(jié)合平面數(shù)量積的定義計(jì)算即可求解.【詳解】（1）由已知得，．由，易知，．．（2），．．．，．18．．（12分)已知虛數(shù)z滿足.(1)求證：在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線上；(2)若是方程的一個根，求與.【答案】(1)證明見解析(2)，【分析】（1）由題設(shè)可得，應(yīng)用代數(shù)運(yùn)算化簡并確定點(diǎn)坐標(biāo)，即可證結(jié)論；（2）將復(fù)數(shù)代入方程求參數(shù)即可.【詳解】（1）設(shè)，由，則，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在直線上.（2）同（1）設(shè)復(fù)數(shù)，因?yàn)閦是方程的一個根，所以，即，所以且，得，因?yàn)?，所以，把代入得：，所以?19．．（12分)九章算術(shù)商功“斜解立方，得兩塹堵斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也合兩鱉臑三而一，驗(yàn)之以棊，其形露矣”劉徽注：“此術(shù)臑者，背節(jié)也，或曰半陽馬，其形有似鱉肘，故以名云中破陽馬，得兩鱉臑，鱉臑之起數(shù)，數(shù)同而實(shí)據(jù)半，故云六而一即得”陽馬和鱉臑是我國古代對一些特殊錐體的稱謂，取一長方體，按下圖斜割一分為二，得兩個一模一樣的三棱柱，稱為塹堵再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對的棱剖開，得四棱錐和三棱錐各一個.以矩形為底，另有一棱與底面垂直的四棱錐，稱為陽馬余下的三棱錐是由四個直角三角形組成的四面體，稱為鱉臑．(1)在下左圖中畫出陽馬和鱉臑不寫過程，并用字母表示出來，求陽馬和鱉臑的體積比；(2)若，，在右圖中，求三棱錐的高．【答案】(1)2(2)【分析】（1）根據(jù)題意作圖即可，根據(jù)棱錐的體積公式即可求得答案；（2）根據(jù)等體積法，計(jì)算，結(jié)合即可求得答案.【詳解】（1）依題意陽馬是四棱錐，設(shè)，，，則，鱉臑是三棱錐，則，所以陽馬和鱉臑的體積比為2．（2）由題意得，故，則，設(shè)三棱錐的高為h，即，所以．20．．（12分)已知在中，其角、、所對邊分別為、、，且滿足．(1)若，求的外接圓半徑；(2)若，且，求的內(nèi)切圓半徑【答案】(1)1(2)1【分析】（1）由正弦定理、兩角和的正弦公式和輔助角公式化簡已知式，可得，即可求出，再由正弦定理的定義可求得的外接圓半徑；（2）由余弦定理和三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以外接圓半徑．所以.（2）因?yàn)?，由題可知，所以，又因?yàn)椋傻?，因?yàn)椋傻拿娣e，得．21．．（12分)如圖，在幾何體ABCDE中，面，，，．(1)求證：平面平面DAE；(2)AB=1，，，求CE與平面DAE所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)線線平行證得，再結(jié)合線面垂直的性質(zhì)定理與面面垂直的判定定理即可得證；（2）首先確定直線與平面所成角的平面角為，再應(yīng)用棱錐體積公式求、，即可得解.【詳解】（1）如圖，取的中點(diǎn)M、N，連接、、，則知，且，又，且，所以，且，則四邊形為平行四邊形，所以．∵，M為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴．又，平面,平面，∴平面從而可得平面，由于平面，所以平面平面，命題得證．.（2）由（1）知，平面DAE于，則為CE與平面DAE所成角.且在中，，由且，得，又已知平面，平面，∴，∵平面ABCD，∴平面ABCD，設(shè)，則，那么有，則，解得，即有．從而易得，在中，；又在中，，則知；∴，即CE與平面DAE所成角的正弦值為．22．（12分)在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．